SOMME DE VARIABLES aléatoires – Feuille d’exercices
Besoin d’un point sur le cours ? Les Formats Cours t’attendent sur www.mathsentete.fr ou sur Les corrigés des exercices seront à retrouver sur le Padlet Terminales https://padlet.com/mathsentete
Exercice 1 : une entreprise fabrique des pièces en grande série. Une pièce est considérée conforme si elle répond aux critères de diamètre et d’épaisseur exigés. Afin de vérifier la conformité de ces pièces, on procède à deux tests : un test sur le diamètre et un test sur l’épaisseur. On effectue les deux tests sur 500 pièces et on observe que 18 pièces ont un défaut de diamètre ; 15 pièces ont un défaut d’épaisseur et 5 pièces ont les deux défauts.
1. Compléter le tableau suivant :
2. On prélève au hasard une pièce parmi les 500 pièces testées, elles ont toutes la même probabilité d’être choisies. Quelle est la probabilité que la pièce prélevée présente les deux défauts ?
3. On prélève au hasard une pièce parmi celles qui présentent un défaut de diamètre, elles ont toutes la même probabilité d’être choisies. Quelle est la probabilité que la pièce prélevée présente également un défaut d’épaisseur ?
4. Soit 𝑋 la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée, associe son nombre de défaut de conformité.
a. Donner la loi de probabilité de 𝑋.
b. Calculer l’espérance de 𝑋.
5. L'entreprise décide de commercialiser les 500 pièces testées :
• les pièces présentant les deux défauts sont invendables et détruites ;
• les pièces présentant uniquement le défaut de diamètre sont bradées au prix de 10 € chacune ;
• celles présentant uniquement le défaut d’épaisseur sont soldées au prix de 25 € chacune ;
• enfin les pièces correctes sont vendues au prix de 30 € chacune.
Sachant que le coût de fabrication d'une pièce est de 10 €, calculer le bénéfice moyen que peut espérer l’entreprise.
Pièces ayant un
défaut de diamètre Pièces n'ayant pas un
défaut de diamètre Total Pièce ayant un défaut
d’épaisseur Pièce n’ayant pas un
défaut d’épaisseur
Total 500
Exercice A : Jeu équitable ?
Un jeu est organisé de la manière suivante : le joueur mise 3 € puis fait tourner une roue partagée en 6 secteurs circulaires. Lorsque la roue s'immobilise, un repère situé devant la roue indique le secteur circulaire désigné. On suppose que la roue est lancée suffisamment vite pour que la position du repère corresponde à un tirage aléatoire et la probabilité que le repère indique un secteur donné est donc proportionnelle à l'angle au centre de ce
secteur. Sur chacun des secteurs circulaires est affichée une somme que le joueur reçoit :
le secteur 1 mesure 150° et affiche 0 € le secteur 4 mesure 30° et affiche 6 € le secteur 2 mesure 100° et affiche 3 € le secteur 5 mesure 20° et affiche 10 € le secteur 3 mesure 50° et affiche 4 € le secteur 6 mesure 10° et affiche 15 €.
On appelle gain du joueur la somme, positive ou négative, que le joueur obtient après le lancer de la roue : cette somme prend en compte la mise de 3 € (par exemple, le gain correspondant au secteur 5 est égal à 7 €).
On note 𝑋 la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable 𝑋.
2. Quelle est la probabilité d’obtenir un gain d'au moins 3 € ? 3. a. Calculer l’espérance mathématique de la variable 𝑋.
b. Le jeu est-il équitable ?
4. Dans cette question, les cinq premiers secteurs sont inchangés, mais le sixième affiche une somme de 𝑎 € où 𝑎 est un réel positif. On note encore 𝑋 la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur.
a. Calculer l'espérance mathématique de la variable 𝑋 en fonction du réel 𝑎.
b. Déterminer la valeur de 𝑎 pour que cette espérance soit nulle.
Exercice 2 : un carré de côté 20 𝑐𝑚 et de centre 𝑂 est partagé selon les zones suivantes : Un « petit » disque de centre 𝑂 et de rayon 1 𝑐𝑚 (zone 𝐶) ;
8 secteurs 𝑆4, 𝑆5, …, 𝑆6 de même aire, délimité par les frontières du « petit » disque et du « grand » disque de même centre et de rayon 9 𝑐𝑚.
Une zone 𝑅 entre le « grand » disque et les bords du carré.
On place un point aléatoirement dans le carré, la probabilité de placer le point dans une zone quelconque est proportionnelle à l’aire de cette zone.
1. a. Déterminer la probabilité 𝑃(𝐶) que le point soit placé dans le « petit » disque.
b. Déterminer la probabilité 𝑃(𝑆4) que le point soit placé dans le secteur 1.
2. À cette expérience aléatoire est associé le jeu suivant : Un point placé dans « petit » disque fait gagner 10 €.
Un point placé dans le secteur 𝑆< fait gagner 𝑘 € (où 𝑘 est un entier compris entre 1 et 8).
Un point placé dans la zone 𝑅 fait perdre 4 €.
On note 𝑋 la variable aléatoire égale au gain algébrique obtenu.
Calculer l’espérance de 𝑋.
• •
• •
• •
•
•
•
•
•
•
𝑅
𝐶 𝑆4 𝑆5 𝑆>
𝑆? 𝑆@
𝑆A 𝑆B 𝑆6
Exercice B : « Espérance, variance et écart-type »
Pour chacune des variables aléatoires suivantes dont on donne la loi de probabilité à l’aide d’un tableau, déterminer l’espérance, la variance et l’écart-type.
On détaillera les calculs, mais on pourra vérifier les résultats à la calculatrice.
Si besoin, on arrondira les résultats à 0,01 près.
𝑥E −4 0 9 25
𝑝(𝑋 = 𝑥E) 0,50 0,20 0,20 0,10
𝑦E −25 −3 5 100
𝑝(𝑌 = 𝑦E) 1 3
1
6 0,3 0,2
𝑧E −5 0 4 10
𝑝(𝑍 = 𝑧E) 0,42 0,38 0,15 0,05
Exercice 3 : 𝑋 et 𝑌 sont deux variables aléatoires indépendantes telles que 𝐸(𝑋) = −1, 𝑉(𝑋) = 2, 𝐸(𝑌) = 0 et 𝑉(𝑌) = 0,5.
Calculer 𝐸(𝑋 + 𝑌), 𝐸(2𝑋 + 5𝑌), 𝐸(2𝑋 + 10), 𝑉(𝑋 + 𝑌), 𝑉(3𝑋) et 𝑉(𝑛𝑌) où 𝑛 est un nombre entier naturel.
Exercice 4 : on considère deux variables aléatoires indépendantes 𝑋 et 𝑌 dont les lois de probabilités sont résumées dans les tableaux ci-dessous :
𝑥E −2 0 3 4 𝑦E −10 0 20
𝑃(𝑋 = 𝑥E) 0,5 0,2 0,2 0,1 𝑃(𝑌 = 𝑦E) 0,33 0,48 0,19 Calculer 𝐸(𝑋 + 𝑌), 𝑉(𝑋 + 𝑌) et 𝜎(𝑋 + 𝑌).
Exercice 5 :
1. 𝑋 suit une loi de Bernoulli de paramètre 𝑝 = 0,6 et 𝑌 suit une loi de Bernoulli de paramètre 𝑝 = 0,33.
En supposant que 𝑋 et 𝑌 sont indépendantes, calculer 𝐸(𝑋 + 𝑌), 𝐸(𝑋 − 𝑌) et 𝑉(𝑋 + 𝑌).
2. 𝑋 suit une loi Binomiale de paramètres 𝑛 = 10 et 𝑝 = 0,5 et 𝑌 suit une loi Binomiale de paramètres 𝑛 = 10 et 𝑝 = 0,42. En supposant que 𝑋 et 𝑌 sont indépendantes, calculer 𝐸(𝑋 + 𝑌), 𝑉(𝑋 + 𝑌) et 𝜎(𝑋 + 𝑌).
3. 𝑋 est une variable aléatoire sur un univers fini Ω telle que 𝐸(𝑋) = 3 et 𝑉(𝑋) = 0,5 et 𝑌 est une variable aléatoire sur Ω constante égale à 6. Après avoir donné la loi de probabilité de 𝑌, déterminer son espérance et son écart-type puis calculer 𝐸(𝑋 + 𝑌) et 𝑉(𝑋 + 𝑌).
Exercice 6 : on lance un dé tétraédrique équilibré dont les faces portent les montants : 10€, 1€, −2€ et −4€.
On note 𝑋 la variable aléatoire égale au gain algébrique affiché lorsqu’on lance le dé.
1. a. Calculer 𝐸(𝑋) puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
b. Calculer 𝑉(𝑋) puis 𝜎(𝑋).
2. On décide de doubler chacun des montants et on note 𝑌 la variable aléatoire donnant le gain algébrique à ce deuxième jeu. Exprimer 𝑌 en fonction de 𝑋 puis déterminer 𝐸(𝑌), 𝑉(𝑌) et 𝜎(𝑌).
3. On décide d’ajouter 1€ à chacun des montants et on note 𝑍 la variable aléatoire donnant le gain algébrique à ce troisième jeu. Exprimer 𝑍 en fonction de 𝑋 puis déterminer 𝐸(𝑍), 𝑉(𝑍) et 𝜎(𝑍).
Exercice 7 : on choisit au hasard et avec remise 3 cartes dans un jeu de 52 cartes.
On gagne 7€ par as obtenu, 4€ par valet, dame ou roi obtenu et on perd 1€ pour n’importe quelle autre carte obtenue. On note 𝑍 la variable aléatoire donnant le gain algébrique total à ce jeu.
Décomposer 𝑍 sous la forme d’une somme de trois variables aléatoires puis calculer 𝐸(𝑍).
Exercice 8 : le temps de trajet de Carmen en bus pour aller au lycée lui impose un changement dans le centre-ville.
Le temps de trajets peut varier suivant les heures, les lignes de transport, les embouteillages. Le temps de trajet entre sa maison et le centre-ville peut être de 5, 8 ou 10 min avec des probabilités respectives de 4>, 45@ et 4?. Indépendamment, le temps de trajet entre le centre-ville et le lycée peut être de 3, 6 ou 9 minutes avec des probabilités respectives de 4>, 4> et 4>.
𝑋 est la variable aléatoire donnant le temps de trajet en minutes de Carmen entre sa maison et le centre-ville et 𝑌 est la variable aléatoire donnant son temps de trajet en minutes entre le centre-ville et le lycée.
1. Que représente la variable aléatoire 𝑋 + 𝑌 ?
2. Calculer 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑌) puis 𝐸(𝑋 + 𝑌) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Exercice 9 : une entreprise produit des stylos en grande quantité. La probabilité qu’un stylo présente un défaut est égale à 0,1. On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos.
On note 𝑋 la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire 𝑋 ? On justifiera la réponse et on précisera les paramètres de cette loi.
2. Calculer la probabilité des événements suivants :
𝐴 : « Aucun stylo ne présente de défaut dans le lot » ; B : « Au moins un stylo présente un défaut dans le lot » ;
𝐶 : « Exactement deux stylos présentent un défaut dans le lot ».
3. Calculer l’espérance mathématique 𝐸(𝑋) de la variable aléatoire 𝑋. Interpréter le résultat dans le contexte.
4. Calculer la variance 𝑉(𝑋) puis l’écart-type 𝜎(𝑋) de la variable aléatoire 𝑋.
Exercice 10 : un avion transporte 350 passagers. La probabilité qu’un passager oublie ses bagages dans l’avion est de 0,004. On suppose que le comportement de chaque voyageur vis-à-vis de ses bagages est indépendant des autres voyageurs. On choisit au hasard 20 passagers, on assimile ce choix avec un tirage avec remise.
On note 𝑋 la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers ayant oublié leurs bagages sur les 20 choisis.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? On justifiera la réponse et on précisera les paramètres de cette loi.
2. Calculer l’espérance mathématique 𝐸(𝑋) puis interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé.
Exercice 11 : 𝑋 est une variable aléatoire suivant la une loi binomiale d’espérance 60.
Elle se décompose en la somme de 𝑛 variables aléatoires suivant la loi de Bernoulli de paramètre 𝑝 = 0,75.
Déterminer la valeur de 𝑛.
Exercice 12 : quand il joue au bowling, Matéo a une probabilité égale à 0,1 de faire un strike.
Il lance 10 fois la boule de manière indépendante. Pour tout nombre entier naturel 𝑖 compris entre 1 et 10, 𝑋E est la variable aléatoire prenant la valeur 1 s’il fait un strike et 0 sinon, au 𝑖-ième lancer.
1. Que peut-on dire de la variable aléatoire 𝑋 = 𝑋4+ 𝑋5 + ⋯ + 𝑋4V ? 2. Calculer 𝐸(𝑋) et 𝑉(𝑋).
Exercice 13 : un test de solidité sur un prototype d’une nouvelle pièce automobile montre que dans 95% des cas la pièce testée résiste. On effectue 30 tests de manière indépendante et on note Y la variable aléatoire donnant le nombre de tests pour lesquels la pièce n’a pas résisté.
1. Déterminer une loi de probabilité permettant d’écrire 𝑌 sous la forme d’une somme de variable aléatoire indépendantes suivant toutes cette loi.
2. Calculer 𝐸(𝑌).
Exercice 14 : la variable aléatoire 𝑋 donnant le nombre de baguette ayant eu une mauvaise cuisson dans un échantillon de 50 baguettes d’une même boulangerie suit une loi binomiale de paramètres 𝑛 = 50 et 𝑝 = 0,03.
On recueille les résultats (indépendants) du prélèvement de 50 baguettes dans 10 boulangeries et on note 𝑍 la variable aléatoire donnant le nombre de baguettes ayant eu une mauvaise cuisson sur l’ensemble des 10 boulangeries. Déterminer 𝐸(𝑍), 𝑉(𝑍) et 𝜎(𝑍).
Exercice 15 : 𝑋 est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres 𝑛 = 6 et 𝑝 = 0,579.
On considère un échantillon (𝑋4, 𝑋5, … , 𝑋@V) de la loi suivie par 𝑋 ainsi que les variables aléatoires : 𝑆@V= 𝑋4+ 𝑋5 + ⋯ + 𝑋@V et 𝑀@V= Z[\Z]@V\⋯\Z^_.
Déterminer les espérances, variances et écarts-type de 𝑆@V et 𝑀@V au centième près.
Exercice 16 : 𝑋 est une variable aléatoire d’espérance 5,6 et d’écart-type 4?.
On considère un échantillon de taille 𝑛, où 𝑛 ∈ ℕ∗, (𝑋4, 𝑋5, … , 𝑋c) de variables aléatoires suivant la loi de 𝑋 ainsi que les variables aléatoires :
𝑆c = 𝑋4+ 𝑋5+ ⋯ + 𝑋c et 𝑀c = Z[\Z]c\⋯\Zd.
Déterminer les expressions des espérances et écarts-type de 𝑆c et 𝑀c en fonction de 𝑛.
Exercice C : Erreur de transmission dans un échantillon de bits
La numération binaire ne comporte que deux chiffres : 0 ou 1 (que l’on appelle bit).
C’est la numération utilisée en informatique où un octet est un nombre formé de 8 bits : par exemple 10001011 est un octet.
Lors de la transmission de données, des erreurs peuvent se produire et on suppose dans l’exercice que la probabilité d’un changement de 0 en 1 ou de 1 en 0 est égale à 0,002.
𝑋 est la variable aléatoire donnant le nombre d’erreurs lors de la transmission d’un octet.
On suppose que les transmissions de chaque bit dans un octet sont indépendantes.
1. a. Quelle est la loi suivie par 𝑋 ? b. En déduire 𝐸(𝑋) et 𝜎(𝑋).
2. On considère (𝑋4, 𝑋5, … , 𝑋4 VVV VVV) un échantillon de taille 1 000 000 de la variable aléatoire 𝑋.
On pose 𝑆 = 𝑋4+ 𝑋5+ ⋯ + 𝑋4 VVV VVV et 𝑀 =4 VVV VVVe . a. Interpréter 𝑆 dans le contexte de l’exercice.
b. Calculer le nombre de bits incorrects que l’on peut espérer lors d’une transmission de 1𝑀𝑜.
c. Calculer 𝐸(𝑀) et 𝜎(𝑀).
