Dur´ ee de l’´ epreuve : 2h.

(1)

L3 et Magist` ere de physique fondamentale, DLMP & ENS-PSay

Examen partiel de Physique statistique Mercredi 10 mars 2021

Dur´ ee de l’´ epreuve : 2h.

L’utilisation de documents, calculatrices, t´ el´ ephones portables,. . . est interdite.

Recommandations :

Lisez attentivement l’´ enonc´ e et r´ edigez succinctement et clairement votre r´ eponse.

V´ erifiez vos calculs (analyse dimensionnelle, etc) ; n’oubliez pas de vous relire.

Pensez aux informations en annexe.

1 D´ efauts de Frenkel (∼ 30mn)

Consid´ erons un solide cristallin constitu´ e de N atomes. Dans l’´ etat fondamental, les atomes occupent les N sites du r´ eseau cristallin, n´ eanmoins, un atome peut quitter un site du r´ eseau pour se placer sur un site interstitiel, ce qui a un coˆ ut ´ energ´ etique ε > 0. On note N ⁰ le nombre de sites interstitiels disponibles (en g´ en´ eral N et N ⁰ sont du mˆ eme ordre de grandeur). Si n atomes occupent des sites interstitiels (donc N − n atomes restent sur les N sites du r´ eseau cristallin), l’´ energie des atomes est E = n ε.

Figure 1 : Cristal de N = 35 atomes avec deux d´ efauts de Frenkel.

1/ ´ Enoncer le postulat fondamental de la physique statistique.

2/ Rappeler les d´ efinitions de l’entropie S ^∗ et de la temp´ erature T ^∗ microcanoniques.

3/ Combien y a-t-il de mani` eres de choisir les n atomes quittant les N sites du r´ eseau ? Combien y a-t-il de mani` eres pour que ces n atomes se placent parmi les N ⁰ sites interstitiels ? 4/ D´ eduire le nombre de micro´ etats Ω correspondant ` a n atomes sur les sites interstitiels.

Montrer que pour n N, N ⁰ on a

Ω ' (N ⁰ N ) ⁿ

(n!) ² (1)

5/ D´ eduire l’entropie microcanonique S ^∗ des atomes du cristal et donner son expression dans la limite N, N ⁰ n 1.

6/ D´ eduire l’expression de la temp´ erature T ^∗ (E). Inverser cette fonction afin de d´ eterminer comment le nombre n d’atomes sur les sites interstitiels d´ epend de la temp´ erature T ^∗ , de N et de N ⁰ . L’hypoth` ese n N, N ⁰ de la question 4/ correspond-elle aux hautes ou basses temp´ eratures ? Tracer l’allure de n en fonction de T ^∗ dans ce r´ egime et commenter.

1

(2)

2 Variables conjugu´ ees dans l’ensemble microcanonique ^(∼ ^40mn)

Consid´ erons un syst` eme dont l’´ energie d´ epend d’un param` etre φ, une

force

, conjugu´ e ` a une observable X (par exemple le champ magn´ etique φ → B et l’aimantation X → M ). Autrement dit, la valeur de l’observable dans un micro´ etat | ` i est reli´ ee ` a son ´ energie par

X _` = −∂E _` /∂φ . (2)

Si le syst` eme est isol´ e, on note X ^∗ la moyenne microcanonique de l’observable (i.e. la moyenne sur les ´ etats accessibles ∈ [E, E + δE]). Notons S ^∗ et T ^∗ l’entropie et la temp´ erature microca- noniques. L’objectif de l’exercice est de montrer la relation

X ^∗ = T ^∗ ∂S ^∗

∂φ (3)

et de discuter une application simple de cette formule tr` es g´ en´ erale.

− ) φ+δφ ( E ,φ)

Ω ( E X δ φ φ , + δφ E

δ

accessibles microétats

φ Ω

E

X δ φ E

δE

Figure 2 : Evolution des micro´ ´ etats accessibles lors d’un changement du param` etre φ → φ + δφ.

On note Ω(E, φ) le nombre de micro´ etats accessibles.

1/ Si l’on consid` ere une transformation suffisamment lente, pilot´ ee par une ”petite” variation de la force, φ → φ + δφ, l’´ energie du syst` eme change comme E → E − X ^∗ δφ, d’apr` es (2).

Sous une telle transformation, le nombre de micro´ etats accessibles est conserv´ e (Fig. 2).

D´ emontrer alors la relation (3).

2/ Application : cristal de spins 1/2

On applique ces consid´ erations dans un cas tr` es simple : on consid` ere un cristal (isol´ e) de N spins 1/2, soumis ` a un champ magn´ etique B. On note n ± le nombre de spins dans l’´ etat

| ± i d’´ energie ε ± = ∓ε B avec ε B = m 0 B o` u m 0 est l’aimantation d’un spin.

a) Donner l’expression du nombre de micro´ etats accessibles Ω en fonction de N , n + et n − . b) D´ eduire l’entropie microcanonique S ^∗ (en supposant N, n ± 1). Justifier qu’elle peut s’´ ecrire sous la forme S ^∗ (E, N, B) = N k

B

s(E/N ε B ) et donner l’expression de la fonction adimensionn´ ee s(x).

c) Appliquer la formule (3) pour l’aimantation (i.e. X → M et φ → B) et interpr´ eter le r´ esultat.

d) Limite de haute temp´ erature.– Montrer que s(x) ' ln 2 − x ² /2 pour x 1. D´ eduire une expression approch´ ee de la temp´ erature magn´ etique T ^∗ . Donner M ^∗ en fonction de N , m 0 , B et T ^∗ . Interpr´ eter le r´ esultat.

e) Bonus (facultatif) : dans le cas plus g´ en´ eral de spins s > 1/2, quelle partie de l’analyse changerait et quels r´ esultats seraient inchang´ es ?

2

(3)

3 Oscillateur anharmonique ^(∼ ^45mn)

On consid` ere un syst` eme en contact avec un thermostat ` a temp´ erature T .

1/ Donner la d´ efinition de la fonction de partition canonique Z (on note | ` i les micro´ etats et E _` les ´ energies).

2/ Comment d´ eduit-on l’´ energie moyenne E ^c de la fonction de partition (rappeler la d´ emonstration).

3/ On consid` ere un syst` eme unidimensionnel d´ ecrit par son hamiltonien H(x, p) = _2m ^p

²

+ V (x).

Le syst` eme est trait´ e classiquement.

a) Montrer que la fonction de partition se factorise sous la forme Z = Z cin Z pot o` u Z cin et Z _pot sont respectivement associ´ ees aux parties cin´ etique et potentielle de l’´ energie.

b) Calculer Z _cin et d´ eduire l’´ energie cin´ etique moyenne E ^c _cin .

c) Nous allons analyser Z pot de mani` ere approch´ ee pour un potentiel V (x) = ¹ ₂ κ x ² + λ x ⁴ . Pour cela on ´ ecrit e ^−βV ^(x) = e ⁻

¹²

^(x/a

²

⁾

²

e ^−(x/a

⁴

⁾

⁴

. Donner les expressions des deux ´ echelles de longueurs a ₂ et a ₄ en fonction de T .

d) En tra¸ cant les allures de e ⁻

¹²

^(x/a

²

⁾

²

et e ^−(x/a

⁴

⁾

⁴

, justifier que le terme quartique est n´ egligeable dans la limite des basses temp´ eratures. D´ eduire Z pot puis la contribution potentielle E ^c _pot ` a l’´ energie moyenne dans cette limite.

e) Dans la limite des hautes temp´ eratures, le terme quadratique de V (x) est n´ egligeable.

Montrer alors que Z pot ∝ β ^−θ et pr´ eciser la valeur de l’exposant θ. D´ eduire E ^c _pot . f) Calculer la capacit´ e calorifique C V = ∂E ^c /∂T dans les deux limites (avec E ^c = E ^c _cin +

E ^c _pot ). Identifier l’´ echelle de temp´ erature T crossover s´ eparant les deux r´ egimes, qu’on ex- primera en fonction de κ et λ. Tracer l’allure de C _V et interpr´ eter physiquement.

Dur´ ee de l’´ epreuve : 2h.

L3 et Magist` ere de physique fondamentale, DLMP & ENS-PSay

Examen partiel de Physique statistique Mercredi 10 mars 2021

Dur´ ee de l’´ epreuve : 2h.

L’utilisation de documents, calculatrices, t´ el´ ephones portables,. . . est interdite.

Recommandations :

Lisez attentivement l’´ enonc´ e et r´ edigez succinctement et clairement votre r´ eponse.

V´ erifiez vos calculs (analyse dimensionnelle, etc) ; n’oubliez pas de vous relire.

Pensez aux informations en annexe.

1 D´ efauts de Frenkel (∼ 30mn)

Figure 1 : Cristal de N = 35 atomes avec deux d´ efauts de Frenkel.

1/ ´ Enoncer le postulat fondamental de la physique statistique.

2/ Rappeler les d´ efinitions de l’entropie S ∗ et de la temp´ erature T ∗ microcanoniques.

3/ Combien y a-t-il de mani` eres de choisir les n atomes quittant les N sites du r´ eseau ? Combien y a-t-il de mani` eres pour que ces n atomes se placent parmi les N 0 sites interstitiels ? 4/ D´ eduire le nombre de micro´ etats Ω correspondant ` a n atomes sur les sites interstitiels.

Montrer que pour n N, N 0 on a

Ω ' (N 0 N ) n

(n!) 2 (1)

5/ D´ eduire l’entropie microcanonique S ∗ des atomes du cristal et donner son expression dans la limite N, N 0 n 1.

1

2 Variables conjugu´ ees dans l’ensemble microcanonique (∼ 40mn)

Consid´ erons un syst` eme dont l’´ energie d´ epend d’un param` etre φ, une

force

, conjugu´ e ` a une observable X (par exemple le champ magn´ etique φ → B et l’aimantation X → M ). Autrement dit, la valeur de l’observable dans un micro´ etat | ` i est reli´ ee ` a son ´ energie par

X ` = −∂E ` /∂φ . (2)

Si le syst` eme est isol´ e, on note X ∗ la moyenne microcanonique de l’observable (i.e. la moyenne sur les ´ etats accessibles ∈ [E, E + δE]). Notons S ∗ et T ∗ l’entropie et la temp´ erature microca- noniques. L’objectif de l’exercice est de montrer la relation

X ∗ = T ∗ ∂S ∗

∂φ (3)

et de discuter une application simple de cette formule tr` es g´ en´ erale.

− ) φ+δφ ( E ,φ)

Ω ( E X δ φ φ , + δφ E

δ

accessibles microétats

φ Ω

E

X δ φ E

δE

Figure 2 : Evolution des micro´ ´ etats accessibles lors d’un changement du param` etre φ → φ + δφ.

On note Ω(E, φ) le nombre de micro´ etats accessibles.

1/ Si l’on consid` ere une transformation suffisamment lente, pilot´ ee par une ”petite” variation de la force, φ → φ + δφ, l’´ energie du syst` eme change comme E → E − X ∗ δφ, d’apr` es (2).

Sous une telle transformation, le nombre de micro´ etats accessibles est conserv´ e (Fig. 2).

D´ emontrer alors la relation (3).

2/ Application : cristal de spins 1/2

On applique ces consid´ erations dans un cas tr` es simple : on consid` ere un cristal (isol´ e) de N spins 1/2, soumis ` a un champ magn´ etique B. On note n ± le nombre de spins dans l’´ etat

| ± i d’´ energie ε ± = ∓ε B avec ε B = m 0 B o` u m 0 est l’aimantation d’un spin.

a) Donner l’expression du nombre de micro´ etats accessibles Ω en fonction de N , n + et n − . b) D´ eduire l’entropie microcanonique S ∗ (en supposant N, n ± 1). Justifier qu’elle peut s’´ ecrire sous la forme S ∗ (E, N, B) = N k

s(E/N ε B ) et donner l’expression de la fonction adimensionn´ ee s(x).

c) Appliquer la formule (3) pour l’aimantation (i.e. X → M et φ → B) et interpr´ eter le r´ esultat.

d) Limite de haute temp´ erature.– Montrer que s(x) ' ln 2 − x 2 /2 pour x 1. D´ eduire une expression approch´ ee de la temp´ erature magn´ etique T ∗ . Donner M ∗ en fonction de N , m 0 , B et T ∗ . Interpr´ eter le r´ esultat.

e) Bonus (facultatif) : dans le cas plus g´ en´ eral de spins s > 1/2, quelle partie de l’analyse changerait et quels r´ esultats seraient inchang´ es ?

2

3 Oscillateur anharmonique (∼ 45mn)

On consid` ere un syst` eme en contact avec un thermostat ` a temp´ erature T .

1/ Donner la d´ efinition de la fonction de partition canonique Z (on note | ` i les micro´ etats et E ` les ´ energies).

2/ Comment d´ eduit-on l’´ energie moyenne E c de la fonction de partition (rappeler la d´ emonstration).

3/ On consid` ere un syst` eme unidimensionnel d´ ecrit par son hamiltonien H(x, p) = 2m p

+ V (x).

Le syst` eme est trait´ e classiquement.

a) Montrer que la fonction de partition se factorise sous la forme Z = Z cin Z pot o` u Z cin et Z pot sont respectivement associ´ ees aux parties cin´ etique et potentielle de l’´ energie.

b) Calculer Z cin et d´ eduire l’´ energie cin´ etique moyenne E c cin .

c) Nous allons analyser Z pot de mani` ere approch´ ee pour un potentiel V (x) = 1 2 κ x 2 + λ x 4 . Pour cela on ´ ecrit e −βV (x) = e −

(x/a

)

e −(x/a

)

. Donner les expressions des deux ´ echelles de longueurs a 2 et a 4 en fonction de T .

d) En tra¸ cant les allures de e −

(x/a

)

et e −(x/a

)

, justifier que le terme quartique est n´ egligeable dans la limite des basses temp´ eratures. D´ eduire Z pot puis la contribution potentielle E c pot ` a l’´ energie moyenne dans cette limite.

e) Dans la limite des hautes temp´ eratures, le terme quadratique de V (x) est n´ egligeable.

Montrer alors que Z pot ∝ β −θ et pr´ eciser la valeur de l’exposant θ. D´ eduire E c pot . f) Calculer la capacit´ e calorifique C V = ∂E c /∂T dans les deux limites (avec E c = E c cin +

E c pot ). Identifier l’´ echelle de temp´ erature T crossover s´ eparant les deux r´ egimes, qu’on ex- primera en fonction de κ et λ. Tracer l’allure de C V et interpr´ eter physiquement.

Relisez-vous (∼ 5mn)

Annexe

• Formule de Stirling : ln N ! ≈ N ln N − N pour N 1.

• N !/(N − m)! ' N m pour N m.

• R

R dx e −a x

2/ Rappeler les d´ efinitions de l’entropie S ^∗ et de la temp´ erature T ^∗ microcanoniques.

3/ Combien y a-t-il de mani` eres de choisir les n atomes quittant les N sites du r´ eseau ? Combien y a-t-il de mani` eres pour que ces n atomes se placent parmi les N ⁰ sites interstitiels ? 4/ D´ eduire le nombre de micro´ etats Ω correspondant ` a n atomes sur les sites interstitiels.

Montrer que pour n N, N ⁰ on a

Ω ' (N ⁰ N ) ⁿ

(n!) ² (1)

5/ D´ eduire l’entropie microcanonique S ^∗ des atomes du cristal et donner son expression dans la limite N, N ⁰ n 1.

2 Variables conjugu´ ees dans l’ensemble microcanonique ^(∼ ^40mn)

X _` = −∂E _` /∂φ . (2)

Si le syst` eme est isol´ e, on note X ^∗ la moyenne microcanonique de l’observable (i.e. la moyenne sur les ´ etats accessibles ∈ [E, E + δE]). Notons S ^∗ et T ^∗ l’entropie et la temp´ erature microca- noniques. L’objectif de l’exercice est de montrer la relation

X ^∗ = T ^∗ ∂S ^∗

1/ Si l’on consid` ere une transformation suffisamment lente, pilot´ ee par une ”petite” variation de la force, φ → φ + δφ, l’´ energie du syst` eme change comme E → E − X ^∗ δφ, d’apr` es (2).

a) Donner l’expression du nombre de micro´ etats accessibles Ω en fonction de N , n + et n − . b) D´ eduire l’entropie microcanonique S ^∗ (en supposant N, n ± 1). Justifier qu’elle peut s’´ ecrire sous la forme S ^∗ (E, N, B) = N k

d) Limite de haute temp´ erature.– Montrer que s(x) ' ln 2 − x ² /2 pour x 1. D´ eduire une expression approch´ ee de la temp´ erature magn´ etique T ^∗ . Donner M ^∗ en fonction de N , m 0 , B et T ^∗ . Interpr´ eter le r´ esultat.

3 Oscillateur anharmonique ^(∼ ^45mn)

1/ Donner la d´ efinition de la fonction de partition canonique Z (on note | ` i les micro´ etats et E _` les ´ energies).

2/ Comment d´ eduit-on l’´ energie moyenne E ^c de la fonction de partition (rappeler la d´ emonstration).

3/ On consid` ere un syst` eme unidimensionnel d´ ecrit par son hamiltonien H(x, p) = _2m ^p

a) Montrer que la fonction de partition se factorise sous la forme Z = Z cin Z pot o` u Z cin et Z _pot sont respectivement associ´ ees aux parties cin´ etique et potentielle de l’´ energie.

b) Calculer Z _cin et d´ eduire l’´ energie cin´ etique moyenne E ^c _cin .

c) Nous allons analyser Z pot de mani` ere approch´ ee pour un potentiel V (x) = ¹ ₂ κ x ² + λ x ⁴ . Pour cela on ´ ecrit e ^−βV ^(x) = e ⁻

^(x/a

⁾

e ^−(x/a

⁾

. Donner les expressions des deux ´ echelles de longueurs a ₂ et a ₄ en fonction de T .

d) En tra¸ cant les allures de e ⁻

^(x/a

⁾

et e ^−(x/a

⁾

, justifier que le terme quartique est n´ egligeable dans la limite des basses temp´ eratures. D´ eduire Z pot puis la contribution potentielle E ^c _pot ` a l’´ energie moyenne dans cette limite.

Montrer alors que Z pot ∝ β ^−θ et pr´ eciser la valeur de l’exposant θ. D´ eduire E ^c _pot . f) Calculer la capacit´ e calorifique C V = ∂E ^c /∂T dans les deux limites (avec E ^c = E ^c _cin +

E ^c _pot ). Identifier l’´ echelle de temp´ erature T crossover s´ eparant les deux r´ egimes, qu’on ex- primera en fonction de κ et λ. Tracer l’allure de C _V et interpr´ eter physiquement.

• N !/(N − m)! ' N ^m pour N m.

R dx e ^{−a x}