IUT GB - Fiche de TD – Variables aléatoires continues
Exercice 1. La durée de vie en année 𝑇𝑇 d’un type d’ampoule halogène suit une loi exponentielle de paramètre 𝜆𝜆. Des tests ont montré qu’au bout de 5 ans, 75% des ampoules ont grillé.
1. Traduire l’information précédente en termes de probabilité et en déduire la valeur de 𝜆𝜆, puis la durée de vie moyenne.
2. Déterminer la probabilité qu’une ampoule ait une durée de vie comprise entre 3 et 7 ans.
3. Quelle est la durée de demi-vie ?
4. Quelle est la durée de vie maximale de 5% des ampoules les moins fiables ?
Exercice 2. Dans le cadre d’une étude éco-toxicologique, la concentration en DDT et en ses dérivés a été mesurée chez les brochets âgés de 3 ans. Cette étude a montré que pour un brochet de 3 ans choisi au hasard, la concentration 𝑋𝑋 varie selon une loi normale de moyenne 𝜇𝜇= 0,36 et d’écart type 𝜎𝜎= 0,04 ; autrement dit 𝑋𝑋 ↝ 𝒩𝒩(0,36 ; 0,04).
1. Calculer la probabilité d’avoir une concentration 𝑋𝑋 supérieure à 0,44.
2. Calculer la probabilité d’avoir une concentration 𝑋𝑋 comprise entre 0,3 et 0,42.
3. On considère un échantillon de 𝑛𝑛= 400 brochets. Calculer la probabilité de chaque classe ainsi que l’effectif théorique correspondant dans le tableau suivant (donner l’effectif théorique à 0,1 près) : Classes [0,22;0,26[ [0,26;0,30[ [0,30;0,34[ [0,34;0,38[ [0,38;0,42[ [0,42;0,46[ [0,46;0,50[ Total
Probabilités (en %) 100%
Effectifs 400
Exercice 3. On s’intéresse au taux de protéines présent chez certains mollusques.
Une étude biologique a montré que pour une population de moules bretonnes, le taux de protéines 𝑋𝑋 (en gramme pour 100g) varie selon une loi normale de moyenne 𝜇𝜇0=19 et d’écart type 𝜎𝜎0= 5.
1. Pour une moule choisie au hasard, calculer ℙ(𝑋𝑋 ≥25).
2. Calculer les quartiles 𝑄𝑄1,𝑀𝑀𝑀𝑀,𝑄𝑄3.
Exercice 4. On s'intéresse aux effets d'une maladie sur le taux 𝑋𝑋 de certaines protéines dans le sang. On sait que ce taux (mesuré dans une échelle convenable) varie selon une loi normale de moyenne 𝜇𝜇= 125 et d'écart type 𝜎𝜎= 5. On choisit un individu au hasard.
(a) Calculer la probabilité pour que son taux 𝑋𝑋 soit supérieur à 132.
(b) Calculer la probabilité pour que son taux 𝑋𝑋 soit compris entre 117 et 128.
(c) Trouver la valeur de 𝑎𝑎 telle que ℙ(𝑋𝑋 ≥ 𝑎𝑎) = 0, 05.
Exercice 5. En période d'épidémie de grippe, un médecin a constaté parmi les patients qui viennent le voir en consultation que 40% d'entre eux demandent à se faire vacciner. Pour 𝑛𝑛 patients, on note 𝑋𝑋𝑛𝑛 le nombre aléatoire de ceux qui demandent à être vaccinés contre la grippe.
1. Sur son agenda, 𝑛𝑛 = 18 patients ont pris rendez-vous dans la journée pour une consultation.
a. Quelle est la loi de 𝑋𝑋𝑛𝑛 ?
b. Calculer la probabilité ℙ(𝑋𝑋𝑛𝑛≥ 5).
2. Sur une période de deux semaines, il table sur 𝑛𝑛 = 200 patients qui vont venir en consultation.
a. Quelle est la loi de 𝑋𝑋𝑛𝑛 ? Par quelle loi peut-on l'approximer ? b. Calculer ℙ(𝑋𝑋𝑛𝑛≥70).
c. Calculer 𝑎𝑎 tel que ℙ(𝑋𝑋𝑛𝑛 ≤ 𝑎𝑎) = 90%. En déduire le nombre minimal de vaccins que le médecin doit commander pour être sûr à 90% d'en avoir assez pour les deux semaines.
Exercice 6. Dans une population de drosophiles (mouches du vinaigre), on a croisé des insectes aux yeux bruns avec des insectes aux yeux rouges. En deuxième génération, on trouve une proportion de 30% de mouches aux yeux bruns.
1. Sur un échantillon de 24 drosophiles de la deuxième génération, on désigne par 𝑋𝑋 le nombre aléatoire de mouches aux yeux bruns.
a. Déterminer la loi de 𝑋𝑋. Préciser son espérance, sa variance et son écart type.
b. Calculer la probabilité : ℙ[6≤ 𝑋𝑋 ≤10].
2. On considère un échantillon de 125 croisements de la deuxième génération. On note 𝑋𝑋 le nombre aléatoire de mouches aux yeux bruns.
a. Justifier pourquoi la loi de 𝑋𝑋 est proche d’une loi normale (préciser ses paramètres).
b. Calculer les probabilités suivantes : ℙ(30≤ 𝑋𝑋 ≤45), ℙ(𝑋𝑋< 30).
Exercice 7. La fièvre catarrhale du mouton ou maladie de la langue bleue est une maladie virale non contagieuse qui touche les ovins et les bovins et qui se transmet par certains insectes piqueurs. Elle n’est pas transmissible à l’homme. En Corse en 2010, la maladie de la langue bleue a touché 19% des moutons. Des tests effectués en 2012 sur un échantillon de 253 ovins ont révélé que 35 d’entre eux sont malades. Au niveau de risque de 5%, peut-on affirmer que la proportion de moutons malades a diminué ?
Exercice 8. Un producteur de fruits bio essaie d’estimer la proportion de pommes véreuses de son verger. À partir d’un échantillon de 234 pommes prélevées au hasard, il a constaté que 43 fruits étaient véreux.
Pouvez-vous donner une estimation du pourcentage de pommes véreuses dans son verger pour un niveau de risque de 10% ?
