Somme de variables aléatoires

Vecteurs aléatoires

TD14

Maximum, minimum

Exercice 14.1 (F)

SoientX1, . . . , Xndes variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes une loiB(p). Déterminer la loi deZ = max(X1, . . . , Xn).

Exercice 14.2 (F)

SoientX₁, . . . , X_ndes variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes une loiG(p) avecp∈]0,1[, et soit Z = min(X₁, . . . , X_n). Montrer que Z suit une loi usuelle dont on précisera les paramètres. Calculer E(Z) etV(Z).

Exercice 14.3 (FF)

Un sac contientN boules numérotées de 1 à N. On effectue dans ce sacntirages d’une boule avec remise et on noteZn le plus petit numéro obtenu. Déterminer la loi de Zn.

Exercice 14.4 (F - Minimum et maximum de lois uniformes)

Soit a >0 et soient X1, . . . , Xn n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi uniforme U([0, a]).

On pose

Y = max(X1, . . . , Xn) et Z= min(X1, . . . , Xn).

Montrer queY etZ sont des variables aléatoires à densité et en déterminer une densité.

Exercice 14.5 (FF - Lois uniformes et loi de Pareto)

Soitn≥3 et soientZ₁, . . . , Z_ndes variables aléatoires indépendantes sur (Ω,A, P) suivant toutes la loi uniforme sur ]0, a], a >0. On pose alorsXi = 1

Zi.

1. Montrer queX1est une variable aléatoire à densité, et qu’une densité de X1 est :

f :x∈R7→





 1

ax² six≥ ¹_a

0 sinon

2. SoitYn= min(X1, . . . , Xn). Montrer queYn est une variable à densité, et qu’une densité deYn est :

g:x∈R7→

( n

aⁿxⁿ⁺¹ six≥ ¹_a

0 sinon

3. Montrer queYn admet une espérance et une variance, et les calculer.

4. Scilab. Écrire une fonctionparetoqui simule la loi deXn pour a >0 etn∈N^∗.

1. On est dans le cas d’une variable fonction d’une variable aléatoire à densité. On procède donc par étapes.

Étape 1. Support deX1. On a 0< Z1≤a, d’oùX1= 1 Z1

≥1

a. AinsiX1(Ω) = [¹_a,+∞[. En particulier, on aF_X1(x) = 0 pour toutx < 1

a.

Étape 2. Fonction de répartition de X₁. Pour toutx≥ 1 a, on a : FX₁(x) =P(X1≤x) =P

1 Z1

≤x

=P

Z₁≥ 1 x

= 1−P

Z₁< 1 x

= 1−P

Z₁≤ 1 x

carZ₁à densité

= 1−FZ₁

1 x

= 1−

1 x−0

a−0 = 1− 1 xa car _x¹ ∈]0, a]. Ainsi on a :

FX1 :x∈R7→





 1− 1

xa six≥ 1

0 sinon. a .

Étape 3. X1 variable à densité. La fonction FX₁ est continue sur R sauf éventuellement en 1

a comme composée de fonctions continues. En 1

a, on a : lim

x→_a¹⁻

FX₁(x) = 0 =FX₁(1/a) = lim

x→¹_a⁺

FX₁(x).

AinsiF_X1 est continue surR. Elle est aussiC¹surRsauf éventuellement en1

a comme composée de fonctionsC¹.

Étape 4. Densité de X₁. Pour toutx6= 1/a, on a :

F_X⁰₁(x) =





 1

ax² six > 1 a 0 six < 1 a .

Une densité deX1 est donnée par :

fX₁ :x∈R7→





 1

ax² six≥ 1 0 sinon. a , la valeur en 1/aétant choisie arbitrairement.

2. Pour toutx∈R, on a :

P(Y_n > x) =P(X₁> x, X₂> x, . . . , X_n> x) =P(X₁> x)ⁿ

car lesXi sont indépendantes et suivent la même loi. On en déduit que pour toutx∈R: FY_n(x) = 1−P(Yn> x) = 1−P(X1> x)ⁿ= 1−(1−FX₁(x))ⁿ.

On a vu queFX₁ est continue sur Ret de classe C¹ surR sauf éventuellement en 1/a. Donc FY_n

est aussi continue surRet de classeC¹surRsauf éventuellement en 1/a, en tant que composée de fonctions qui le sont. AinsiYn est une variable à densité. De plus pour toutx6= 1/a, on a :

F_Y⁰_n(x) =nF_X⁰₁(x)(1−FX1(x))ⁿ⁻¹. Une densité deY_n est donc :

f_Yn:x∈R7→nf_X1(x)(1−F_X1(x))ⁿ⁻¹=





 n 1

ax² 1

(xa)ⁿ⁻¹ six≥_a¹

0 sinon. =

( n

aⁿxⁿ⁺¹ six≥¹_a

0 sinon. .

3. Yn admet une espérance si et seulement si l’intégraleZ +∞

−∞

xg(x) dx= n aⁿ

Z +∞

1/a

dx

xⁿ converge absol- ument, donc converge car la fonction intégrée est positive. On reconnait ici une intégrale de Riemann en +∞qui converge bien carn >1. AinsiE(Yn) existe et vaut :

E(Yn) = n aⁿ

Z +∞

1/a

dx xⁿ = n

aⁿ lim

A→+∞

x⁻ⁿ⁺¹

−n+ 1 ^A

1/a

= n aⁿ

aⁿ⁻¹

n−1 = n (n−1)a.

Yn admet un moment d’ordre 2 si et seulement si l’intégrale Z +∞

−∞

x²g(x) dx = n aⁿ

Z +∞

1/a

dx xⁿ⁻¹ converge absolument, donc converge car la fonction intégrée est positive. On reconnait là aussi une intégrale de Riemann en +∞qui converge bien carn−1>1. AinsiE(Y_n²) existe bien et on a :

E(Y_n²) = n aⁿ

Z +∞

1/a

dx xⁿ⁻¹ = n

aⁿ lim

A→+∞

x⁻ⁿ⁺²

−n+ 2 ^A

1/a

= n aⁿ

aⁿ⁻²

n−2 = n (n−2)a². Par la formule de Huygens,V(Yn) existe et vaut :

V(Y_n) =E(Y_n²)−E(Y_n)²= n

(n−2)a²− n²

(n−1)²a² =(n−1)²−n(n−2) (n−2)(n−1)²

n a²

= n

(n−2)(n−1)²a².

4. En suivant la construction desY_n, on propose la fonction suivante :

1 function y = pareto(a,n)

2 x = grand(1,n,'unf',0,a).^(-1) \\simule n réalisations indép. de X_1

3 y = min(x)

4 endfunction

Exercice 14.6 (FFF)

SoitN une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres netp(n∈N^∗,p∈]0,1[).

SoitX₀, X₁, . . . , X_n n+ 1 variables aléatoires suivant la loi uniforme sur [0,1].

On suppose queX₀, X₁, . . . , X_n, N sont mutuellement indépendantes.

1. Soit k ∈ {0, . . . , n}. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire Tk = min(X₀, X₁, . . . , Xk).

2. On poseT = min(X0, X1, . . . , XN).

(a) Montrer queT est une variable aléatoire.

(b) Montrer queT est une variable à densité et déterminer une densité deT.

(c) Scilab. Écrire une fonctionsimulation qui simule la loi deT pourn∈Net p∈]0,1[.

1. Pour toutx∈R, on a :

P(T_k> x) =P(X₀> x, . . . , X_k> x) =P(X₀> x)^k+1 car les va sont indép et de même loi.

On obtient donc :

FT_k(x) = 1−(1−FX₀(x))^k+1.

2. (a) Il faut ici se ramener à la définition d’une variable aléatoire réelle : T est une variable aléatoire réelle si et seulement si pour tout x ∈ R, [T ≤ x] appartient à A, ce qui est équivalent à [T > x]∈A (puisqu’une tribu est stable par passage au complémentaire). On a, en utilisant

le système complet d’évènements ([N =k]) que : [T > x] =

n

[

k=0

[T > x]∩[N=k] =

n

[

k=0

[T_k > x]∩[N =k]

=

n

[

k=0

[X1> x]∩ · · · ∩[Xk > x]∩[N =k]

Or X1, . . . , Xn et N sont des variables aléatoires, donc [Xj > x]∈A pour tout j = 0, . . . , n et [N =k] ∈A aussi. PuisqueA est stable par intersection et union finie ou dénombrable, [T > x] est bien un évènement. Ainsi T est bien une variable aléatoire.

(b) Toujours avec le même SCE, on a pour toutx∈R: F_T(x) =

n

X

k=0

P([T ≤x]∩[N=k] =

n

X

k=0

P([T_k ≤x]∩[N =k])

=

n

X

k=0

P(T_k≤x)P(N =k) par indép.

=

n

X

k=0

1−(1−FX₀(x))^k+1

P(N =k)

=

n

X

k=0

P(N =k)−

n

X

k=0

(1−FX₀(x))^k+1P(N =k)

= 1−(1−FX₀(x))

n

X

k=0

n k

(1−FX₀(x))^kp^k(1−p)^n−k

= 1−(1−FX₀(x)) (p−pFX₀(x) + (1−p))ⁿ = 1−(1−FX₀(x)) (1−pFX₀(x))ⁿ Par composée et somme de fonctions continues surR,FT est continue surR. Elle est aussi de classeC¹ surRsauf ENFP. Donc T est bien une variable à densité.

Précisons l’expression deF_T. On aF_T(x) = 0 si x≥0

FT(x) =







0 six≤0

1−(1−x)(1−px) si 0< x <1

1 six >0

D’où pour toutx6= 0,1 :

F_T(x) =







0 six <0

(1−px) +p(1−x) si 0< x <1

0 six >0

Une densité deT est donc :

fT :x∈R7→







0 six≤0

1 +p−2px si 0< x <1

0 six≥0

.

(c) On propose la fonction suivante :

1 function T = simulation(n,p)

2 N = grand(1,1,'bin',n,p)

3 X = rand(1,N)

4 T = min(X)

5 endfunction

Exercice 14.7 (FFFF - QSP HEC 2015)

Soit (Xn)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un espace probabilisé (Ω,A, P) de même loi exponentielle de paramètrea >0.

Pourx∈R^∗+, on définit la variable aléatoireNxpar :

∀ω∈Ω, Nx(ω) =

(min(k∈N^∗, Xk(ω)> x) si cet ensemble n’est pas vide

0 sinon .

1. Déterminer la loi deN_x et préciser son espéranceE(N_x).

2. Déterminer lim

x→+∞P(Nx> E(Nx)).

1. Notons tout d’abord queN_x(Ω) =N(puisqu’on fait un minimum sur des entiers !). On a :

P(Nx= 0) =P \

k∈N^∗

[Xk≤x]

!

= lim

N→+∞P(

N

\

k=1

Xk≤x)

= lim

N→+∞P(X₁≤x)^N car les va sont indép.

= 0 car 0≤P(X₁≤x)<1 Pour toutk∈N^∗, on a l’égalité d’évènements :

[Nx=k] = [X1≤x]∩[X2≤x]∩ · · · ∩[X_k−1≤x]∩[Xk> x]

puisquek= min(k∈N^∗, Xk(ω)> x). Comme les variablesXi sont indépendantes, on obtient : P(Nx=k) =P(X1≤x). . . P(X_k−1≤x)P(Xk > x)

=P(X1≤x)^k−1(1−P(X1≤x)).

AinsiNxsuit une loi géométrique de paramètre 1−FX1(x) =e^−ax. En particulier,E(Nx) existe et

vaut 1

1−FX1(x) =e^ax.

2. Soitx∈R^∗+. Notonsn=b_1−F¹

X1(x)c+ 1. On a : P(N_x> E(N_x)) =

+∞

X

k=n

P(N_x=k) =

+∞

X

k=n

F_X1(x)^k−1(1−F_X1(x))

= (1−FX₁(x))FX₁(x)ⁿ⁻¹

1−F_X1(x) =FX₁(x)ⁿ⁻¹= exp ((n−1) ln(FX₁(x))) On an−1 =b_1−F¹

X1(x)cet donc :

n−1≤ 1

1−FX₁(x) < n.

En particulier on obtient :

1

1−FX1(x)−1< n−1≤ 1 1−FX1(x). Puisque ln(FX₁(x))≤0, on en déduit :

ln(F_X1(x))

1−FX₁(x)−ln(F_X1(x))>(n−1) ln(F_X1(x))≥ ln(F_X1(x)) 1−FX₁(x). Or lorsquex→+∞, on aFX₁(x)→1, et donc ln(FX₁(x)) ∼

x→+∞FX₁(x)−1. Ainsi on a :

x→+∞lim

ln(F_X1(x))

1−FX₁(x) =−1 = lim

x→+∞

ln(F_X1(x))

1−FX₁(x)−ln(F_X1(x)).

Par le théorème des gendarmes, on en déduit que lim

x→+∞(n−1) ln(FX₁(x)) =−1. Par continuité de l’exponentielle, on peut donc conclure que :

x→+∞lim P(Nx> E(Nx)) =e⁻¹.

Vecteurs aléatoires, fonction d’un vecteur

Exercice 14.8 (FF)

Une urne contientnboules numérotées de 1 àn(n≥3). On tire simultanément trois boules dans l’urne, et on noteX1le plus petit des trois numéros,X3 le plus grand etX2 le numéro intermédiaire.

1. Déterminer la loi de (X₁, X₂, X₃).

2. En déduire la loi deX2, puis son espérance.

Exercice 14.9 (FF)

Soient X, Y, Z trois variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi de Poisson P(λ). Montrer que X+Y

1 +Z admet une espérance, et la déterminer.

Exercice 14.10 (FFFF - QSP HEC 2008)

Les variables aléatoires considérées dans cet exercice sont définies sur un même espace probabilisé (Ω,A, P).

On considèrenvariables aléatoires à densité, de même loi et indépendantesX1, . . . , Xn. On noteF la fonction de répartition etf une densité desX_i.

Pour tout ω ∈ Ω, on note (Y₁(ω), Y₂(ω), . . . , Y_n(ω)) la suite des X_i(ω) pour 1≤i ≤ nréordonnés par ordre croissant. On a doncY₁(ω)≤Y₂(ω)≤ · · · ≤Y_n(ω) pour toutω de Ω.

1. Si 1≤k≤net x∈R, montrer que :

P([Yk≤x]) =

n

X

j=k

n j

F(x)^j(1−F(x))^n−j. 2. En déduire queY_k admet une densité qu’on explicitera sans le signeX

.

1. Fixonsx∈R. On définit une variable aléatoireNx en posant pour tout ω ∈Ω, Nx(ω) le nombre d’indices k ∈ J1, nK tels que Xk(ω) ≤ x. Nx correspond donc au nombre de succès lors d’une répétition de n épreuves de Bernoulli identiques (car les Xk suivent la même loi) avec probabilité de succèsp=P(X1≤x), et indépendantes (car lesXk sont indépendantes). Donc Nxsuit une loi binomiale de paramètresnet p.

D’autre part puisque les Y_i sont ordonnés, l’évènement [Y_k ≤ x] est réalisé si et seulement si au moinskvariables parmi (X₁, . . . , X_n) sont inférieures àx, soit si et seulement si [N_x≥k] est réalisé.

Ainsi on a :

P(Y_k ≤x) =P(N_x≥k) =

n

X

j=k

P(N_x=j)

=

n

X

j=k

n j

p^j(1−p)^n−j

=

n

X

j=k

n j

F(x)^j(1−F(x))^n−j

2. On a obtenu l’expression de la fonction de répartition Fk de Yk à la question précédente. En particulierFk est combinaison linéaire, somme et produit de fonctions continues surR(carF l’est).

DoncFk est continue sur R. Elle est de plus C¹ sur Rsauf éventuellement en un nombre fini de points pour les mêmes raisons (carF l’est). DoncYk est à densité.

Pour toutx∈RoùF est dérivable, on a : F_k⁰(x) =

n

X

j=k

n j

jf(x)F(x)^j−1(1−F(x))^n−j−

n

X

j=k

n j

(n−j)f(x)F(x)^j(1−F(x))^n−j−1

=

n

X

j=k

n j

jf(x)F(x)^j−1(1−F(x))^n−j−

n−1

X

j=k

n j

(n−j)f(x)F(x)^j(1−F(x))^n−j−1

=nf(x)

n

X

j=k

n−1 j−1

F(x)^j−1(1−F(x))^n−j−nf(x)

n−1

X

j=k

n−1 j

F(x)^j(1−F(x))^n−j−1

=nf(x)





n−1

X

j=k−1

n−1 j

F(x)^j(1−F(x))^n−j−1−

n−1

X

j=k

n−1 j

F(x)^j(1−F(x))^n−j−1





=nf(x) n−1

k−1

F(x)^k−1(1−F(x))^n−k Une densité deY_k est donc :

fk:x∈R7→nf(x) n−1

k−1

F(x)^k−1(1−F(x))^n−k.

Somme de variables aléatoires

Exercice 14.11 (F)

SoientX1, X2, X3 des variables indépendantes de loiE(λ), et soitT =X1+X2+X3. CalculerP(T >1).

Exercice 14.12 (FF)

On désigne parpun réel de ]0,1[. On considère une suite de variables aléatoires (X_n)n∈N^∗, indépendantes, dont la loi commune est donnée, pour toutn∈N^∗, par : P(Xn = 1) =pet P(Xn =−1) = 1−p.

1. On poseYn=aXn+b avec (a, b)∈R².

Détermineraetb pour queYn suive une loi de Bernoulli de paramètrep. 2. Pour toutn∈N^∗, on poseSn=

n

X

k=1

Xk. Déterminer la loi deSn.

3. Application. Un supporter de foot sort d’un bar après une longue soirée. À chaque seconde, il avance d’un mètre en se déplaçant d’un mètre vers la droite avec la probabilitép, et d’un mètre vers la gauche avec la probabilité 1−p. Ent= 0, il se trouve à la sortie du bar, à l’ordonnéey= 0.

(a) Donner la loi de son ordonnée à l’instantt=nsecondes.

(b) En moyenne, où se trouve-t-il àt= 10 secondes ?

(c) Scilab. Proposer une fonction d’entête u = marche(n,p) simulant la marche de ce supporter pendantnsecondes. Cette fonction renverra un vecteurude longueurn+1, dont lak-ème coordonnée contient l’ordonnée du supporter à l’instantt=k+ 1.

(d) Scilab. Proposer un script qui représente la trajectoire de ce supporter pendant 1000 secondes.

Exercice 14.13 (FF - Loi duχ²)

Soit n ∈ N^∗, et X₁, . . . , X_n n variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi normale centrée réduite. On noteZ= 1

2

n

X

i=1

X_i². 1. Montrer que 1

2X₁² suit une loi usuelle que l’on déterminera.

2. En déduire la loi deZ.

Exercice 14.14 (FF - Loi binomiale négative)

On considère une expérience ayant probabilitépde réussite, et 1−pd’échouer.

On répète l’expérience jusqu’à obtenirmsuccès, et on noteX le nombre d’essais nécessaires.

On note égalementXi la variable aléatoire qui vaut 1 si l’expérienceia été un succès, et 0 sinon.

1. Reconnaitre la loi deX lorsque m= 1.

2. Déterminer la loi deX_i.

3. Écrire l’évènement [X=k] en fonction d’évènements formés à partir des variables aléatoiresX₁+· · ·+X_k−1 et X_k.

4. En déduire la loi deX dans le cas général.

5. En écrivantX comme somme demvariables aléatoires suivant une loi usuelle, déterminer l’espérance de X.

Exercice 14.15 (FF - LoiΓ à deux paramètres - ) Soientb etν deux réels strictement positifs. On définit la fonction

f :t7→







0 sit≤0

t^ν−1e^−tb

b^νΓ(ν) sit >0 1. Montrer quef est une densité de probabilité.

Dans la suite, on considère une variable aléatoireX admettant pour densitéf, et on dit queX suit la loi Γ de paramètresbet ν, et on écrit X ,→Γ(b, ν).

2. Quelle est la loi de 1

bX ? Quelle est la loi deX siν = 1 ? 3. Reconnaitre la loi Γ(1, ν).

4. Montrer queX admet une espérance et une variance, et qu’on aE(X) =bν etV(X) =b²ν.

5. Soient X₁, X₂ deux variables aléatoires réelles indépendantes sur (Ω,A, P) telles queX₁ ,→Γ(b, ν₁) et X2,→Γ(b, ν2). Montrer queX1+X2,→Γ(b, ν1+ν2).

On pourra commencer par considérer la loi de ^X_b¹ +^X_b².

6. Plus généralement, siX₁, . . . , X_n sont nvariables mutuellement indépendantes telles que X_i ,→Γ(b, ν_i), montrer queX₁+· · ·+X_n,→Γ(b, ν₁+· · ·+ν_n).

7. Soient X₁, . . . , X_n des variables aléatoires mutuellement indépendantes sur (Ω, A, P) suivant la loi expo- nentielle E(λ). Montrer queX₁+· · ·+X_n suit la loi Γ(_λ¹, n).

8. SoitY une variable aléatoire suivant la loiN(0,1). Montrer que Y² suit une loi Γ dont on précisera les paramètres.

1. f est bien continue surRsauf éventuellement en 0, et positive surR. On cherche à présent à montrer que :

Z +∞

−∞

f(t) dt= 1 b^νΓ(ν)

Z +∞

0

t^ν−1e^−t/bdt (∗)

converge et vaut 1. C’est l’intégrale d’une fonction continue sur ]0,+∞[, elle est donc généralisée en 0 et en +∞.

Posons pour cela x= ^t_b. C’est un changement de variables affine donc licite. On a dt = bdxet x: 0→+∞lorsquet: 0→+∞. Par le théorème de changement de variables, l’intégrale (∗) est de même nature que l’intégrale :

Z +∞

0

(bx)^ν−1e^−xbdx=b^ν Z +∞

0

x^ν−1e^−xdx.

On reconnait ici une intégrale Γ(ν) qui converge carν >0. On peut donc conclure queZ +∞

−∞

f(t) dt converge, et on a :

Z +∞

−∞

f(t) dt= 1

b^νΓ(ν)b^νΓ(ν) = 1. Ainsif est bien une densité de probabilité.

2. Y =1

bX est une variable à densité par transformation affine d’une variable à densité, et une densité deY est donnée par (formule du cours) :

fY :t7→bf(bt) =







0 sit≤0

1

Γ(ν)t^ν−1e^−t sit >0. AinsiY suit une loi γ(ν).

Siν = 1, alors on a :

f :t7→







0 sit≤0

1

bt^ν−1e^−t/b sit >0

On reconnait la densité d’une loiE(¹_b). DoncX suit dans ce cas une loi exponentielle de paramètre 1

b.

3. La loi Γ(1, ν) n’est autre que la loi Γ(ν).

4. Utilisons queY =1

bX suit une loiγ(ν). Y admet un moment d’ordreksi et seulement si Z +∞

−∞

t^kfY(t) dt=Z +∞

0

1

Γ(ν)t^ν+k−1e^−tdt

converge absolument, soit si et seulement si cette intégrale converge puisque la fonction intégrée est positive. Or on reconnait ici une intégrale d’une fonction gamma. Elle converge donc et elle vaut

Γ(ν+k)

Γ(ν) . Ainsi Y admet un moment d’ordrekqui vaut : E(Y^k) =Γ(ν+k)

Γ(ν) = (ν+k−1)(ν+k−2). . .(ν+ 1)Γ(ν)

Γ(ν) = (ν+k−1)(ν+k−2). . . ν.

On en déduit par linéarité queX admet un moment d’ordrekqui vaut : E(X) =b^kE(Y) =b^k(ν+k−1)(ν+k−2). . . ν.

En particulier, on a :

E(X) =bν et E(X²) = (ν+ 1)νb² et donc par la formule de Huygens :

V(X) = (ν+ 1)νb²−b²ν²=νb² 5. PuisqueX1etX2sont indépendantes, il en est de même de X1

b et de X2

b par le lemme de coalition.

De plus ces variables suivent une loiγ(ν1) etγ(ν2). Par stabilité de la loi Gamma, on en déduit que 1

b(X1+X2) suit une loiγ(ν1+ν2) = Γ(1, ν1+ν2). D’après la question 2., on en déduit queX1+X2

suit la loi Γ(b, ν₁+ν₂).

6. On raisonne par récurrence surn∈N^∗.

Init. Sin= 1, c’est immédiat. Donc la propriété est vraie au rang n= 1.

Hér. Soitn≥1 et supposons la propriété vraie au rangn. Montrons la au rangn+ 1.

Par hypothèse de récurrence,X1+· · ·+Xn suit une loi Γ(b, ν1+· · ·+νn). Par le lemme de coalition,X₁+· · ·+X_n est indépendante deX_n+1. Enfin en utilisant la question précédente, on en déduit que :

X₁+· · ·+X_n+X_n+1= (X₁+· · ·+X_n) +X_n+1,→Γ(b, ν₁+· · ·+ν_n+ν_n+1). On obtient donc le résultat voulu par principe de récurrence.

7. Soient X1, . . . , Xn mutuellement indépendantes suivant une loi E(λ) = Γ(¹_λ,1). Par la question précédente, on en déduit queX1+· · ·+Xn suit une loi Γ(¹_λ, n).

8. On a vu à l’exercice 13 (à refaire si nécessaire) que Y²

2 suit une loiγ(1/2) = Γ(1,¹₂). On en déduit par la question 2 queY²suit une loi Γ(2,¹₂).

Exercice 14.16 (FFFF - Oral ESCP 2014)

Soit (X_n)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, définies sur un même espace probabilisé (Ω,A, P) et suivant la loi exponentielle de paramètreλ >0.

Pour tout entiern≥1, on poseS_n=

n

X

k=1

X_k etU_n= min

1≤k≤nX_k 1. Soitnun entier naturel non nul.

(a) Déterminer la loi deUn.

(b) Donner une densité deSn. Montrer que pour toutx >0, P(Sn> x) =e^−λx

n−1

X

k=0

λ^kx^k k! .

2. Soit N une variable aléatoire définie sur (Ω,A, P), indépendante des (Xi) et qui suit la loi géométrique de paramètre p, avec 0< p <1. On définitS etU par :

pour toutω∈Ω,S(ω) =S_N(ω)(ω) etU(ω) =U_N(ω)(ω).

On admet que S etU sont des variables aléatoires.

(a) Montrer queU est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité de U. (b) Déterminer la loi deS.

1. (a) On a déjà fait ce calcul (voir cours par exemple), on montre queU_n suit une loiE(nλ).

(b) Là aussi, le calcul a déjà été fait (voir cours). On montre queSn,→Γ(¹_λ, n). On en déduit que pour toutx >0 :

P(Sn> x) = λⁿ Γ(n)

Z +∞

x

tⁿ⁻¹e^−λtdt.

SoitA > x. On fait une intégration par partie :

+ tⁿ⁻¹ e^−λt

&

- (n−1)tⁿ⁻² −e^−λt

& λ

... ... e^−λt

λ²

−1)ⁿ⁻¹ (n−1)! ...

&

(−1)ⁿ 0 ←− (−1)ⁿe^−λt λⁿ

Les fonctionst7→tⁿ⁻¹ ett7→e^−λtsont de classeCⁿ. On obtient donc : Z A

x

tⁿ⁻¹e^−λtdt=

−tⁿ⁻¹e^−λt

λ −(n−1)tⁿ⁻²e^−λt

λ² − · · · − (n−1)!

(n−k−1)!t^n−ke^−λt

λ^k − · · · −(n−1)!e^−λt λⁿ

^A

x A→+∞−→

n−1

X

k=0

(n−1)!

(n−k−1)!x^n−1−ke^−λx λ^k+1 par croissances comparées. On en déduit que :

P(Sn > x) = λⁿ Γ(n)

n−1

X

k=0

(n−1)!

(n−k−1)!x^n−1−ke^−λx λ^k+1 =

n−1

X

k=0

λ^n−1−k

(n−k−1)!x^n−1−ke^−λx=

n−1

X

i=0

λⁱ i!xⁱe^−λx 2. (a) On cherche la fonction de répartition de U. Notons tout d’abord que U ∈]0,+∞[ presque

surement, et donc que FU(x) = 0 si x ≤ 0. Soit x > 0. On applique la FPT avec le SCE ([N=n])n∈N^∗ (on pourra toujours procéder de cette manière dans cette situation).

F_U(x) =

+∞

X

n=1

P([U ≤x]∩[N =n])

=

+∞

X

n=1

P([Un≤x]∩[N=n])

=

+∞

X

n=1

P(U_n≤x)P(N=n) par indép.

=

+∞

X

n=1

(1−e^−λnxP(N =n)

=

+∞

X

n=1

P(N=n)−

+∞

X

n=1

e^−λnx(1−p)ⁿ⁻¹p

= 1−e^−λxp

+∞

X

n=1

(e^−λx(1−p))ⁿ⁻¹

= 1−e^−λxp 1 1−e^−λx(1−p)

= 1−e^−λx 1−e^−λx(1−p) Ainsi la fonction de répartition deU est donnée par :

F_U :x7→







0 six≤0

1−e^−λx

1−e^−λx(1−p) six >0

On vérifie que cette fonction de répartition est continue sur R(il faut étudier notamment ce qui se passe en 0), et de classeC¹surRprivé de 0. DoncU est à densité.

Pour toutx6= 0, on a :

F_U⁰(x) =







0 six <0

λe^−λx(1−e^−λx(1−p)) + (1−e^−λx)(1−p)λe^−λx

(1−e^−λx(1−p))² six >0 Une densité deU est donc :

f :x7→







0 six≤0

λe^−λx((2−p)−(2−2p)e^−λx)

(1−e^−λx(1−p))² six >0

(b) PuisqueS >0 presque surement, on a déjà queFS(x) = 0 pour toutx≤0. Supposonsx >0.

On a par la FPT :

P(S > x) =

+∞

X

n=1

P(S > x, N =n) =

+∞

X

n=1

P(Sn> x, N =n)

=

+∞

X

n=1

P(Sn> x)P(N =n) par indépendance

=e^−λxp

+∞

X

n=1 n−1

X

k=0

λ^kx^k k!

!

(1−p)ⁿ⁻¹

=e^−λxp

+∞

X

n=1 n−1

X

k=0

λ^kx^k

k! (1−p)ⁿ⁻¹

La série double considérée est à termes positifs. De plus elle converge. Elle converge donc absolument, et on peut appliquer Fubini : la somme étant sur un triangle, on a :

k: 0→+∞ et àkfixé, n:k+ 1→+∞.

Ainsi on a :

P(S > x) =e^−λxp

+∞

X

k=0 +∞

X

n=k+1

λ^kx^k

k! (1−p)ⁿ⁻¹=e^−λxp

+∞

X

k=0

λ^kx^k k!

+∞

X

n=k+1

(1−p)ⁿ⁻¹

=e^−λxp

+∞

X

k=0

λ^kx^k

k! (1−p)^k 1

1−(1−p) =e^−λx

+∞

X

k=0

λ^kx^k

k! (1−p)^k

=e^−λxe^λx(1−p)=e^−λpx.

Finalement, on obtient queP(S≤x) = 1−e^−λpx. S suit donc une loiE(λp).

Exercice 14.17 (FFFF - QSP ESCP 2014)

Soit (Xi)i≥1 une suite de variables aléatoires sur un espace probabilisé (Ω,A, P), mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi géométrique de paramètrep.

Pour toutn∈N^∗, on poseSn =

n

X

k=1

Xk.

1. Soitn∈N^∗. Montrer que la variable aléatoire 1 Sn

admet une espérance, que l’on notera par la suitem_n. 2. Soient (k, n)∈N×N^∗. Déterminer l’espérance de S_k

Sn en fonction demn.

1. Puisque lesXi suivent des lois géométriques, on aSn≥1 presque surement. Ainsi on a 0≤ 1 S_n ≤1 presque surement. DoncE(_S¹_n) existe par théorème d’existence de l’espérance par domination.

2. On étudie plusieurs cas :

• Cask=n. Dans ce cas S_k Sn

= 1 et son espérance existe et vaut 1.

• Cask≥n. On a alors :

S_k

Sn = 1 + X_n+1+· · ·+X_k Sn

. Par lemme de coalition, les variablesXn+1+· · ·+Xk et 1

S_n sont indépendantes, et admettent toutes les deux une espérance. Par produit de variables indépendantes,X_n+1+· · ·+X_k

Sn

admet

une espérance et on a : E

Xn+1+· · ·+Xk

Sn

=E(Xn+1+· · ·+Xk)E( 1

Sn) =k−n p mn

Et donc l’espérance de Sk

Sn existe et vaut 1 + k−n p mn.

• Cas k < n. Pour tout i∈J1, kK, commençons par remarquer que les variables Xi

Sn suivent la même loi. Pour le voir, notons d’abord que les vecteurs (X1, . . . , Xi, . . . Xn) et (Xi, . . . , X1, . . . Xn) ont même loi (quitte à se ramener à la définition de la loi d’un vecteur du cours). Comme la fonction g : (x1, . . . , xn) 7→ x₁

x1+· · ·+xn est continue sur (R^∗+)ⁿ (cette notion sera précisée dans un prochain chapitre), on en déduit (propriété du cours) que :

g(X₁, . . . , X_i, . . . , X_n) = X₁ X1+· · ·+Xn

et g(X_i, . . . , X₁, . . . , X_n) = X_i X1+· · ·+Xn

ont même loi pour touti.

De plus pour touti ∈J1, kK, les variables Xi

S_n admettent une espérance puisque 0 ≤ Xi

S_n ≤1 (existence de l’espérance par domination). Par linéarité de l’espérance, on a :

1 =E Sn

S_n

=

n

X

i=1

E Xi

S_n

=

n

X

i=1

E X1

S_n

car elles sont de même loi

=nE X1

Sn

Donc on a pour tout i ∈ J1, nK, E

X_i S_n

= 1

n. Finalement par linéarité de l’espérance, on obtient que :

E

(Sk

Sn

=

k

X

i=1

E Xi

Sn

= k n