IUT GB - Fiche de TD – Variables aléatoires discrètes
Exercice 1. On s’intéresse dans cet exercice aux allergies déclenchées par un médicament dans une grande population. Une étude a montré que 23% des individus sont allergiques. On choisit au hasard un échantillon de 18 personnes. Soit 𝑋𝑋 le nombre aléatoire de personnes allergiques.
1. Quelle loi la variable 𝑋𝑋suit-elle ? Donner son espérance, sa variance et son écart type.
2. Calculer la probabilité : ℙ(3≤ 𝑋𝑋 ≤7).
Exercice 2.
On sait par expérience qu'une certaine opération chirurgicale a 85% de chances de réussir. On s'apprête à réaliser l'opération sur 20 patients. Soit 𝑋𝑋 la variable aléatoire égale au nombre de réussites de l'opération sur les 20 tentatives.
1. Quel modèle proposez-vous pour 𝑋𝑋 ? (préciser la loi de probabilité de 𝑋𝑋.) 2. Donner l’espérance, la variance et l'écart type de 𝑋𝑋.
3. Calculer la probabilité d'avoir au moins 15 réussites.
4. Trouver toutes les valeurs de 𝑘𝑘 qui vérifient : ℙ(𝑋𝑋 ≥ 𝑘𝑘)≤25%.
Exercice 3. On examine successivement les souris dans une population à la recherche d’un caractère génétique particulier 𝐶𝐶. Pour chaque souris, on suppose que la probabilité d’avoir ce caractère est de 15%. On note 𝑋𝑋 le nombre de souris à examiner pour observer la première fois le caractère 𝐶𝐶.
1. Quelle est la loi de 𝑋𝑋 ? Calculer 𝔼𝔼(𝑋𝑋), 𝕍𝕍 (𝑋𝑋) et 𝜎𝜎(𝑋𝑋).
2. Calculer les probabilités ℙ(𝑋𝑋 = 1), ℙ(𝑋𝑋 ≤ 6), ℙ(𝑋𝑋 ≥ 15).
3. Calculer ℙ(𝑋𝑋 ≤ 𝑛𝑛) pour 𝑛𝑛 ≥ 1. Calculer 𝑛𝑛 minimum pour que ℙ(𝑋𝑋 ≤ 𝑛𝑛) ≥ 95%.
Exercice 4. Un liquide contient 9,3.105 bactéries par litre. On prélève un échantillon de 1 𝑚𝑚𝑚𝑚3 de ce liquide. Chaque bactérie a donc une probabilité 𝑝𝑝= 10−6 de se trouver dans l’échantillon (on rappelle : 1𝑙𝑙 = 106𝑚𝑚𝑚𝑚3).
1. Déterminer le nombre moyen 𝑚𝑚 de bactéries par 𝑚𝑚𝑚𝑚3.
2. On note 𝑋𝑋 le nombre aléatoire de bactéries dans l’échantillon. 𝑋𝑋 suit une loi de Poisson de moyenne 𝑚𝑚. Calculer les probabilités ℙ(𝑋𝑋= 1), ℙ(𝑋𝑋 ≤2) et ℙ(𝑋𝑋 ≥4).
Exercice 5.
La prévalence du daltonisme chez les femmes est de 0,4%. Sur un échantillon de 800 femmes, on note 𝑋𝑋 le nombre aléatoire de femmes daltoniennes.
1. Justifier que 𝑋𝑋 suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. On peut approcher la loi de 𝑋𝑋 par une loi de Poisson. Pourquoi ? Laquelle ? 3. Calculer la probabilité d'avoir au maximum 5 femmes atteintes de daltonisme.
Exercice 6.
La mucoviscidose est une maladie héréditaire récessive qui se caractérise par la présence d'un allèle 𝑚𝑚 au lieu d'un allèle 𝑀𝑀. Les personnes atteintes sont de génotype 𝑚𝑚𝑚𝑚. Les personnes hétérozygotes sont de génotype 𝑀𝑀𝑚𝑚. Des études ont montré que 1 personne sur 1600 est atteinte de la mucoviscidose et 1 personne sur 20 est hétérozygote.
1. On choisit au hasard (avec remise) un échantillon de 4000 individus. On note 𝑋𝑋 le nombre aléatoire de personnes atteintes de mucoviscidose.
a. Justifier que 𝑋𝑋 suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. Préciser 𝔼𝔼(𝑋𝑋) et 𝕍𝕍(𝑋𝑋).
b. On peut approcher la loi de 𝑋𝑋 par une loi de Poisson. Pourquoi ? Laquelle ?
c. Calculer la probabilité d'avoir au minimum 6 personnes atteintes de mucoviscidose.
2. On choisit les unes après les autres des personnes jusqu'à découvrir la première fois un hétérozygote. On note 𝑌𝑌 le nombre aléatoire de tirages nécessaires.
a. Quelle est la loi de 𝑌𝑌 ? Préciser son espérance, sa variance, son écart type.
b. Calculer ℙ(𝑌𝑌 ≥40).
c. Quel est le nombre minimal 𝑛𝑛 de tirages à prévoir pour avoir ℙ(𝑌𝑌 ≤ 𝑛𝑛) > 99% ?
Exercice 7. En France, environ 80% des enfants de moins de deux ans sont vaccinés contre la rougeole (vaccin ROR). Pour un échantillon de 20 enfants de moins de deux ans, on note 𝑋𝑋 le nombre aléatoire d’enfants qui sont vaccinés.
1. Quelle est la loi de 𝑋𝑋 ? Calculer son espérance, sa variance et son écart type.
2. Calculer ℙ(14≤ 𝑋𝑋 ≤17).
3. Déterminer toutes les valeurs de 𝑘𝑘 telles que ℙ(𝑋𝑋 ≥ 𝑘𝑘) < 25%.
4. Déterminer toutes les valeurs de 𝑘𝑘 telles que ℙ(𝑋𝑋 ≤ 𝑘𝑘) < 5%.
