Somme de variables aléatoires

(1)

ECS2 Lycée Louis Pergaud

Vecteurs aléatoires

TD14

Maximum, minimum

Exercice 14.1 (F)

SoientX1, . . . , Xndes variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes une loiB(p). Déterminer la loi deZ = max(X1, . . . , Xn).

SoientX1, . . . , Xndes variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes une loiG(p) avecp∈]0,1[, et soit Z = min(X1, . . . , Xn). Montrer que Z suit une loi usuelle dont on précisera les paramètres. Calculer E(Z) etV(Z).

Exercice 14.3 (FF)

Un sac contientN boules numérotées de 1 à N. On effectue dans ce sacntirages d’une boule avec remise et on noteZn le plus petit numéro obtenu. Déterminer la loi de Zn.

Exercice 14.4 (F - Minimum et maximum de lois uniformes)

Soit a >0 et soient X₁, . . . , X_n n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi uniforme U([0, a]).

On pose

Y = max(X₁, . . . , X_n) et Z= min(X₁, . . . , X_n).

Montrer queY etZ sont des variables aléatoires à densité et en déterminer une densité.

Exercice 14.5 (FF - Lois uniformes et loi de Pareto)

Soitn≥3 et soientZ1, . . . , Zndes variables aléatoires indépendantes sur (Ω,A, P) suivant toutes la loi uniforme sur ]0, a], a >0. On pose alorsX_i = 1

Z_i.

1. Montrer queX₁est une variable aléatoire à densité, et qu’une densité de X₁ est : f :x∈R7→





 1

ax² six≥ ¹_a

0 sinon

2. SoitY_n= min(X₁, . . . , X_n). Montrer queY_n est une variable à densité, et qu’une densité deY_n est : g:x∈R7→

( n

aⁿxⁿ⁺¹ six≥ ¹_a

0 sinon

3. Montrer queYn admet une espérance et une variance, et les calculer.

4. Scilab. Écrire une fonctionparetoqui simule la loi deX_n pour a >0 etn∈N^∗.

Exercice 14.6 (FFF)

SoitN une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres netp(n∈N^∗,p∈]0,1[).

SoitX0, X1, . . . , Xn n+ 1 variables aléatoires suivant la loi uniforme sur [0,1].

On suppose queX0, X1, . . . , Xn, N sont mutuellement indépendantes.

1. Soit k ∈ {0, . . . , n}. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire Tk = min(X0, X1, . . . , Xk).

2. On poseT = min(X0, X1, . . . , XN).

(a) Montrer queT est une variable aléatoire.

1

(2)

(b) Montrer queT est une variable à densité et déterminer une densité deT.

(c) Scilab. Écrire une fonctionsimulation qui simule la loi deT pourn∈Net p∈]0,1[.

Exercice 14.7 (FFFF - QSP HEC 2015)

Soit (X_n)_n∈_N^∗ une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un espace probabilisé (Ω,A, P) de même loi exponentielle de paramètrea >0.

Pourx∈R^∗+, on définit la variable aléatoireNxpar :

∀ω∈Ω, Nx(ω) =

(min(k∈N^∗, Xk(ω)> x) si cet ensemble n’est pas vide

0 sinon .

1. Déterminer la loi deNx et préciser son espéranceE(Nx).

2. Déterminer lim

x→+∞P(Nx> E(Nx)).

Vecteurs aléatoires, fonction d’un vecteur

Une urne contientnboules numérotées de 1 àn(n≥3). On tire simultanément trois boules dans l’urne, et on noteX1le plus petit des trois numéros,X3 le plus grand etX2 le numéro intermédiaire.

1. Déterminer la loi de (X₁, X₂, X₃).

2. En déduire la loi deX2, puis son espérance.

Soient X, Y, Z trois variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi de Poisson P(λ). Montrer que X+Y

1 +Z admet une espérance, et la déterminer.

Exercice 14.10 (FFFF - QSP HEC 2008)

Les variables aléatoires considérées dans cet exercice sont définies sur un même espace probabilisé (Ω,A, P).

On considèrenvariables aléatoires à densité, de même loi et indépendantesX1, . . . , Xn. On noteF la fonction de répartition etf une densité desXi.

Pour tout ω ∈ Ω, on note (Y1(ω), Y2(ω), . . . , Yn(ω)) la suite des Xi(ω) pour 1≤i ≤ nréordonnés par ordre croissant. On a doncY1(ω)≤Y2(ω)≤ · · · ≤Yn(ω) pour toutω de Ω.

1. Si 1≤k≤net x∈R, montrer que :

P([Y_k≤x]) =

n

X

j=k

n j

F(x)^j(1−F(x))^n−j.

2. En déduire queY_k admet une densité qu’on explicitera sans le signeX .

Somme de variables aléatoires

SoientX1, X2, X3 des variables indépendantes de loiE(λ), et soitT =X1+X2+X3. CalculerP(T >1).

On désigne parpun réel de ]0,1[. On considère une suite de variables aléatoires (X_n)n∈N^∗, indépendantes, dont la loi commune est donnée, pour toutn∈N^∗, par : P(X_n = 1) =pet P(X_n =−1) = 1−p.

2

(3)

1. On poseYn=aXn+b avec (a, b)∈R².

Détermineraetb pour queYn suive une loi de Bernoulli de paramètrep.

2. Pour toutn∈N^∗, on poseSn=

n

X

k=1

Xk. Déterminer la loi deSn.

3. Application. Un supporter de foot sort d’un bar après une longue soirée. À chaque seconde, il avance d’un mètre en se déplaçant d’un mètre vers la droite avec la probabilitép, et d’un mètre vers la gauche avec la probabilité 1−p. Ent= 0, il se trouve à la sortie du bar, à l’ordonnéey= 0.

(a) Donner la loi de son ordonnée à l’instantt=nsecondes.

(b) En moyenne, où se trouve-t-il àt= 10 secondes ?

(c) Scilab. Proposer une fonction d’entête u = marche(n,p) simulant la marche de ce supporter pendantnsecondes. Cette fonction renverra un vecteurude longueurn+1, dont lak-ème coordonnée contient l’ordonnée du supporter à l’instantt=k+ 1.

(d) Scilab. Proposer un script qui représente la trajectoire de ce supporter pendant 1000 secondes.

Exercice 14.13 (FF - Loi duχ²)

Soit n ∈ N^∗, et X1, . . . , Xn n variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi normale centrée réduite. On noteZ= 1

2

n

X

i=1

X_i².

1. Montrer que 1

2X₁² suit une loi usuelle que l’on déterminera.

2. En déduire la loi deZ.

Exercice 14.14 (FF - Loi binomiale négative)

On considère une expérience ayant probabilitépde réussite, et 1−pd’échouer.

On répète l’expérience jusqu’à obtenirmsuccès, et on noteX le nombre d’essais nécessaires.

On note égalementXi la variable aléatoire qui vaut 1 si l’expérienceia été un succès, et 0 sinon.

1. Reconnaitre la loi deX lorsque m= 1.

2. Déterminer la loi deXi.

3. Écrire l’évènement [X=k] en fonction d’évènements formés à partir des variables aléatoiresX1+· · ·+Xk−1

et Xk.

4. En déduire la loi deX dans le cas général.

5. En écrivantX comme somme demvariables aléatoires suivant une loi usuelle, déterminer l’espérance de X.

Exercice 14.15 (FF - LoiΓ à deux paramètres - ) Soientb etν deux réels strictement positifs. On définit la fonction

f :t7→







0 sit≤0

t^ν−1e⁻^t^b

b^νΓ(ν) sit >0 1. Montrer quef est une densité de probabilité.

Dans la suite, on considère une variable aléatoireX admettant pour densitéf, et on dit queX suit la loi Γ de paramètresbet ν, et on écrit X ,→Γ(b, ν).

2. Quelle est la loi de 1

bX ? Quelle est la loi deX siν = 1 ?

3

(4)

3. Reconnaitre la loi Γ(1, ν).

4. Montrer queX admet une espérance et une variance, et qu’on aE(X) =bν etV(X) =b²ν.

5. Soient X₁, X₂ deux variables aléatoires réelles indépendantes sur (Ω,A, P) telles queX₁ ,→Γ(b, ν₁) et X₂,→Γ(b, ν₂). Montrer queX₁+X₂,→Γ(b, ν₁+ν₂).

On pourra commencer par considérer la loi de ^X_b¹ +^X_b².

6. Plus généralement, siX₁, . . . , Xn sont nvariables mutuellement indépendantes telles que Xi ,→Γ(b, νi), montrer queX1+· · ·+Xn,→Γ(b, ν1+· · ·+νn).

7. Soient X1, . . . , Xn des variables aléatoires mutuellement indépendantes sur (Ω, A, P) suivant la loi exponentielle E(λ). Montrer queX1+· · ·+Xn suit la loi Γ(_λ¹, n).

8. SoitY une variable aléatoire suivant la loiN(0,1). Montrer que Y² suit une loi Γ dont on précisera les paramètres.

Exercice 14.16 (FFFF - Oral ESCP 2014)

Soit (X_n)_n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, définies sur un même espace probabilisé (Ω,A, P) et suivant la loi exponentielle de paramètreλ >0.

Pour tout entiern≥1, on poseSn=

n

X

k=1

Xk etUn= min

1≤k≤nXk

1. Soitnun entier naturel non nul.

(a) Déterminer la loi deUn.

(b) Donner une densité deSn. Montrer que pour toutx >0, P(Sn> x) =e^−λx

n−1

X

k=0

λ^kx^k k! .

2. Soit N une variable aléatoire définie sur (Ω,A, P), indépendante des (X_i) et qui suit la loi géométrique de paramètre p, avec 0< p <1. On définitS etU par :

pour toutω∈Ω,S(ω) =S_N(ω)(ω) etU(ω) =U_N_(ω)(ω).

On admet que S etU sont des variables aléatoires.

(a) Montrer queU est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité de U.

(b) Déterminer la loi deS.

Exercice 14.17 (FFFF - QSP ESCP 2014)

Soit (X_i)_i≥1 une suite de variables aléatoires sur un espace probabilisé (Ω,A, P), mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi géométrique de paramètrep.

Pour toutn∈N^∗, on poseS_n =

n

X

k=1

X_k.

1. Soitn∈N^∗. Montrer que la variable aléatoire 1 Sn

admet une espérance, que l’on notera par la suitemn. 2. Soient (k, n)∈N×N^∗. Déterminer l’espérance de Sk

Sn

en fonction demn.

4