Chapitre 3 Les Variables aléatoires Discrètes et Les Variables Aléatoires Continues C P

1 Royaume du Maroc

Ministère de l’Education Nationale,

de la Formation Professionnelle, de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Secrétariat d’Etat Chargé de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

L

F

S

2

(Séances 5 et 6)

C OURS DE P ROBABILITE

PR SMOUNIRACHID

Chapitre 3

Les Variables aléatoires Discrètes et Les Variables Aléatoires Continues

L’objectif de ce chapitre est de présenter les outils nécessaires pour comprendre la notion de variable aléatoire et l’appliquer à des concepts de gestion notamment les deux types de variable aléatoire à savoir :

 La variable aléatoire discrète qui est une variable aléatoire ne pouvant prendre qu’une quantité dénombrable de valeurs (nombre fini ou dénombrable de valeurs).

 La variable aléatoire continue si elle peut prendre cette fois-ci toutes les valeurs dans un intervalle donné (une infinité non dénombrable de valeurs).

2

I- Expérience aléatoire

On appelle « expérience aléatoire », une expérience dont les conditions de déroulement sont parfaitement définies, mais dont le résultat ne peut être prévu avec certitude à l'avance.

Exemples

1- On lance un dé, on note le nombre de points apparaissant sur la face supérieure.

On répète cette expérience deux fois.

2- On tire une carte d'un jeu de 32 cartes et on note la couleur obtenue.

On répète cette expérience deux fois.

3- On dispose d'une urne dans laquelle se trouvent 10 boules noires et 5 boules blanches.

On tire au hasard une boule, on note sa couleur et on la remet dans l'urne.

Cette expérience est répétée trois fois de suite.

II- Les variables aléatoires Discrètes

1- Définition

On appelle « variable aléatoire discrète », une application qui à chaque événement X fait correspondre un nombre réel noté P(X).

Cette application doit vérifier les propriétés suivantes :

 ∀ (𝑋, 𝑌) ∈ Ω:

 0 ≤ 𝑃(𝑋) ≤ 1

 𝑃(Ω) = 1

 𝑆𝑖 𝑋 ∩ 𝑌 = ∅ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑃(𝑋 ∪ 𝑌) = 𝑃(𝑋) + 𝑃(𝑌)

2-Application

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie dans l’air, on définit la variable aléatoire X comme « le nombre de pile obtenu ».

3

L’univers Ω de cette expérience contient 8 événements élémentaires lié à la variable aléatoire X.

En effet, .

Evénements PPP PPF PFP FPP PFF FPF FFP FFF

X 3 2 2 2 1 1 1 0

Les valeurs que peut prendre la VA X sont : .

3- la Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers Ω.

On note avec, les différentes valeurs prises par la VA X.

Définir la loi de probabilité de X consiste à associer à chaque valeur la probabilité de l’événement « X = » c’est-à-dire P(X= ).

En fait, lorsqu’on affecte à chacune des valeurs de de la variable aléatoire la probabilité de réalisation, on définit une loi de probabilité.

On présente souvent les données sous forme d’un tableau, où la somme des probabilités est égale à 1.

Application

Si l’on reprend l’exemple ci-dessus, quelle est la probabilité de tous les événements élémentaires.





E , , , , , , ,





xi





xi

xi x_i

   

8 1 2 1 2 1 2 ) 1 ( ) 3 (

8 3 8 1 8 1 8 ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 (

8 3 8 1 8 1 8 ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 (

8 1 2 1 2 1 2 0 1

























































PPP P X

P

FPP P PFP P PPF P X

P

FFP P FPF P PFF P X

P

FFF P X

P

4

Le tableau ci-dessous représente la loi de probabilité de X.

0 3 Total

4-Fonction de répartition

Soit X une variable aléatoire. La loi de probabilité de X : , qui est définie par la fonction , appelée fonction de répartition (distribution cumulative ou fonction de distribution) de la variable X, définie par :

: R → [0,1]

X →

P ( X  x

)

).

( )

( x P X x

F  



Il est important de remarquer que 𝐹(𝑥) est une fonction de 𝑥 et non de la variable aléatoire X.

Pour chaque valeur de 𝑥, représente une probabilité cumulée.

Lorsque la variable aléatoire X ne prend que des valeurs discrètes, on parle de variable aléatoire discrète.

Propriétés de la fonction de répartition 1- est comprise entre 0 et 1.

2- est une fonction monotone non-décroissante de 3-

xi 1 2





P 

8 1

8 3

8 3

8

1 1

8 8

) (X x_i P 

) (x F

) ( x F

) ( x F

) ( x F

) ( x

F

).

( ) 1 ( )

( X x

F x

F x

P    

5

Application

Reprenons l’exemple précédent, les données de la fonction de répartition seront résumées dans le tableau ci-dessous :

0 1 2 3

1/8 3/8 3/8 1/8

1/8 4/8 7/8 8/8 Total 1

0 ) 0 (

)

(   P X  

F

. 8 / 1 ) 1 (

) 1

(  P X  

F

. 8 / 4 ) 2 (

) 2

(  P X  

F

. 8 / 7 ) 3 (

) 3

(  P X   F

. 1 ) 3 (

)

(  P X   F

5-PARAMETRES D’UNE VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE

X est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est représentée par le tableau suivant :

5-1 L’Espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète L’espérance mathématique de X est le nombre réel, noté , donné par :

5-2 Somme d’espérances mathématiques xi ^P





x

x

x





P 

P

P

P

P

 

  













i

i i k

k

P x P

x P

x P x X E

1 2

2 1

1

...

6

L’espérance Mathématique dans le cas discret :

 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥_{𝑖 𝑖} ×𝑃(𝑋 = 𝑥_𝑖)



En appliquant la propriété de l'espérance d'une somme de variable aléatoire indépendantes Xi, on peut écrire :

 E(X) = E(X1 + X2 + … + Xn)

 E(X) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xn)

 E(X) = p + p + … + p

 E(X) = n.p

4- 3 La Variance et l’écart-type Formule classique de la variance La variance dans le cas discret :

 𝑉(𝑋) = 𝐸 [(𝑋 − 𝐸(𝑋))²] = ∑ (𝑥_{𝑖 𝑖} − 𝐸(𝑋))² × 𝑃(𝑋 = 𝑥_𝑖)

Formule développée de la variance

L’écart-type de X, est le réel :

5- 4 Somme de Variances et d’écart-type

                 

1 2 2

2 2 2 1

1 x E X P x E X ... P x E X P x E X P

X

V _i

k

i i k

k   

















     





( )

( ^{2 2}

2

1 2

X E X

E X V

X E x P X

V

k

i i i















 

 



7

En appliquant la propriété de la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes Xi, on peut écrire :

 V(X) = V(X1 + X2 + … + Xn)

 V(X) = V(X1) + V(X2) + … + V(Xn)

 V(X) = p.q + p.q + … + p.q

 V(X) = n.p.q

Application

Si l’on reprend l’exemple de la pièce de monnaie ci-dessus : L’espérance de X est égale à :

. 2 ) (X  E

L’espérance peut s’interpréter en disant que si on joue un très grand nombre de fois, on peut avoir en moyenne deux fois pile.

La variance de X est égale à :

1 87 ,

0 

X



Donc si on répète l’expérience trois fois on aura en moyenne deux piles avec un écart de 1 pile.

 

8 ) 12 8 3 1 ( 8) 2 3 ( 8) 1 3 ( 8) 0 1

(         

 X E

 

8 ) 24 8 3 1 ( 8) 2 3 ( 8) 1 3 ( 8) 0 1

( ^{2 2 2 2}

2          

X E

 

. 75 , 0 )

(

75 , 0 ) (

) 5 , 1 ( 3 ) ( )

( ^{2 2 2}















 X X V

X E X

E X

V



8

III- La variable aléatoire continue

1- Définition et caractéristiques

On appelle « variable aléatoire continue », une application, qui à chaque événement élémentaire « X » fait correspondre un nombre réel noté

𝑃(𝑋 ∈ [𝑎, 𝑏[ ) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏).

Avec

 0 ≤ P(a ≤ X ≤ b) ≤ 1

 ∑

P(a ≤ X ≤ b) = 1

 P





 

b

a

a b 



^{, f}

L’espérance mathématique dans le cas continu :

 𝐸(𝑋) = ∫

𝑥 × 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

 E(X

) = ∫

x

f(x)dx

La variance dans le cas continu :

 𝑉(𝑋) = 𝐸 [(𝑋 − 𝐸(𝑋))²] = ∫_−∞^+∞(𝑥_𝑖 − 𝐸(𝑋))²× 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

2-2 Covariance et corrélation de variables aléatoires

Pour mesurer la "force" de la liaison entre deux variables X et Y, on dispose de deux outils :

La covariance des variables X et Y est :

 Cov(X, Y) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋)(𝑌 − 𝐸(𝑌)]

 Cov(X, Y) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌)

9

Le coefficient de corrélation des variables X et Y est :



𝜌

=

𝜎_𝑋𝜎_𝑌

=

𝜎_𝑋𝜎_𝑌

L’espérance E(XY) est calculée partir de la loi jointe du couple(X,Y):

 dans le cas discret :

E(XY) = ∑ ∑ 𝑥𝑦 × 𝑃(𝑋 = 𝑥_𝑖, 𝑌 = 𝑦_𝑗)

𝑗 𝑖

 dans le cas continu :

E(XY) = ∬ 𝑥𝑦𝑓(𝑋, 𝑌)𝑑𝑥𝑑𝑦

Remarque

1- Si les variables X et Y sont indépendantes, alors Cov(X, Y) = 0 et donc le coefficient de corrélation aussi.

2- Soient X et Y deux variables aléatoires Alors :

Var(X + Y)= Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)