PanaMaths
[1 - 2]Juillet 2007
Démontrer que la somme de n variables aléatoires indépendantes deux à deux suivant la loi de Poisson de paramètre λ est une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.
Analyse
On a pratiquement affaire ici à une question de cours ! On procède classiquement en
cherchant la loi de la somme, l’hypothèse d’indépendance est essentielle pour mener le calcul.
Résolution
Notons X1, X2, …, Xn les n variables aléatoires indépendantes deux à deux et suivant la loi de Poisson de paramètre λ.
On s’intéresse à la variable aléatoire S définie par : 1 2
1
...
n
n i
i
S X X X X
=
= + + + =
∑
.Il vient alors, en utilisant successivement la formule des probabilités totales et l’indépendance des Xi :
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2 2
...
1 1 2 2
...
... 1
...
...
n
n
n n
i i
n n
k k k k
n n
k k k k
n
i i
k k k k i
p S k p X k
p X k X k X k
p X k p X k p X k p X k
=
+ + + =
+ + + =
+ + + = =
⎛ ⎞
= = ⎜⎝ = ⎟⎠
= = ∩ = ∩ ∩ =
= = = =
= =
∑
∑
∑
∑ Π
Or, chacune des variables aléatoires Xi suit une loi de Poisson de paramètre λ. On a donc :
{
1, 2,...,}
i n
∀ ∈ ,
( )
!
ki
i i
i
p X k e
k λ −λ
= =
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[2 - 2]Juillet 2007
Il vient alors :
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 ... 1
... 1
... 1
...
... 1 2
... 1 2
... 1 2
!
!
! !... !
! !... ! 1
! !... !
n
i
n
i
n
n
n
n n
i i
k k k k i
n k
k k k k i i
n k n
k k k k i i
k k k
n
k k k k n
k n
k k k k n
n k
k k n
p S k p X k
k e
e k
e k k k
e k k k
e k k k
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ λ
λ
λ
= + + + =
−
= + + + =
− + + + = =
+ + +
− + + + =
− + + + =
−
+ +
= = =
=
=
=
=
=
∑ Π
∑ Π
∑ Π
∑
∑
( )
( )
1 2 ... 1 2
fois le nombre 1.
!
! ! !... !
1 1 ... 1
!
!
!
n
n k k k
n
k k k k n
k n k
n k
n k
k n
e k
k k k k
k e
e n k
n e
k
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
+ =
−
+ + + =
−
−
−
=
= + + +
=
=
∑
∑
On identifia ainsi immédiatement la loi de S à une loi de Poisson de paramètre nλ.
Résultat final
La loi suivie par la somme de n variables aléatoires indépendantes deux à deux et suivant une même loi de Poisson de paramètre λ est une loi de Poisson de paramètre nλ.
