Chapitre III
variables aléatoires discrètes.
1.
1°) Un dé cubique D1 comporte 3 faces marquées 1, 2 faces marquées 2, 1 face marquée 3. On lance le dé D1, on note X1 le nombre obtenu, Déterminer la loi de X1 son espérance, sa variance.2°) Mêmes questions pour X2 le nombre obtenu en lançant un dé D2 comportant 3 faces marquées 4, 2 faces marquées 5, 1 face marquée 6.
3°) On lance D1 et D2 simultanément, Calculer l'espérance de Z = X1+ X2. Vérifier en déterminant la loi de Z.
2.
On choisit une carte au hasard dans , jeu de 52 cartes. On définit la valeur X de la carte ainsi tirée comme suit :X() = 4 si est un as ; X() = 3 si est un roi ; X() = 2 si est une dame ; X() = 1 si est un valet ; X() = 0 dans les autres cas.
Loi de probabilité de X, Valeur moyenne d'une carte. Ecart-type de X. Valeur moyenne d'une main de 13 cartes.
3.
Jeu "chuck a luck" (Etats-Unis), "crown and anchor" (Angleterre). On parie sur un nombre de 1 à 6. On lance 3 dés. Si le nombre sur lequel on a parié sort :3 fois, on gagne 3 F ; 2 2 F ; 1 1 F ; 0 fois, on perd 1 F.
Soit X le gain lors d'une partie, déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.
4.
Un vendeur de journaux a, chaque semaine, entre 0 et 5 clients pour une revue hebdomadaire.Soit E = {A0,A1,A2,A3,A4,A5} où An désigne l'événement : il y a au n clients pour la revue, 0 < n < 5. (E, P(E)) est muni de la probabilité P définie par :
P(A0) = P(A5) = 1/32 P(A1) = P(A4) = 5/32 P(A2) = P(A3) = 10/32
Le vendeur gagne 3 F par exemplaire vendu et perd 1 F en frais divers par exemplaire invendu. Dans le cas où il a commandé p exemplaires on définit sur E la variable aléatoire Gp par :
Gp (An) = gain du vendeur lorsque n clients se sont présentés dans la semaine (0 n 5).
1°) Calculer Gp(An) pour tout p dans [[1, 5]] et tout n dans [[0,5]]. Disposer les résultats sous forme de tableau.
2°) Calculer E(Gi) pour tout i dans [[1,5]]. Que feriez-vous à la place du vendeur ?
5.
k urnes numérotées de 1 à k contiennent chacune n boules identiques numérotées de 1 à n. On extrait une boule de chaque urne, on note Xi le numéro de la boule tirée de l'urne n°i.On note M = max{Xi ; 1 i 5}.
Déterminer la fonction de répartition Fm de la variable aléatoire M. (On fera les hypothèses d'indépendance nécessaires).
En déduire la loi de M. Calculer E(M) pour k = 2 ; k = 3.
Lois finies.
6.
Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu'un retard se produise dans le dépannage à la suite d'un appel est p = 0,25.1°) Un même client a appelé le service à 8 dates différentes. Soit X le nombre de retards que ce client a subi.
a) Définir la loi de probabilité de X. Calculer E(X) et V(X).
b) Calculer (à 0,01 près au plus proche) les probabilités des événements : --le client a subi au moins un retard ;
--le client a subi moins de 4 retards ;
--le client a subi moins de 4 retards sachant qu'il en a subi au moins un.
2°) On considère un ensemble de 8 clients différents. 2 d'entre eux sont mécontents parce qu'ils ont subi un retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit M le nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés.
Définir la loi de M. La donner explicitement. Calculer E(M).
7.
Un jeu de 32 cartes est truqué : on a remplacé une carte autre que l'as de pique par un deuxième as de pique.On tire au hasard une main de n cartes, n < 32.
a) Quelle est la probabilité de déceler la supercherie ?
b) On suppose n = 4 et on renouvelle l'expérience consistant à tirer 4 cartes du jeu (en remettant les 4 cartes tirées à chaque fois). Quel est le nombre minimum d'expériences à réaliser pour que la upercherie soit découverte avec une probabilité au moins égale à 0,95 ?
8.
A et B sont deux avions avec respectivement 2 moteurs et 4 moteurs. Chaque moteur a la probabilité p de tomber en panne. Les pannes surviennent de façon indépendante. Chaque avion arrive à destination ssi moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne.Quel avion choisissez-vous ?
9.
2 joueurs lancent une pièce de monnaie parfaitement équilibrée, n fois chacun. On note X, Y le nombre de 'pi1e' obtenus respectivement par A, B.1°) Pour tout k dans [[0, n]], calculer la probabilité de l'événement : (X= k) et (Y= k).
2°) En déduire la probabilité que A et B obtiennent le même nombre de fois "pile'.
10.
Soit X une v.a suivant la loi binomiale de paramètres n et p. On définit la v.a. Y par : Y = X si X
0 ;Y prend une valeur au hasard dans [[1, n]] si X = 0.
Déterminer la loi de Y et calculer E(Y).
11.
(Ecricome 89) Deux personnes A et B partent en vacances de façon indépendante dans un pays E.Leur séjour dans ce pays peut s'étaler sur n journées (n > 3) numérotées 1, 2, . . . , n.
Pour éventuellement s'y rencontrer, elles ont projeté d'y séjourner trois jours consécutifs (et trois jours seulement) dans un hôtel H, choisi par elles.
On suppose que les jours d'arrivée possibles 1,2, . . . , n-2 de ces deux personnes dans cet hôtel sont deux variables aléatoires uniformes et indépendantes.
Les arrivées ont lieu le matin et les départs le soir deux jours plus tard.
1°) a) Quelle est la probabilité que A et B arrivent le même jour ? b) Quelle est la probabilité qu'elles arrivent avec un jour d'écart ? c) Quelle est la probabilité qu'elles puissent se rencontrer dans l'hôtel ?
2°) Sachant que A et B se sont rencontrées, quelle est la probabilité qu'elles ne puissent passer qu'une journée ensemble ?
12.
(inseec 91 ) 1°) Une urne contient 2 boules noires et 8 boules blanches. Un joueur tire successivement 5 boules en remettant la boule dans l'urne après chaque tirage. Si il tire une boule blanche il gagne 2 points dans le cas contraire il perd trois points. Soit X le nombre de points obtenus par le joueur en une partie.a) Dresser le tableau définissant la loi de X.
b) Calculer E(X) et V(X).
2°). Le joueur tire 5 boules simultanément, les 10 boules de l'urne étant numérotées de 1 à 10.
a) Soit Y le plus grand des numéros tirés. Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer E(Y).
b) Soit T le nombre de boules blanches obtenues. Après ce premier tirage le joueur remet les boules noires obtenues et effectue un nouveau tirage simultané de 5 boules. On appelle Z le nombre de boules blanches obtenues lors de ce second tirage. Déterminer les lois de T et de Z. Calculer E(T).
13.
(iscid 91) On considère une urne de taille N (N>1) contenant r boules blanches et N - r boules noires (0< r < N). Dans cette urne on prélève toutes les boules une à une et SANS remise. On note X le rang d'apparition de la dernière boule blanche. Le but du problème est de déterminer :--la loi de X ;
--l'espérance et la variance de X.
1. a) Traiter le cas N = 4, r = 1.
b) Traiter le cas N =4, r = 2.
2. Dans le cas r = 1, reconnaître la loi de X et rappeler son espérance et sa variance.
3. Etude du cas général (1 < r < N) :
a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par X.
b) Soit k l'une de ces valeurs. Déterminer la probabilité pour qu'au cours des k-1 premiers tirages soient apparues r-1 boules blanches (et donc k - r boules noires). En déduire la valeur de P(X = k) c'est-à- dire la probabilité que la r-ième (et dernière) boule blanche apparaisse au k-ième tirage.
c) Vérifier, après simplifications, que P(X = k) = r
N 1 r 1 k C C
. En déduire les valeurs des sommes
N
r k
1 r
1
Ck , puis
N
r k
r
C .k
d) On rappelle que nCpn11 = pCpn . En déduire que E(X) =
1 r
) 1 n ( r
. (Remarque : l'énoncé proposait aussi le calcul de
N
r k
1 r
1
Ck , puis de E(X(X+l)), et enfin de V(X)...)
14.
(escp 94 0e) On dispose d'un jeu de m cartes, m étant un entier supérieur ou égal à 2. Ces cartes sont numérotées de 1 à m.Un joueur A propose à un joueur B Je jeu suivant, moyennant une mise de 1 franc que B lui verse à chaque partie.
B tire une carte au hasard, montre le nombre b qu'elle porte et remet la carte dans le paquet. Puis A tire une carte au hasard ; quand celle-ci porte le nombre a :
Si a < b, alors B donne à A la somme de b - a francs ; B a donc gagné (b - a - 1) francs) Si a > b, alors B donne à A la somme de 1 franc et B a donc perdu 2 francs.
Si a = b, alors B a simplement perdu 1 franc, le montant de sa mise.
1°) On suppose dans cette question que m = 6.
a) Dresser le tableau à double entrée donnant les gains (positifs ou négatifs) de B suivant les différentes valeurs du couple (a, b).
b) Soit X la variable aléatoire représentant les gains de B. Donner la loi de probabilité de X.
c) Calculer l'espérance de X. Le jeu est-il équilibré ou avantage-t-il un des joueurs ? d) Calculer la variance de X.
2°) On revient au cas général : m 2.
a) Etablir, en préliminaire, les formules suivantes, pour tout entier N 2 :
6
) 1 N 2 )(
1 N ( k N
N 1 k
2
;4 ) 1 N ( k N
2 N 2
1 k
3
. b) Calculer, en fonction de m, l'espérance E(X) de la variable aléatoire X.
c) Pour quelles valeurs de m l'espérance de X est-elle positive ? d) Calculer, en fonction de m, la variance de X.
3°) On observe m parties successives et on note Yn(m) le nombre de parties où le gain de B est strictement positif. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Yn(m), son espérance et sa variance en fonction de n et de m.
15.
(esco 94 ot) Deux urnes U1 et U2 contiennent chacune des boules blanches et des boules noires. U1contient 2 boules blanches et 2 boules noires, U2 contient 1 boule blanche et 3 boules noires. On effectue une suite de tirages avec remise de la boule tirée en procédant comme suit :
Le premier tirage s'effectue dans U1. Si au n-ième tirage on obtient une boule blanche alors le (n+1)-ième tirage s'effectue dans U1. Si au n-ième tirage on obtient une boule noire alors le (n+1)-ième tirage s'effectue dans U2.
On désigne par :
pn la probabilité d'obtenir une boule blanche au n-ième tirage ;
Xn la variable aléatoire qui vaut 1 Si la boule obtenue au n-ième tirage est blanche, 0 sinon.
Sn est le nombre total de boules blanches obtenues au bout de n tirages.
1°) Calculer p1, p2.
2°) Déterminer une relation entre pn+1 et pn ; en déduire l'expression de pn en fonction de n, et la limite de pn
quand n tend vers +
.3°) Pour n supérieur ou égal à 1, donner la loi de Xn. Préciser E(Xn) et V(Xn).
4°) Les variables aléatoires X1 et X2 sont-elles indépendantes ? 5°) Exprimer Sn, en fonction des Xk, 1 k n ; En déduire E(Sn).
16.
(inseec 2002) Une roue de loterie se compose de secteurs identiques, numérotés de 1 à 12. Une personne fait tourner la roue devant un repère fixe. On suppose que chaque secteur a la même probabilité de s'arrêter devant ce repère.A chaque partie un joueur mise une certaine somme d'argent en choisissant un, deux ou trois numéros sur les 12, il est gagnant si le secteur qui s'arrête devant le repère porte l'un des numéros choisis.
Un joueur, possédant un crédit illimité, effectue une suite de parties en adoptant la stratégie suivante :
* Il mise sur le chiffre 1 à la première partie.
** S'il perd à la nème partie, n 1, il mise uniquement sur les chiffres 1 et 2 à la partie suivante et s'il gagne à la nème partie, il mise sur les chiffres 1, 3 et 5.
1) On note pn la probabilité de l'événement An : " le joueur gagne la nème partie".
a) Calculer les probabilités conditionnelles : )
A / A ( p et ) A / A (
p n1 n n1 n , en déduire que n N*, pn+1 = (1/12)pn + 1/6.
b) En déduire l'expression de pn en fonction de n et déterminer limn+ pn.
2) Soit k [[1, n]], on note Bk l'événement "le joueur gagne une seule fois au cours des n premières parties et ce gain a lieu à la kème partie ".
a) A l'aide de la formule des probabilités composées, calculer p(Bn).
b) Soit k [[1, n 1]], calculer P(Bk).
c) En déduire la probabilité qn pour que le joueur gagne une seule fois au cours des n premières parties.
Lois infinies discrètes
17.
On lance un dé indéfiniment ; X est le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier "6". Y est le nombre de lancers nécessaires après l'obtention du premier "6", pour obtenir le deuxième "6".1°) Loi de X, de Y, espérance et variance de X et de Y.
2°) Soit Z = X + Y ; espérance et variance de Z ; loi de Z. interprétation de Z. Retrouver directement la loi de Z.
18.
On lance des fusées vers Saturne ; la probabilité de succès à chaque lancer est 0,7.1°) Probabilité d'obtenir k succès en 10 lancers, k [[0, 10]] ? Nombre moyen de succès par série de 10 lancers ?
2°) Combien faut-il prévoir de lancers pour être sûr a 90% d'obtenir au moins un succès ? (Deux méthodes sont envisageables.)
19.
(d'après esg 92 ) La première question est indépendante des suivantes. On considère un lot de 10 dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 a 6. Sur ces 10 dés, cinq sont équilibrés, les cinq autres sont pipés. Pour un dé pipé, la probabilité d'obtenir la face n°1 quand on le lance sera prise égale à 5/6.1°) On choisit un dé au hasard du lot, on le lance 3 fois et on obtient 3 fois la face n°1. Quelle est la probabilité de l'événement : "le dé choisi est pipé" ?
2°) On effectue des lancers successifs d'un dé équilibré et on arrête dès que l'on a obtenu pour la première fois la face n°1. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués avec ce dé.
On effectue des lancers successifs d'un dé pipé et on arrête dès que l'on a obtenu pour la première fois la face n°1. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués avec ce dé.
a) Déterminer la loi de X et calculer l'espérance mathématique et la variance de X.
b) Déterminer la loi de Y et calculer l'espérance mathématique et la variance de Y.
3°). Calculer la probabilité de l'événement (X = Y).
(X = Y) signifie (X = 1 et Y = 2) ou (X =2 et Y = 2) ou etc.
4°) Calculer la probabilité de l'événement (X < Y).
(X < Y) signifie (X = 1 et Y > 1) ou (X =2 et Y > 2) ou etc.
5°) On prend un dé pipé du lot, on effectue des lancers successifs et on arrête dès que l'on a obtenu pour la première fois une face ne portant pas le n°1. Soit Z la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués avec ce dé. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X + Z et calculer son espérance mathématique.
20.
(D'après hec math 2 91) On désigne par x un nombre réel appartenant à ]0, 1[. N et n sont des n nombres entiers naturels non nuls On considère une succession (éventuellement infinie) de jets d'une pièce. On suppose que la probabilité d'obtenir pile lors d'un jet est 1 - x et que la probabilité d'obtenir face est x. Les jets sont supposés indépendants.On désigne enfin par Sn le nombre de fois où l'on a obtenu pile au cours des n premiers jets, par Tn le numéro du jet où l'on obtient pile pour la n-ième fois.
1°) Préciser la loi de Sn. Donner l'espérance et la variance de cette variable aléatoire.
2°) Préciser la loi de T1. CALCULER l'espérance et la variance de cette variable aléatoire. Pour la variance, on commencera par calculer E(T1.(T1 - 1)).
3°) L'objet de cette question est de calculer l'espérance de Tr. Soit k un nombre entier naturel et r un nombre entier naturel non nul.
a) Montrer que l'événement {Tr = k + r} est réalisé si et seulement si les événements :
{Sk+r-1 = r – 1} et "pile est obtenu au (k+r)-ième jet" le sont. En déduire la loi de Tr. b) Vérifier que la somme des probabilités des événements {Tr = k + r}, où k appartient à N, est égale à 1. Calculer l'espérance de Tr. On admettra que la série de terme général Crrk.xk, k appartenant à N, est convergente, de somme (1 x)r 1
1
, et on rappelle que pCpN N.CpN11, pour tout N, p appartenant à N*.
4°) Soit a un nombre réel strictement supérieur à 1. Un joueur parle de la façon suivante. Lors du n-ième jet, il mise 1 franc.
--Si pile sort, il reçoit la somme a (en francs), et il perd sa mise ; --sinon, il perd sa mise.
On désigne par Gn la somme des profits et pertes (celles-ci étant comptées négativement) du joueur après son n-ième succès (qui survient donc à l'issue du jet ayant pour numéro Tn).
a) Montrer que G1 = a - T1 et calculer l'espérance de T1.
b) Plus généralement, pour tout nombre entier naturel non nul r, exprimer Gr en fonction de Tr et en déduire l'espérance de Gr
c) Etudier la limite de Gr quand r tend vers +
.21.
(D'après isg 90 ot) On admettra que pour x < 1 et k dans N* :1 0 k
n
n
) x 1 (
! x k
! n
)!
k n (
.Soit a un réel tel que 0 < a < 1.
1°) Soit X une variable aléatoire à valeurs entières dont la loi est donnée par :
n N P(x = n) = (1 – a)n.a .
a) Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité.
b) Calculer l'espérance et la variance de X.
2°) Une urne contient des boules blanches et des boules noires en proportion p et q, p+q = 1.
On effectue des tirages avec remise ; le nombre de tirages suit la loi de X. Y est la variable aléatoire égale au nombre de boule blanches obtenues.
a) Calculer pour tous les entiers k et n la probabilité conditionnelle P(Y kX n
), ainsi que P(Y = k
X = n).b) En déduire la loi de Y et calculer l'espérance de Y.
22.
(escp 96) Une urne contient des boules blanches, noires et rouges. Les proportions respectives de ces boules sont p pour les blanches, q pour les noires, r pour les rouges (p + q + r = 1).On fait dans cette urne des tirages successifs et indépendants numérotés 1, 2,... etc. Ces tirages sont faits avec remise de la boule tirée. Les proportions des boules restent ainsi les mêmes au cours de l'expérience.
1°) On note X1 la v.a représentant le numéro du tirage auquel une boule blanche sort pour la première fois.
Trouver la loi de probabilité de X. Calculer son espérance et sa variance.
2°) On note X2 la v.a représentant le numéro du deuxième tirage d'une boule blanche. Trouver, pour tout couple d'entiers strictement positifs (k, l) la probabilité de l'événement :
(X1 = k, X2 = k + l). En déduire la loi de probabilité de X2.
Montrer que la v.a. U2 = X2 – X1 est indépendante de X1 et qu'elle a la même loi de probabilité. En déduire l'espérance et la variance de X2.
3°) On note W la v.a représentant le nombre de boules rouges tirées avant l'obtention de la première boule blanche Pour tout couple (k, l) de N*N, déterminer la probabilité conditionnelle de l'événement (W = l) sachant que X1 = k. Quelle est la loi conditionnelle de W sachant X1 ?
4°) On note Y1 la v.a représentant le numéro du tirage auquel une boule noire sort pour la première fois.
a) Trouver la loi de probabilité du couple (X1, Y1) Les v.a X1 et Y1 sont-elles indépendantes ?
b) On se place, pour cette question, dans le cas particulier où r = 0 (c'est à dire qu'il n'y a pas de boule rouge). Calculer alors la covariance de (X1, Y1).
5°) Soit, pour n entier strictement positif, Zn la v.a. qui prend la valeur +1 si au n-ième tirage une boule blanche est tirée, -1 si au n-ième tirage une boule noire est tirée, 0 Si au n-ième tirage une boule rouge est tirée. On note Sn = Z1 + Z2 + … + Zn .
a) Trouver la loi de probabilité de S1. Calculer son espérance et sa variance ; en déduire l'espérance et la variance de Sn pour tout n 1.
b) Soit t un réel strictement positif. On pose Vn = tSn Trouver la loi de probabilité de la v.a V1 et calculer son espérance. c) En déduire l'espérance de Vn.
23.
La distance en kilomètres qu'un enfant accepte de parcourir sur son vélo suit la loi de Poisson de moyenne 2. Une promenade autour d'un lac fait 3 km.1°) Calculer la probabilité pour un enfant de 5 ans de faire le tour du lac en vélo.
2°) Sept enfants accompagnés de leurs parents commencent le tour du lac en vélo. Ceux qui ne le termineront pas seront privés de dessert. Soit X le nombre d'enfants privés de dessert. Déterminer la loi de X, son espérance, sa variance.
24.
Dans le département de Seine-et-Marne, le nombre par an d'accidents graves mettant en cause un camion- citerne suit la loi de Poisson de paramètre 8. Calculer la probabilité d'avoir une année plus de 7 accidents de ce type.25.
Pour une femme ayant eu entre 18 et 20 ans en 1958, le nombre d'enfants suit une loi de Poisson. Un échantillon de 1000 individus de cette population comporte 135 femmes sans enfant. En déduire une estimation du paramètre de la loi de X. Estimer la proportion de la population étudiée ayant plus de 3 enfants.(Les exercices 22 à 24 sont extraits de "Exercices de probabilités ordinaires", G. Frugier, ed. Ellipses)
26.
(Utilisation des tables numériques de la loi de Poisson) Une v.a. X représente le nombre annuel de pannes d'un certain type d'appareils électriques. On suppose que X suit la loi de Poisson de paramètre m (m > 0).1°) Déterminer m sachant que la probabilité pour qu'un appareil de ce type tombe en panne moins de 4 fois dans l'année est 0,981. Calculer alors la probabilité pour qu'un appareil ait au plus 2 pannes dans l'année.
2°) On teste simultanément 10 appareils au cours d'une année ; soit Y le nombre d'appareils ayant au moins une panne dans l'année. Déterminer la loi de Y (préciser éventuellement les hypothèses nécessaires).
27.
(Somme de deux variables poissonniennes indépendantes ; lien poisson-binomiale) Le nombre X de véhicules légers empruntant un pont de faible trafic par période d'une heure suit la loi de Poisson de paramètre a..Le nombre Y de poids-lourds empruntant ce même pont par période d'une heure suit la loi de Poisson de paramètre b. On suppose que X et Y sont indépendants. Soit Z = X + Y.1. Déterminer la densité moyenne par heure de trafic sur ce pont.
2. Déterminer la loi de Z. Retrouver le résultat du 1...
3. Sachant qu'à une heure donnée il y a eu en tout n véhicules empruntant le pont, quelle est la probabilité qu'il y ait eu k poids-lourds parmi eux ?
28.
(conditionnement de Poisson) Le nombre N de clients par tranche de 10 minutes dans un grand magasin suit la loi de Poisson de paramètre m. Chaque client a la probabilité p de se faire voler son portefeuille. Les vols ont lieu de façon mutuellement indépendante. Soit X le nombre de clients volés par tranche de 10 minutes.Déterminer la loi de X.
Soit Y = N - X. Déterminer la loi de Y. Prouver que X et Y sont indépendantes.
29.
Le nombre N d'enfants d'une famille d'une population bien définie suit la loi de Poisson de paramètre m.Chaque enfant présente à la naissance la probabilité p d'avoir un caractère génétique bien défini, et ceci de façon indépendante. Soit X le nombre d'enfants d'une famille présentant ce caractère et Y le nombre d'entants ne le présentant pas.
1. Quelle relation existe-t-il entre N, X, Y ?
2. Pour n dans N et k dans [[0, n]], déterminer P(X=k/N=n). En déduire la loi de probabilité de X. Que remarque-t-on ?
3. Déterminer la loi de probabilité de Y.
4. Montrer que X et Y sont indépendantes.
5. Application. m = 2, p = 0,4. Déterminer la probabilité pour une famille d'avoir 3 enfants présentant le caractère génétique considéré et 2 enfants ne le présentant pas.
30.
(deug) Un ascenseur dessert les N étages d'un immeuble, N étant un entier naturel non nul. A chaque voyage, le nombre de personnes qui montent dans cet ascenseur est une variable aléatoire X suivant la loi de Poisson de paramètre > 0. On suppose que :- chaque personne choisit son étage d'arrivée au hasard et indépendamment des autres passagers, ces choix se faisant dans l'ordre d'entrée des passagers dans l'ascenseur ;
- aucun arrêt n'est dû à des personnes désirant monter dans l'ascenseur à un autre étage.
1°) Soit N0 un entier fixé, dans {1, 2, ... , N} et Y la variable aléatoire égale au nombre de passagers choisissant l'étage N0.
a) Soit k N. Donner, sans calcul, la loi de probabilité de Y conditionnelle à (X = k).
b) Déterminer la loi de probabilité de Y. On observera que Y suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.
c) Soit n N. Déterminer la loi de probabilité de X conditionnelle à (Y = n).
2°) soit Z une variable aléatoire à valeurs dans {0, 1, ... , N}. Pour tout entier naturel k, l'espérance mathématique de Z conditionnelle à (X = k) est définie par :
E(Z / X = k) = j P Z j X k
j N
( / )
0. Montrer que l'espérance mathématique de Z est donnée par :
E(Z) = P X k E Z X k
k
( ). ( / )
0
.
On pourra utiliser le résultat suivant : si (ak,j)k N, j {0,1,...,N} est une suite de nombres réels tels que, pour tout j {0, 1, ... , N}, la série ak j
k ,
0
est convergente, alors on a ak j a
k j
N
k j j
N
k
, ,
0
0 0 0 .
3°) Soit Z la variable aléatoire égale au nombre d 'arrêts de l'ascenseur.
a) Justifier les égalités suivantes :
P(Z = 0 / X = 0) =1 et, pour tout entier j = 1, ... , N : P(Z = j / X = 0) = 0 ; P(Z = 1 / X = 1 ) = 1 et , pour tout entier j = 2, ... ,N : P(Z = j / X = 1) = 0 ; pour tout entier k 1 : P(Z = 0 / X = k) = 0 ;
pour tout entier k 1 P(Z = 1 / X = k + 1) = 1
N P(Z = 1 / X = k) : pour tous entiers j = 2, ... , N et k 1 :
P(Z = j / X = k + 1) = j
N P(Z = j / X = k) + N j N
1
P(Z = j - 1 / X = k).
b) Pour tout entier k 0, on pose uk = E(Z / X = k).
Démontrer que, pour tout entier k 0, uk+1 = uk
N 1 1
1
.
Après avoir justifié que u0 = 0, en déduire l'expression de uk en fonction de k.
On vérifiera que uk =
k
N 1 1 1
N .
c) En déduire que E(Z) =
1en
N .
d) Donner un équivalent de E(Z) lorsque N tend vers +. Interpréter ce résultat.
Loi d’un couple, covariance.
31.
1°)Soit X une v.a. suivant la 1oi uniforme sur X() = { -1, 0, 1 }. Soit Y = X2, déterminer la loi du couple (X, Y). En déduire la loi de Y. Calculer cov(X,Y). Que peut-on en conclure ?2°) Mêmes questions avec X() = {-2, -1, 1, 2}.
32.
La loi conjointe du couple (X, Y) est donnée par :X\Y 0 1 2
0 1/20 1/4 0
1 17/60 1/4 1/6
Déterminer les lois marginales. X et Y sont-elles indépendantes ? Calculer E(X), E(Y), E(XY).Conclusion ?
33.
Soit X1 et X2 deux variables indépendantes et de même loi, avec : P(Xi = 0) = 1/6 P(Xi = 1 ) = 1/3 P(Xi = 2) = 1/2 Soit S = X1 + X2, P = X1X2.1°) Loi du couple (S, P).
2°) Lois marginales du couple (S, P). S et P sont-elles indépendantes ?
3°) Calculer E(S), E(P), V(S), V(P), cov(S, P) et le coefficient de corrélation linéaire r(S, P). S et P sont- elles corrélées ?
34.
(eslsca 90) y est un réel différent de 0 et 1. La loi conjointe du couple (X,Y) est donnée par :X \ Y y 0 1
0 1/4 a 1/8
1 1/5 b 1/10
1°) Déterminer a et b de manière que X et Y soient indépendantes. Quelles seraient alors les lois conditionnelles de X pour les différentes valeurs de Y ?
2°) On suppose a = 1/5 Déterminer y tel que le coefficient de corrélation linéaire de M et Y soit égal à 0.
X et Y sont-elles alors indépendantes ?
35.
n boîtes sont numérotées de 1 à n La boîte n° k contient k boules numérotées de 1 à k. On choisit au hasard une boîte, puis une boule dans cette boîte Soit X et Y les numéros de la boîte et de la boule obtenus.1°) Loi du couple (X,Y).
2°) Calculer P(X = Y).
3°) Loi de Y, E(Y).
36.
(esg 90) Un commerçant réceptionne un lot de N. articles. Sur ces N articles, n d'entre eux sont défectueux.On suppose N-n 1 et n 1. Le commerçant contrôle les articles en les tirant au hasard un à un et sans remise
Soit X (resp. Y) la v.a. égale au rang d'apparition du premier (resp. du deuxième) article défectueux contrôlé.
1°) On suppose n = 1. Déterminer la loi de X, calculer l'espérance mathématique et la variance de X.
2°) On suppose n = 2 et N = 6.
a) Déterminer la loi de X. b) Déterminer la loi de Y.
c) Déterminer la loi conjointe de (X,Y). On présentera cette loi par un tableau à double entrée.
d) Calculer la covariance de (X,Y).
3°) Pour N et n quelconques (n 2) : a) Déterminer la loi de X. b) Déterminer la loi de Y.
4°) Pour N quelconque et n = 2, déterminer la loi du couple (X,Y).
5°) On suppose N = 9 et n = 2. Le commerçant refuse le lot dans les cas suivants:
(X < 4), ou (X 4 et Y < 7).
Calculer la probabilité que le commerçant refuse le lot.
37.
(d'après escl 92 ) Une urne contient N 2 boules vertes, 1 boule blanche et 1 boule rouge. On tire les boules de l'urne, une à une et sans remise.1°) Soit X1 le rang d'apparition de la boule blanche, X2 le rang d'apparition de la boule rouge.
Déterminer la loi de X1, la loi de X2, la loi du couple (X1, X2). Les variables X1 et X2 sont-elles indépendantes ?
2°) Soit X le rang où on obtient pour la première fois soit la boule blanche, soit la boule rouge. Soit Y le rang où on a obtenu pour la première fois les deux boules blanche et rouge. Déterminer la loi de X, la loi de Y. Calculer les espérances de X et de Y.
38.
Soit n un entier naturel strictement positif. Dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n, on tire deux boules au hasard avec remise. On définit les v.a. X et Y respectivement égales au plus petit et au plus grand numéro tiré.1°) Déterminer la loi du couple (X,Y).
2°) En déduire la loi de X et la loi de Y.
3°) On définit les vecteurs-colonnes U = ( P(X = i) )1in et V = ( P(Y = i) )1in Trouver une matrice M telle que V = MU.
39.
(eme 93) Soient a, b, c trois réels positifs ou nuls, de somme égale à 1. Soient X et Y deux v.a.définies sur un espace probabilisé, dont la loi du couple est donnée par :X \ Y 0 1 2
0 a/4 b/2 c
1 a/2 b/2 0
2 a/4 0 0
1°) Déterminer les lois (marginales) de X et de Y.
2°) Exemples : dresser le tableau de la loi conjointe du couple (X,Y) et des lois marginales, reconnaître la loi de Y, calculer la covariance et étudier l'indépendance des v.a. X et Y lorsque
a) X est la v.a. certaine égale à 2.
b) X suit la loi binomiale de paramètres 2 et 1/2.
3°) Calculer les réels a, b, c pour que X et Y aient la même loi. Vérifier que cette loi est binomiale et déterminer ses paramètres.
4°) On suppose dans cette question que X suit la loi binomiale de paramètres 2 et p (avec 0 < p < 1).
Démontrer qu'alors Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
40.
(large extrait de essec math 2 2001) Le but du problème est l'étude du coefficient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires qu'on aborde d'abord de façon générale (partie I), puis dans un cas particulier (partie II).Partie I. On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur un même espace probabilisé et admettant des espérances E(X) et E(Y) et des variances V(X) et V(Y) et on suppose V(X) > 0 (on rappelle que V(X) = 0 si et seulement si, avec une probabilité égale à 1, X est constante). La covariance des deux variables aléatoires X et Y (que celles-ci soient discrètes ou à densité) est alors le nombre réel défini par : Cov(X, Y) = E[(XE(X))(YE(Y))], ou encore E(XY) - E(X)E(Y).
1°) Covariance des variables aléatoires X et Y
a) Exprimer Cov(X + Y, X + Y) en fonction de V(X + Y) et en déduire la formule suivante pour tout nombre réel :
V(X + Y) = 2 V(X) + 2Cov(X, Y) + V(Y).
b) En déduire que (Cov(X, Y))2 V(X)V(Y).
A quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on l'égalité ((Cov(X, Y))2 = V(X)V(Y) ? 2°) Coefficient de corrélation linéaire des variables aléatoires X et Y
On suppose dans cette question les variances V(X) et V(Y) de X et Y strictement positives.
a) Exprimer le coefficient de corrélation linéaire des variables aléatoires X et Y en fonction de Cov(X, Y) et des écarts-types (X) et (Y) des variables aléatoires X et Y et montrer que appartient à [1, +1].
Préciser de plus à quelle condition nécessaire et suffisante est égal à 1 ou +1.
b) Donner la valeur de lorsque les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.
c) On suppose enfin que X suit une loi normale centrée réduite N(0, 1) et Y =X2.
Préciser les espérances et les variances de X et Y ainsi que la covariance et le coefficient de corrélation de X et Y. Etudier alors la réciproque de la question 2° b).
Partie II l°) Calculs préliminaires
a) On considère deux nombres entiers naturels q et n tels que n q. En raisonnant par récurrence sur n, établir la formule suivante :
n
q k
1 q 1 q n
k C
C
b) En faisant q = 1, 2, 3, en déduire une expression factorisée des quatre sommes suivantes :
n
3 k n
1 k n 2
2 k n
1 k
).
2 k )(
1 k ( k
; k et
) 1 k ( k
; k
On considère dans toute la suite de cette partie un nombre entier n 2 et une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n.
On extrait de cette urne successivement et sans remise 2 jetons et on désigne alors par :
* N1 la variable aléatoire indiquant le numéro du premier jeton tiré.
* N2 1a variable aléatoire indiquant le numéro du second jeton tiré.
* X la variable aléatoire indiquant le plus petit des numéros des 2 jetons tirés.
* Y la variable aléatoire indiquant le plus grand des numéros des 2 jetons tirés.
On note E(N1) et V(N1), E(N2) et V(N2), E(X) et V(X), E(Y) et V(Y) les espérances et variances des quatre variables aléatoires N1, N2, X, Y.
2°) Lois conjointe et marginales des variables aléatoires N1 et N2.
a) Déterminer les probabilités P(N1 = i) pour 1 i n et P( N2 = j / N1 = i ) pour 1 j n, j i. En déduire P(N2 = j) pour 1 j n, puis comparer les lois de N1 et N2.
b) Calculer les espérances E(N1) et E(N2), les variances V(N1) et V(N2).
c) Déterminer les probabilités P(N1 = i N2 = j) pour 1 i n et 1 j n en distinguant les deux cas i = j et i j et en déduire que :
12 . ) 2 n 3 )(
1 n ) ( N N (
E 1 2
En déduire la covariance et le coefficient de corrélation linéaire de N1 et N2.
d) Exprimer enfin sous forme factorisée la variance V(N1 + N2).
3°) Lois conjointe, marginales et conditionnelles des variables aléatoires X et Y
a) Montrer que les probabilités P(X = i Y = j) sont égales à n(n21) pour 1 i <j n.
Que valent-elles sinon ?
b) En déduire les probabilités P(Y = j) pour 2 j n et P(X = i) pour 1 i n1.
(On vérifiera que les formules donnant P(Y = j) et P(X = i) restent valables si j = 1 ou i = n).
c) Déterminer les probabilités P(X = i / Y = j) et P(Y = j / X = i) pour 1 i < j n, puis reconnaître la loi de X conditionnée par Y = j et la loi de Y conditionnée par X = i.
d) Comparer les lois des variables aléatoires n+1X et Y, autrement dit les deux probabilités P(n+1X = j) et P(Y = j) pour 2 j n.
En déduire que E(n+1X) = E(Y) et V(n+1X) = V(Y), puis en déduire les expressions de E(X) en fonction de E(Y) et de V(X) en fonction de V(Y).
4°) Espérances et variances des variables aléatoires X et Y a) Exprimer les espérances E(Y) et E(X) en fonction de n.
b) Exprimer sous forme factorisée E[(Y(Y-2)], puis E(Y2), V(Y) et V(X) en fonction de n.
5°) Covariance et coefficient de corrélation linéaire des variables aléatoires X et Y
a) Vérifier que X + Y = N1 + N2, puis en déduire sous forme factorisée la variance de X + Y et la covariance de X et Y.
b) En déduire le coefficient de corrélation de X et Y.
On remarquera que ce coefficient de corrélation linéaire de X et Y est indépendant de n.
Annales em Lyon (ex e.s.c.l.)
escl 88 Une secrétaire effectue n appels téléphoniques vers n correspondants distincts (n 2). Pour chaque appel, la probabilité d'obtenir le correspondant demandé est p appartenant à ]0, 1[ et la probabilité de ne pas l'obtenir est q, avec q = 1 - p.1. Soit X le nombre de correspondants obtenus lors de ces n appels. Quelle est la loi de X ? Calculer l'espérance E(X) et la variance V(X).
2. Après ces n recherches, la secrétaire demande une deuxième fois chacun des n-X correspondants qu'elle n'a pas obtenus la première fois. Soit Y le nombre de correspondants obtenus dans la deuxième série d'appels, et Z = X + Y le nombre total de correspondants obtenus.
a) Quelles sont les valeurs prises par Z ?
b) Calculer p0 = P(Z = 0), p1 = P(Z =1). Montrer que p1 = n p q2n – 2 (1+q).
c) Calculer la probabilité conditionnelle P( (Y=h) / (X=k) ), pour k appartenant à {0,1,…,n} ) et h à {0,1,…,n-k}.
d) Démontrer P(Z=s) =
s
0 k
) ) k s Y ( ) k X ( (
P .
e) Calculer ps = P(Z = s), et montrer que Z suit une loi binomiale de paramètres n et p(1+q). (On pourra vérifier : s ks
n k s
k n k
nC C C
C .)
escl 90 1. On rappelle que la série géométrique de terme général xn est convergente pour x dans ]-l, 1[ et que sa somme S(x) est égale àx 1
1
. On rappelle également que la fonction S ainsi définie sur ]-1,1[ est indéfiniment dérivable et que, pour tout entier naturel k, sa dérivée k-ième S(k) est définie sur ]-1,1[ par:
S(k)(x) =
k
n k 1
k n
) x 1 (
! x k
) 1 k n )...(
1 n (
n .
Démontrer que, pour tout réel x dans ]-1, 1[ et tout entier naturel k :
k
n k 1
n k k
n (1 x)
x x C
2. Soit p un réel tel que 0 < p <
3
2 . Dans un pays, la probabilité qu'une famille ait exactement n enfants est pn
2
1 , quand n 1. Par ailleurs, la probabilité, à chaque naissance, d'avoir un garçon est 1/2.
a) Calculer la probabilité q qu'une famille ait au moins un enfant. Calculer la probabilité q0 qu'une famille n'ait aucun enfant.
b) Soit n un entier tel que n 1 et k un entier tel que 0 k n On considère une famille de n enfants : calculer la probabilité pour que cette famille ait exactement k garçons.
c) Soit k un entier 1. Calculer la probabilité pour qu'une famille ait exactement k garçons.
d) Calculer la probabilité pour qu'une famille n'ait aucun garçon.
escl 91 Une urne contient des jetons numérotés de 1 à p (p 2). On effectue N tirages successifs (N 1).Chaque tirage consiste à prendre un jeton dans l'urne, noter son numéro, puis remettre le jeton dans l'urne.
Pour tout entier i compris entre 1 et p, on définit les variables aléatoires Fi et Xi comme suit : Fi est le nombre de fois où le jeton n°i a été tiré.
Xi prend la valeur 0 si le jeton n°i n'a pas été tiré et prend la valeur 1 si il a été tiré au moins une fois.
1. Etude des variables aléatoires Fi.
a) Pour tout i compris entre 1 et p, déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire Fi. b) On considère la variable aléatoire F =
p
1 i
Fi . Que vaut F ? Calculer l'espérance et la variance de F.
c) Est-ce que les variables aléatoires Fi sont deux à deux indépendantes ? 2. Etude des variables aléatoires Xi.
a) Pour tout i compris entre 1 et p, déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire Xi. k b) Soient i et j deux entiers distincts compris entre 1 et p. Déterminer la probabilité pour queXi = 0 sachant que Xj = 0. Est-ce que les variable Xi et Xj sont indépendantes ?
c) Déterminer l'espérance de la variable aléatoire X =
p
1 i
Xi
3. Application.
Vous êtes responsable du service après-vente d'une chaîne de magasins. Ce service est présent sur quinze sites et, au total, il reçoit en moyenne cinquante appels par jour.
a) En utilisant le début de l'exercice pour modéliser cette situation, donner une interprétation des variables aléatoires Fi, Xi et X.
b) Calculer des valeurs approchées à 10-1 près de l'espérance de Fi, de l'espérance de Xi et de l'espérance de X.Commenter brièvement ces résultats.
escl 92 Soit N un entier naturel supérieur ou égal à 2.1. Montrer les égalités suivantes : 2
) 1 N ( k N
N
1 k
;6
) 1 N 2 )(
1 N ( k N
N
1 k
2
.
2. Une urne contient une boule blanche, une boule verte et N-2 boules rouges. Ces boules sont indiscernables au toucher.
On tire successivement les N boules sans remettre les boules tirées dans l'urne.
On note X1 la variable aléatoire égale au rang du tirage de la boule blanche et X2 la variable aléatoire égale au rang du tirage de la boule verte.
a) Soient i et j deux entiers compris entre 1 et N. Calculer la probabilité pi,j pour que X1 = i et X2 = j.
(On distinguera le cas i = j et le cas i
j.)b) Déterminer les lois des variables aléatoires X1 et X2. Est-ce que les variables aléatoires X1 et X2 sont indépendantes ? Calculer les espérances des variables aléatoires X1 et X2.
c) On note X la variable aléatoire égale au rang du tirage où on obtient soit la boule blanche, soit la boule verte.On note Y la variable aléatoire égale au rang du tirage à partir duquel on a obtenu la boule blanche et la boule verte.
Remarque : en fait, X = inf(X1,X2) et Y = sup(X1,X2). Par exemple, si on a tiré rouge, rouge, verte, rouge, blanche, alors :
X1 = 5 X = 3 X2 = 3 Y = 5 .
Déterminer les lois des variables aléatoires X et Y.
Calculer les espérances des variables aléatoires X et Y.
escl 93 Question préliminaire. Soit k et n des entiers naturels tels que 0 < 3k n a) Démontrer que, pour tout i tel que 0 i k-1, i in1n C
2 C 1 , puis que, pour tout i tel que 0 i k, k i kn
i
n C
2 C 1 b) En déduire que
k
0 i
k n i n k
n C 2C
C .
Monsieur X vend des journaux, sur le marché, le samedi matin. Il propose au choix deux quotidiens A et B, et il dispose d'un stock de 40 exemplaires pour A et 40 exemplaires pour B.
On suppose :
-- qu'aucun client ne demande A et B,
-- que si un client demande A (respectivement B) alors que le stock de A (respectivement B) est épuisé, il part sans demander B (respectivement A),
-- que les demandes des clients sont indépendantes les unes des autres. Un samedi, 60 clients se présentent dans la matinée. Chaque client demande soit A, soit B avec la même probabilité 0,5.
1. Y est la variable aléatoire égale au nombre de clients qui demande A cette matinée. Déterminer la loi de Y. Donner son espérance et sa variance.
2. On note x la probabilité de l'événement : Monsieur X ne satisfait pas à toutes les demandes, cette matinée.
a) Exprimer x à l'aide de la loi de Y.
b) Déduire de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev un majorant de x.
c) Déduire de la question préliminaire un encadrement de x.
d)Comparer, en utilisant éventuellement des valeurs numériques approchées données en annexe, les résultats des questions b et c.
Annexe : C2060 = 4, 192 .1015 ; C1960 = 2, 045 .10 15 ; C1860 = 9, 250 . 1014 .
escl 94 On suppose que le nombre N de colis expédiés à l'étranger chaque jour par une entreprise suit une loi de Poisson de paramètre 5. Ces colis sont expédiés indépendamment les uns des autres.La probabilité pour qu'un colis expédié à l'étranger soit détérioré est égale à 0,1.
On s'intéresse aux colis expédiés à l'étranger un jour donné : N est la variable aléatoire égale au nombre de colis expédiés ;
X est la variable aléatoire égale au nombre de colis détériorés ; Y est la variable aléatoire égale au nombre de colis en bon état.
On a donc : X + Y = N.
1. Soit n un entier naturel ; calculer, pour tout entier naturel k, la probabilité conditionnelle suivante :
) k X (
P(Nn) .
2. Donner la loi du couple (X, N), puis montrer que X suit une loi de Poisson de paramètre 0,5.
3. Déterminer la loi de Y.
4. a) Si i et j sont deux entiers naturels, calculer la probabilité : P( (X=i )
(Y=j ) ).b) X et Y sont-elles indépendantes ?
escl 95 Dans un jeu, il y a n numéros (de 1 à n) dont p numéros gagnants choisis à l'avance et connus du seul meneur de jeu.On suppose n N*, p N* , p 3 n .
Dans la première phase du jeu, le joueur tire au hasard, successivement, p numéros différents Le meneur dévoile alors p numéros perdants parmi les n - p numéros qui n'ont pas été tirés.
Dans la deuxième phase du jeu, le joueur a le choix entre deux stratégies.
Stratégie A : il garde les p numéros qu'il a tirés.
Stratégie B : il échange les p numéros qu'il a tirés contre p nouveaux numéros tirés au hasard, successivement, parmi les n - 2p numéros qui n'ont été ni tirés, ni dévoilés durant la première phase.
Le but de l'exercice est de déterminer laquelle des deux stratégies permet d'espérer obtenir le plusde numéros gagnants.
1. Etude directe d'un cas simple. On suppose ici : n = 3, p = 1. Calculer la probabilité d'obtenir le numéro gagnant avec la stratégie A, puis avec la stratégie B.
2. Etude du cas général.
Pour 1 i p, on note Xi la variable aléatoire égale à 1 si le i-ème numéro tiré dans la première phase est gagnant, 0 sinon.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de numéros gagnants parmi les p numéros tirés dans la première phase.
Ainsi, X = X1 + X2 + . . . +Xp
a.Démontrer que, pour 1 i p : P(X1 = 1) = n
p . En déduire E(X) = n p2
. b.Déterminer la loi de X. En déduire les formules
(1)
p
0 k
p n k p
p n k
pC C
C ; (2)
p
0 k
p n 2 k p
p n k
p C
n C p
kC
On suppose désormais, dans toute la suite de l'exercice, que le joueur utilise la stratégie B.
Pour 1 i p, on note Zi la variable aléatoire égale à 1 si le i-ème numéro tiré dans la deuxième phase est gagnant, 0 sinon.
On note Z la variable aléatoire égale au nombre de numéros gagnants parmi les p numéros tirés dans la deuxième phase.
c. Pour tout entier naturel k tel que 0 k p et pour 1 i p, calculer la probabilité conditionnelle P(Zi = 1 / X = k).
d. Pour 1 i p démontrer que :
p
0 k
k p
p n k p p
n
i (p k)C C
C ) p 2 n ( ) 1 1 Z ( P
e. En utilisant les formules démontrées en b., vérifier que : E(Z) =
) p 2 n ( n
) p n ( p2
. Des stratégies A et B, laquelle est préférable ?
escl 97 On dispose d'un dé équilibré à 6 faces et d'une pièce truquée telle que la probabilité d'apparition de«pile» soit égale à p ]0, 1[. On pourra noter q = 1 - p.
Soit N un entier naturel non nul fixé.
On effectue N lancers du dé. Si n est le nombre de "6" obtenus, on lance alors n fois la pièce.
On définit trois variables aléatoires X, Y, Z de la manière suivante : Z indique le nombre de "6" obtenus aux lancers du dé,
X indique le nombre de "piles" obtenus aux lancers de la pièce, Y indique le nombre de "faces" obtenues aux lancers de la pièce.
Ainsi, X + Y = Z et, Si Z prend la valeur 0, alors X et Y prennent la valeur 0.
1°) Préciser la loi de Z, son espérance et sa variance.
2°) Pour k N, n N, déterminer la probabilité conditionnelle P(X = k / Z = n). On distinguera les cas k n et k > n.
3°) Montrer, pour tout couple d'entiers naturels (k, n) : si 0 k n N alors P(X = k et Z = n) =
n n N k n k
n N k
n 6
1 6
) 5 p 1 ( p C
C
,
si n > N ou k > n alors P(X = k et Z = n) = 0 . 4°) Calculer la probabilité P(X = 0).
5°) Montrer pour tout couple d'entiers naturels (k, n) tel que 0 k n N : nNkk k N n N k
nC C C
C .
En déduire la probabilité P(X = k).
6°) Montrer que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre (N, 6
p ). Quelle est la loi de la variable aléatoire Y ?
7°) Est-ce que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes ? Déterminer la loi du couple (X, Y).
8°) En comparant les variances de Z et de X + Y, déterminer la covariance du couple (X, Y).
escl 98 Une urne contient des boules vertes et des boules blanches, indiscernables au toucher La proportion de boules vertes est p, 0 < p < 1 ; la proportion de boules blanches est 1 – p. On effectue une suite de tirages successifs d'une boule avec remise. (Toute boule tirée de l'urne y est remise avant de procéder au tirage suivant.)1°) On note NV la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule verte, et NB la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule blanche.
a. Quelles sont les lois des variables aléatoires NV et NB ? b. Les variables aléatoires NVet NB sont-elles indépendantes ?
On définit le couple de variables aléatoires (X, Y) à valeurs dans (N* )2 de la façon suivante : pour tout (i, j) (N* )2, (X = i et Y = j) est l'événement :
"les i premières boules tirées sont blanches, les j suivantes sont vertes et la (i + j +1)ième est blanche ou
"les i premières boules tirées sont vertes, les j suivantes sont blanches et la (i + j + 1)ième est verte".
Par exemple, pour la suite de tirages BBBVVBVBB… (où V est mis pour vert et B pour blanc), on a X = 3 et Y = 2.
2°) a. Déterminer la loi de la variable aléatoire X.
b. Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance, et que E(X) = 1pp 1pp .
c. Montrer que E(X) est minimale lorsque p = 2
1 et calculer cette valeur minimale.
3°) Montrer, pour tout (i, j) de (N* )2 : P(X = i et Y = j) = pi+1(1 – p)j + (1 – p)i+1pj . 4°) a.En déduire la loi de la variable aléatoire Y.
b. Montrer que la variable aléatoire Y admet une espérance que l'on calculera.
5°) a.Etablir que, si p
1/2, les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes. (On pourra considérer P(X = 1 et Y = 1) .)b.Démontrer que, Si p = 1/2, les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.
escl 98 bis (sujet de secours) Une urne contient trois boules indiscernables au toucher : une noire, une blanche et une verte. On effectue des tirages successifs d'une boule avec remise jusqu'à l'obtention de la première boule verte. On définit trois variables aléatoires de la manière suivante :X prend la valeur k si la première boule verte est obtenue au k-ième tirage,
Y prend la valeur n si on a obtenu n boules blanches avant l'apparition de la première boule verte, Z prend la valeur si on a obtenu boules noires avant l'apparition de la première boule verte.
Ainsi : X = Y + Z + 1.
1. a. Quelle est la loide la variable aléatoire X ? b. Calculer son espérance et sa variance.
2. Pour tout triplet (k, n, ) de N3, montrer :
si k n + + 1, alors P(X = k et Y = n et Z = ) = 0
si k = n + + 1, alors P(X = k et Y = n et Z = ) = nk 1 k
3
C 1
.
En déduire la loi du couple (X, Y).
3. On admettra que, pour tout entier naturel n et pour tout réel x tel que 0 < x < 1,
n k
1 n n k
n
k (1 x)
x x
C .
a. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y.
b. Vérifier que la variable aléatoire Y + 1 suit une loi géométrique de paramètre 1/2.
c. En déduire l'espérance et la variance de Y.
4. Est-ce que les variables aléatoires Y et Z sont indépendantes ? 5. Déterminer la loi du couple (Y, Z).
6. En comparant la variance de X avec celle de Y + Z, déterminer la covariance du couple (Y, Z).
escl 99 La lettre c désigne un entier naturel non nul fixé. Une urne contient initialement des boules blanches et de boules rouges, toutes indiscernables au toucher. On effectue des tirages successifs d'une boule dans l'urne selon le protocole suivant : après chaque tirage, la boule tirée est remise dans l'urne et on rajoute dans l'urne, avant le tirage suivant, c boules de la couleur de la boule qui vient d'être tirée.1.Dans cette question, on suppose que l'urne contient initialement b boules blanches et r boules rouges, où b et r sont des entiers naturels non nuls.
a. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule banche au premier tirage ? b. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule banche au deuxième tirage ?
c. Si la deuxième boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la première boule tirée ait été banche ?
2.Pour tous entiers naturels non nuls n, x, y, on note un(x,y) la probabilité d'obtenir d'obtenir une boule blanche au n-ième tirage, lorsque l'urne contient initialement x boules blanches et y boules rouges.
a a. Montrer, en utilisant un système complet d'événements associé au premier tirage, que, pour tous entiers naturels non nuls x, y, z, on a : un+1(x,y) = un(x + c , y)xxy + un(x , y + c) xyy .
b. En déduire, par récurrence, que, pour tous entiers naturels non nuls n, x, y, on a :
