Loi d’une somme de variables aléatoires continues:
Soit Z=X+Y. On veut déterminer la fonction de répartition FZ(z) de la v.a. Z
On a:
où
1
( ≤ ) ( = + ≤ ) = ∫∫ ( )
=
A
Z
z P Z z P X Y z f x y dxdy
F ( ) ,
{ ( ) x y IR x y z }
A = , ∈
2/ + ≤
La région Ahachurée sur le plan
Loi d’une somme de variables aléatoires continues:
Si X et Ysont indépendantes, on a:
3
( ) ( )
∫
∫ ∫
∫∫ ∫ ∫
∞ +
∞
−
∞ +
∞
−
−
∞
−
+∞
∞
−
−
∞
−
−
=
=
=
=
dx x f x z F dx
x f dy y f
dx dy y x f dxdy
y x f z
F
X Y
X x
z Y
A
x z Z
) ( ) (
) ( )
(
, ,
) (
Prof. Mohamed El Merouani
Loi d’une somme de variables aléatoires continues:
• On peut trouver de la même façon:
• En dérivant FZ(z) par rapport à zon trouve:
ou encore
+∞
∫
∞
−
−
= F z y f y dy z
F
Z( )
X( )
Y( )
+∞
∫
∞
−
−
= f z y f y dy z
f
Z( )
X( )
Y( )
+∞
∫
∞
−
−
= f z x f x dx z
f
Z( )
Y( )
X( )
Exemple:
Deux v.a. indépendantes Xet Yont pour densités marginales respectives:
1. Trouver la fonction de répartition conjointe de Xet Y.
2. Trouver la densité de probabilité de la somme Z=X+Y.
3. Calculer P(X>1,Y<1)et P(X<Y).
4. Calculer
5. Calculer la densité de la v.a. 5
<
= − ≥
0 0
) 0
(
si x
x si x ae
f
ax
X
<
= − ≥
0 0
) 0
(
si y
y si y be
f
by
et Y
< z Y P X
Y Z = X
Solution:
1. On a:
et
2. La densité de Z s’écrit:
( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ∫
∞
− −∞
−
= −
= x y f u v dvdu x yabe au bvdvdu y
x F
0 0
, ,
(
−e−ax)(
−e−by)
= 1 1
( ) ( )( )
− − ≥ ≥
= − −
autrement 0
0 et
0 si 1
, 1 e e x y
y x F
by ax
∫
∫
≥
−≥
−
− +∞ −
∞
−
=
−
=
0 0
)
) (
( ) ( )
(
x z x
x z b ax Y
X
Z z f x f z x dx ae be dx
f
Si z≥0, on a:
Pour a≠b,
Pour a=b, et on a donc
7
(
bz az)
z
x b a bz
Z e e
b a dx ab e
abe z
f − − − − − −
= −
=
∫
0
)
) (
(
( )
<
≥
− −
= − −
0 0
) 0 (
z si
z si e
b e a
ab z
f
az bz
Z
0 )
( 2
0
2 = ≥
=
∫
a e− dx a ze− si zz
f az
z
az Z
<
= − ≥
0 0
) 0 (
2
z si
z si ze
z a f
az Z
Changement de variables:
• Soient deux v.a. Xet Y continues. La densité du couple (X,Y) est f (x,y). On considère la transformation U=U(X,Y) et V=V(X,Y) et la transformation inverse X=X(U,V) et Y=Y(U,V).
• La fonction de densité de probabilité du couple (U,V) est:
[
x u v y u v]
Jv f u
y y x
x f v u
g ( , ), ( , )
) , (
) , ) ( , ( ) ,
( =
∂
= ∂
Changement de variables:
• Où Jest le déterminant de Jacobi ou le Jacobien:
9
v y u y
v x u x v
u y J x
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂ =
= ∂
) , (
) , (
[
x u v y u v]
Jv f u
y y x
x f v u
g ( , ), ( , )
) , (
) , ) ( , ( ) ,
( =
∂
= ∂
Exemple 1:
• A l’aide de la formule précédente on peut démontrer la formule de calcul de la densité de probabilité de Z=X+Y où X et Y sont deux v.a. indépendantes continues.
• En effet, comme on a f(x,y)=fX(x)fY(y) et en considérant la transformation
on obtient:
−
=
=
+
=
=
x z y
x ou x
y x z
x
x
Exemple 1:
où
La fonction h(z) densité de probabilité de Z s’écrit, donc:
11
) (
) ( )
, ( )
,
( x z f x z x J f x f z x
g = − =
X Y−
1 1 1
0
1 =
= − J
∫
∫
+∞∞
− +∞
∞
−
−
=
= g x z dx f x f z x dx z
h ( ) ( , )
X( )
Y( )
Exemple 2:
• Soient Xet Y deux v.a. indépendantes dont la densité de probabilité du couple (X,Y) est f(x,y). Trouver la densité de probabilité Z=XY.
• On considère la transformation:
• Pour x≠0, on a:
=
=
=
=
x y z
x x xy ou
z x x
x J x z f z x
g
= , )
, (
Exemple 2:
où
On a, donc,
et la densité de Z s’écrit:
13
x x x
J z 1
1 0 1
2
− =
=
x x f z x f z x
g
X Y 1) ( )
,
(
=
x dx f z x x f
dx z x g z
h X Y
=
= +∞
∫ ∫
∞
−
+∞
∞
−
) 1 (
) , ( )
(
Exercice à faire!
Soient deux v.a. X et Y dont la densité de probabilité conjointe est donnée par:
1. Trouver la densité de probabilité de Z=2X+Y 2. Trouver la densité de probabilité du couple
(U,V) où U=XY et V=XY2.
< < < <
=
ailleurs 0
3 1
, 2 0
8 si )
,
( xy x y
y x f
