Loi d’une somme de variables aléatoires continues:
Soit Z=X+Y. On veut déterminer la fonction de répartition FZ(z) de la v.a. Z
On a:
où
1
( ≤ ) ( = + ≤ ) = ∫∫ ( )
=
A
Z
z P Z z P X Y z f x y dxdy
F ( ) ,
{ ( ) x y IR x y z }
A = , ∈
2/ + ≤
Prof. Mohamed El Merouani
2
La région Ahachurée sur le plan
Loi d’une somme de variables aléatoires continues:
Si X et Ysont indépendantes, on a:
3
( ) ( )
∫
∫ ∫
∫∫ ∫ ∫
∞ +
∞
−
∞ +
∞
−
−
∞
−
+∞
∞
−
−
∞
−
−
=
=
=
=
dx x f x z F dx
x f dy y f
dx dy y x f dxdy
y x f z
F
X Y
X x
z Y
A
x z Z
) ( ) (
) ( )
(
, ,
) (
Prof. Mohamed El Merouani
Loi d’une somme de variables aléatoires continues:
• On peut trouver de la même façon:
• En dérivant FZ(z) par rapport à zon trouve:
ou encore
4
+∞
∫
∞
−
−
= F z y f y dy z
F
Z( )
X( )
Y( )
+∞
∫
∞
−
−
= f z y f y dy z
f
Z( )
X( )
Y( )
+∞
∫
∞
−
−
= f z x f x dx z
f
Z( )
Y( )
X( )
Exemple:
Deux v.a. indépendantes Xet Yont pour densités marginales respectives:
1. Trouver la fonction de répartition conjointe de Xet Y.
2. Trouver la densité de probabilité de la somme Z=X+Y.
3. Calculer P(X>1,Y<1)et P(X<Y).
4. Calculer
5. Calculer la densité de la v.a. 5
<
=
−≥
0 0
) 0
( si x
x si x ae
f
ax
X
<
=
−≥
0 0
) 0
( si y
y si y be
f
by
et Y
< z Y P X
Y Z = X
Solution:
1. On a:
et
2. La densité de Z s’écrit:
6
( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ∫
∞
− −∞
−
= −
= x y f u v dvdu x yabe au bvdvdu y
x F
0 0
, ,
(
−e−ax)(
−e−by)
= 1 1
( ) ( )( )
− − ≥ ≥
= − −
autrement 0
0 et
0 si 1
, 1 e e x y
y x F
by ax
∫
∫
≥
−≥
−
− +∞ −
∞
−
=
−
=
0 0
)
) (
( ) ( )
(
x z x
x z b ax Y
X
Z z f x f z x dx ae be dx
f
Prof. Mohamed El Merouani
Si z≥0, on a:
Pour a≠b,
Pour a=b, et on a donc
7
(
bz az)
z
x b a bz
Z e e
b a dx ab e
abe z
f − − − − − −
= −
=
∫
0
)
) (
(
( )
<
≥
− −
= − −
0 0
) 0 (
z si
z si e
b e a
ab z
f
az bz
Z
0 )
( 2
0
2 = ≥
=
∫
a e− dx a ze− si zz
f az
z
az Z
<
= − ≥
0 0
) 0 (
2
z si
z si ze
z a f
az Z
Prof. Mohamed El Merouani
3. On calcule P(X>1,Y<1) où
8
( ) x y dxdy
f
A
∫∫
= ,
{
( , )∈ 2 / >1 <1}
= x y IR x et y A
Prof. Mohamed El Merouani
9
( )
+∞∫ ∫
− −
=
<
>
1 1
0
1 ,
1 Y be dy ae dx
X
P by ax
( )
+∞
∫
−
−
−=
1
1 e
bae
axdx
( − e
−b) e
−a= 1
• On a où
10
(
<)
=∫∫
− −B
by axe dydx abe
Y X P
{ x y IR x y }
B = ( , ) ∈
2/ <
( ) ∫ ∫
∞ ∞ − − =∫
∞ − + = +
=
<
0
) (
0 a b
dx a ae
dx e dy be a Y
X
P ax a b x
x by
4. On calcule
où
11
∫∫
=
<
C
dxdy y
x f Y z
P X ( , )
∈ <
= z
y IR x y x
C ( , ) 2 /
Prof. Mohamed El Merouani
5. On a:
où z est fixé.
Comme , la densité fZ(z)
de est donnée, pour zЄ]0,∞[, par
12
∫
∫ ∫
∞
+
− −
∞ ∞
−
= +
=
=
<
0
0 az b
dx az ae
dx e dy be a Y z
P X
z x a b ax
z x
by
(
≤)
= ≤ =∫∫
=
C
Z z f x y dydx
Y P X z Z P z
F ( ) ( , )
) (z b F
az z az Y
P X = Z
= +
<
Y Z = X
( )
( )
2( )
22
) ( )
( az b
ab b
az
z a b az z a
F z
fZ Z
= + +
−
= +
= ′
Changement de variables:
• Soient deux v.a. Xet Y continues. La densité du couple (X,Y) est f (x,y). On considère la transformation U=U(X,Y) et V=V(X,Y) et la transformation inverse X=X(U,V) et Y=Y(U,V).
• La fonction de densité de probabilité du couple (U,V) est:
13
[
x u v y u v]
Jv f u
y y x
x f v u
g ( , ), ( , )
) , (
) , ) ( , ( ) ,
( =
∂
= ∂
Prof. Mohamed El Merouani
Changement de variables:
• Où Jest le déterminant de Jacobi ou le Jacobien:
14
v y u y
v x u x v
u y J x
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂ =
= ∂
) , (
) , (
[
x u v y u v]
Jv f u
y y x
x f v u
g ( , ), ( , )
) , (
) , ) ( , ( ) ,
( =
∂
= ∂
Prof. Mohamed El Merouani
Exemple 1:
• A l’aide de la formule précédente on peut démontrer la formule de calcul de la densité de probabilité de Z=X+Y où X et Y sont deux v.a. indépendantes continues.
• En effet, comme on a f(x,y)=fX(x)fY(y) et en considérant la transformation
on obtient:
15
−
=
=
+
=
=
x z y
x ou x
y x z
x x
Exemple 1:
où
La fonction h(z) densité de probabilité de Z s’écrit, donc:
16
) (
) ( )
, ( )
,
( x z f x z x J f x f z x
g = − =
X Y−
1 1 1
0
1 =
= − J
∫
∫
+∞∞
− +∞
∞
−
−
=
= g x z dx f x f z x dx
z
h ( ) ( , )
X( )
Y( )
Exemple 2:
• Soient Xet Y deux v.a. indépendantes dont la densité de probabilité du couple (X,Y) est f(x,y). Trouver la densité de probabilité Z=XY.
• On considère la transformation:
• Pour x≠0, on a:
17
=
=
=
=
x y z
x x xy ou
z x x
x J x z f z x
g
=
,
) , (
Exemple 2:
où
On a, donc,
et la densité de Z s’écrit:
18
x x x
J z 1
1 0 1
2
− =
=
x x f z x f z x
g
X Y1
) ( )
,
(
=
x dx f z x x f
dx z x g z
h X Y
=
= +∞
∫ ∫
∞
−
+∞
∞
−
) 1 (
) , ( )
(
Prof. Mohamed El Merouani
Exercice à faire!
Soient deux v.a. X et Y dont la densité de probabilité conjointe est donnée par:
1. Trouver la densité de probabilité de Z=2X+Y 2. Trouver la densité de probabilité du couple
(U,V) où U=XY et V=XY2.
19
< < < <
=
ailleurs 0
3 1
, 2 0
8 si )
,
( xy x y
y x f
Corrigés:
1.On considère la transformation ou
On a où
L’ensemble correspond à
20
+
=
= y x z
x x
2
−
=
= x z y
x x
2
J x z x f z x
g( , )= ( , −2 ) 1
1 2
0
1 =
= − J
{ ( , ) ∈
2/ 0 < < 2 , 1 < < 3 }
= x y IR x y
A
B={
(x,z)∈IR2 /0< x< 2,1< z−2x<3}
Prof. Mohamed El Merouani
21
• On obtient, donc,
• La densité de Z sera:
• Alors, il faut distinguer les cas pour z et déterminer les bornes de l’intégrale pour x:
22
− < < < − <
=
ailleurs 0
3 2 1
; 2 0
8 si ) 2 ( )
,
( x z x x z x
z x g
+∞
∫
∞
−
= g x z dx
z
g( ) ( , )
Prof. Mohamed El Merouani
23
2 0 1
3
1 < < ⇒ < < z − x z
2 1 2
5 3
3< < ⇒ − < < z− z x
z
2 2 7 3
5 < < ⇒ z − < x <
z
Prof. Mohamed El Merouani
• Donc
24
<
− <
<
− <
<
− <
=
∫
∫
∫
−
−
−
−
ailleurs z x dx
z x
z x dx
z x
z x dx
z x
z g
z z
z z
; 0
7 5
8 ; ) 2 (
5 3
8 ; ) 2 (
3 1
8 ; ) 2 (
) (
2
2 3 2
1
2 3 2
1
0
• D’où
25
( )
( )
( )
<
<
− +
−
<
<
+
<
<
+
−
=
ailleurs z z
z
z z
z z
z z
g
; 0
7 5
; 182 192 75
1
5 3
; 16 192 24
1
3 1
; 2 192 3
1
) (
3 3
Prof. Mohamed El Merouani
2. Soit la transformation ou
L’ensemble correspond à
ou
26
=
= XY
2V
XY U
=
= U Y V
V X U
2
{ ( , ) ∈
2/ 0 < < 2 , 1 < < 3 }
= x y IR x y
A
∈ < < < <
= ( , ) / 0 2 , 1 3
2 2
u v v
IR u v
u C
{ u v IR u v u v u }
C = ( , ) ∈
2/
2< 2 , < < 3
et on a:
où
On obtient, donc,
ou
27
( x u v y u v ) J
f v u
g ( , ) = ( , ), ( , )
v u u
v v
u v
u
J 1
1 2
2
2 2
− =
= −
< < <
=
ailleurs u v u v v u
u v v u v
u g
; 0
3 ,
2 1;
8 1 ) , (
2 2
< < <
=
ailleurs u v u v v u
u v
u g
; 0
3 ,
2 8 ;
) , (
2
Prof. Mohamed El Merouani
