Variables aléatoires continues

(1)

Variables aléatoires continues

A. OLLIVIER

Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer

2020-2021

(2)

Considérons une variable aléatoire susceptible de prendre n’importe quelle valeur réelle appartenant à un intervalle donné. Cet intervalle peut être[0;1]ouRpar exemple. Une telle variable aléatoire est dite continue.

A. OLLIVIER Variables aléatoires continues

(3)

La durée de vie d’une ampoule électrique est un exemple de variable aléatoire continue. Dans ce cas, les valeurs prises sont dans l’intervalle[0; +∞[.

(4)

La durée de vie d’une ampoule électrique est un exemple de variable aléatoire continue. Dans ce cas, les valeurs prises sont dans l’intervalle[0; +∞[.

L’ensemble des valeurs étant infini, la probabilité d’obtenir exactement une valeur particulière est nulle en général. On cherchera donc plutôt à déterminer des probabilités du type P(X ∈I), oùIest un intervalle, par exempleP(a≤X ≤b).

(5)

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle [a;b]. Si X prend toutes les valeurs de [a;b], on dit que X est . . . .

Définition

(6)

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle [a;b]. Si X prend toutes les valeurs de [a;b], on dit que X est continue.

Définition

(7)

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle [a;b]. Si X prend toutes les valeurs de [a;b], on dit que X est continue. Dans ce cas, la den- sité de probabilité de la variable aléatoire X est . . . .

. . . . . . . .

Définition

(8)

SoitX une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle [a;b]. SiX prend toutes les valeurs de[a;b], on dit queX est continue. Dans ce cas, la densité de probabilité de la variable aléatoireX estune fonction f positive, continue sauf éventuellement en un nombre fini de points et telle que :

Z b a

f(x)dx =1 Définition

(9)

SoitX une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle [a;b]. SiX prend toutes les valeurs de[a;b], on dit queX est continue. Dans ce cas, la densité de probabilité de la variable aléatoireX est une fonctionf positive, continue sauf éventuellement en un nombre fini de points et telle que :

Z b a

f(x)dx =1 Définition

(10)

Le produitf(x)dx joue, pour une variable aléatoire continue, le même rôle que la probabilitéP(x)pour une variable aléatoire discrète. La "somme des probabilités" est ici représentée par Z b

a

f(x)dx et vaut 1.

(11)

Propriétés

SoitX une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle I = [a;b], de densitéf etJ un intervalle inclus dansI, par exempleJ = [u;v].

(12)

Propriétés

•La probabilité de l’événement{X ∈J}, est . . . . . . . .

(13)

Propriétés

•La probabilité de l’événement{X ∈J}, estl’aire du domaine défini parx ∈J et 0≤y ≤f(x).

(14)

Propriétés

•La probabilité de l’événement{X ∈J}, est l’aire du domaine défini parx ∈J et 0≤y ≤f(x).

(15)

•Sif est continue sur[u;v], alorsP(u ≤X ≤v) = . . . .

(16)

•Sif est continue sur[u;v], alorsP(u ≤X ≤v) = Z v

u

f(x)dx =F(v)−F(u)oùF est une primitive def.

(17)

u

f(x)dx =F(v)−F(u)oùF est une primitive def. En particulier,P(X =u) =P(X =v) =. . .

(18)

u

f(x)dx =F(v)−F(u)oùF est une primitive def. En particulier,P(X =u) =P(X =v) =0.

(19)

u

•On peut remplacer des inégalités larges par des inégalités strictes : . . . . . . . .

(20)

u

•On peut remplacer des inégalités larges par des inégalités strictes :P(u≤X ≤v) =P(u <X ≤v) =P(u ≤X <v) = P(u<X <v).

(21)

u

•L’événement(X >u)est l’événement contraire de l’événement(X ≤u), d’où : . . . .

(22)

u

•L’événement(X >u)est l’événement contraire de l’événement(X ≤u), d’où :P(X >u) =1−P(X ≤u).

(23)

u

(24)

u

• P(u≤X ≤v) =P(X ≤v)−P(X <u).

(25)

u

(26)

Exemple

Supposons qu’on choisisse au hasard un point sur un segment de longueur 3. La probabilité que ce point se trouve dans un intervalle donné de ce segment est proportionnelle à

l’amplitude de l’intervalle. Le choix d’un tel point est équivalent au choix d’un nombre quelconque dans l’intervalle[0;3].

Soitf la fonction définie par :f(x) = 1

3 si 0≤x ≤3.

(27)

Exemple

Supposons qu’on choisisse au hasard un point sur un segment de longueur 3. La probabilité que ce point se trouve dans un intervalle donné de ce segment est proportionnelle à

l’amplitude de l’intervalle. Le choix d’un tel point est équivalent au choix d’un nombre quelconque dans l’intervalle[0;3].

Soitf la fonction définie par :f(x) = 1

3 si 0≤x ≤3.

La fonctionf est continue, positive, sur[0;3]et Z 3

0

f(x)dx =1.

(28)

P(1≤X ≤2) =

(29)

Probabilité Graphique P(1≤X ≤2) =

Z 2 1

1 3dx =

(30)

P(1≤X ≤2) = Z 2

1

3dx = 1

3 0 ₁ ₂ ₃

P(X ≤2) =

(31)

Z 2 1

1

3dx = 1

3 0 ₁ ₂ ₃

P(X ≤2) = Z 2

0

1 3dx =

(32)

P(1≤X ≤2) = Z 2

1

3dx = 1

3 0 ₁ ₂ ₃

P(X ≤2) = Z 2

0

1

3dx = 2

3 0 1 2 3

P(X <1) =

(33)

Z 2 1

1

3dx = 1

3 0 ₁ ₂ ₃

P(X ≤2) = Z 2

0

1

3dx = 2

3 0 1 2 3

P(X <1) = Z 1

0

1 3dx =

(34)

P(1≤X ≤2) = Z 2

1

3dx = 1

3 0 ₁ ₂ ₃

P(X ≤2) = Z 2

0

1

3dx = 2

3 0 1 2 3

P(X <1) = Z 1

0

1

3dx = 1

3 0 ₁ ₂ ₃

P(X =1) =

(35)

Z 2 1

1

3dx = 1

3 0 ₁ ₂ ₃

P(X ≤2) = Z 2

0

1

3dx = 2

3 0 1 2 3

P(X <1) = Z 1

0

1

3dx = 1

3 0 ₁ ₂ ₃

P(X =1) = Z 11

3dx =

(36)

P(1≤X ≤2) = Z 2

1

3dx = 1

3 0 ₁ ₂ ₃

P(X ≤2) = Z 2

0

1

3dx = 2

3 0 1 2 3

P(X <1) = Z 1

0

1

3dx = 1

3 0 ₁ ₂ ₃

P(X =1) = Z 1

1

3dx =0

0 ₁ ₂ ₃

On dit que la variable aléatoire qui a pour densité de probabilité f, suit la loi uniforme sur[0;3].

(37)

Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur[a;b]si sa densité de probabilitéf est définie par

. . . . Définition

(38)

f(x) = 1

b−a pour a≤x ≤b Définition

(39)

f(x) = 1

b−a pour a≤x ≤b Définition

(40)

P(u≤X ≤v) =. . . .=. . . .

(41)

P(u ≤X ≤v) = Z v

u

1

b−adx = v−u b−a Propriété

(42)

P(u ≤X ≤v) = Z v

u

1

b−adx = v−u b−a

O a b

1 b−a 1

b−a

v−u

u v

P(u≤X≤v)

Loi uniforme sur[a;b]: probabilité de l’événement{u ≤X ≤v}

(43)

P(u ≤X ≤v) = Z v

u

1

b−adx = v−u b−a Propriété

1 b−a 1

b−a

P(u≤X≤v)

Cette probabilité est proportionnelle à la longueur du segment[u;v].

La loi uniforme correspond en probabilités discrètes

(44)

Pour une variable aléatoire discrète l’espérance est la somme des produitsxiP(X =xi). Pour une variable aléatoire continue à valeur dans[a;b], nous définissons de manière analogue l’espérance par :

. . . .

(45)

Espérance

E(X) = Z b

a

xf(x)dx

(46)

E(X) = Z b

a

xf(x)dx

Les propriétés de l’espérance dans le cadre des variables aléatoires discrètes sont conservées ici.

Dans l’exemple précédent, on a E(X) =

Z 3 0

xf(x)dx =. . . = . . .

(47)

Espérance

E(X) = Z b

a

xf(x)dx

Dans l’exemple précédent, on a

(48)

E(X) = Z b

a

xf(x)dx

Dans l’exemple précédent, on a E(X) =

Z 3 0

xf(x)dx = Z 3

0

x

3dx = 3 2.

Ceci correspond au point milieu de l’intervalle[0;3].

(49)

Dans le cas général d’une loi uniforme, sig(x) =xf(x) = x b−a alors une primitive Gdeg est définie parG(x) =. . . .

(50)

Dans le cas général d’une loi uniforme, sig(x) =xf(x) = x b−a alors une primitive Gdeg est définie parG(x) = x²

2(b−a) ,

(51)

2(b−a) , d’où :

E(X) = Z b

a

x

b−adx =. . . .

(52)

2(b−a) , d’où :

E(X) = Z b

a

x

b−adx =G(b)−G(a) =

(53)

2(b−a) , d’où :

E(X) = Z b

a

x

b−adx =G(b)−G(a) = . . . .

(54)

Dans le cas général d’une loi uniforme, sig(x) =xf(x) = b−a alors une primitive Gdeg est définie parG(x) = x²

2(b−a) , d’où :

E(X) = Z b

a

x

b−adx =G(b)−G(a) = b²

2(b−a) − a² 2(b−a)

(55)

2(b−a) , d’où :

E(X) = Z b

a

x

2(b−a) − a² 2(b−a)

=. . . .

(56)

2(b−a) , d’où :

E(X) = Z b

a

x

2(b−a) − a² 2(b−a)

= b²−a² 2(b−a) =

(57)

2(b−a) , d’où :

E(X) = Z b

a

x

2(b−a) − a² 2(b−a)

= b²−a²

2(b−a) = . . . .

(58)

2(b−a) , d’où :

E(X) = Z b

a

x

2(b−a) − a² 2(b−a)

= b²−a²

2(b−a) = a+b 2

(59)

2(b−a) , d’où :

E(X) = Z b

a

x

2(b−a) − a² 2(b−a)

= b²−a²

2(b−a) = a+b 2

(60)

SiX ∼ U[a,b], l’espéranceE(X)est donnée par : E(X) =. . . .

Propriété

(61)

SiX ∼ U[a,b], l’espéranceE(X)est donnée par : E(X) = a+b

2 Propriété

(62)

Soitλun réel strictement positif.

Une variable aléatoireT suit la loi exponentielle de para- mètreλsi sa densité de probabilitéf est définie par :

. . . . Définition

Cette densité est la densité du temps de désintégration d’un atome radioactif et cette loi de probabilité intervient souvent dans les durées de fonctionnement d’un composant

électronique.

(63)

Une variable aléatoire T suit la loi exponentielle de pa- ramètre λsi sa densité de probabilité f est définie par :

f(x) =λe⁻^λ^x pour tout x ≥0 Définition

Cette densité est la densité du temps de désintégration d’un atome radioactif et cette loi de probabilité intervient souvent

(64)

Une variable aléatoireT suit la loi exponentielle de para- mètreλsi sa densité de probabilitéf est définie par :

f(x) =λe⁻^λ^x pour tout x ≥0 Définition

Cette densité est la densité du temps de désintégration d’un atome radioactif et cette loi de probabilité intervient souvent dans les durées de fonctionnement d’un composant

électronique.

(65)

a λ

P(a≤X≤b)

(66)

F(x) =. . . .

(67)

Calculs

Une primitive def est la fonctionF définie sur[0; +∞[par : F(x) =−e⁻^λ^x.

(68)

F(x) =−e⁻^λ^x.

Siaetb sont deux réels tels que 0≤a≤b, alors : P(T ≤b) =

Z b 0

λe⁻^λ^xdx =. . . .

(69)

Calculs

Z b 0

λe⁻^λ^xdx =F(b)−F(0) =−e⁻^λ^b−(−e⁰) =1−e⁻^λ^b

(70)

F(x) =−e⁻^λ^x.

Z b 0

PuisqueP(T ≤a) =P(T <a), on peut alors déduire : P(a≤T ≤b) =. . . . . . . .

(71)

Calculs

Z b 0

PuisqueP(T ≤a) =P(T <a), on peut alors déduire :

P(a≤T ≤b) =P(T ≤b)−P(T ≤a) =1−e⁻^λ^b−1+e⁻^λ^a= e⁻^λ^a−e⁻^λ^b

(72)

F(x) =−e⁻^λ^x.

Z b 0

et aussi :

P(T >a) =. . . .

(73)

Calculs

Z b 0

et aussi :

(74)

F(x) =−e⁻^λ^x.

Z b 0

et aussi :

P(T >a) =1−P(T ≤a) =1−(1−e⁻^λ^a) =e⁻^λ^a

(75)

La loi exponentielle est "sans mémoire",T vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement :

P_(T≥t)(T ≥t+h) = P(T ≥t+h)

P(T ≥t) =. . . .

(76)

P_(T≥t)(T ≥t+h) = P(T ≥t+h)

P(T ≥t) = e⁻^λ^(t+h)

e⁻^λ^t =e⁻^λ^h=P(T ≥h)

(77)

P_(T≥t)(T ≥t+h) = P(T ≥t+h)

P(T ≥t) = e⁻^λ^(t+h)

e⁻^λ^t =e⁻^λ^h=P(T ≥h)

(78)

définition de l’espérance mathématique en posant : E(T) = lim

b→+∞

Z b 0

xf(x)dx avec icif(x) =λe⁻^λ^x.

SiT suit la loi exponentielle de paramètreλalors : . . . .

Propriété

(79)

T prend ses valeurs dans[0; +∞[. Nous allons étendre la définition de l’espérance mathématique en posant :

E(T) = lim

b→+∞

Z b 0

SiT suit la loi exponentielle de paramètreλalors : E(T) = 1

Propriété

(80)

définition de l’espérance mathématique en posant : E(T) = lim

b→+∞

Z b 0

SiT suit la loi exponentielle de paramètreλalors : E(T) = 1

λ Propriété

(81)

Démonstration

On cherche une primitiveGde la fonctiongdéfinie par g(x) =xf(x).

On connait la dérivée d’un produit :(uv)^′=. . . .,

(82)

Démonstration

On connait la dérivée d’un produit :(uv)^′=u^′v+uv^′,

(83)

Démonstration

On connait la dérivée d’un produit :(uv)^′=u^′v+uv^′, soit uv^′ =. . . ..

(84)

Démonstration

On connait la dérivée d’un produit :(uv)^′=u^′v+uv^′, soit uv^′ =(uv)^′−u^′v.

(85)

Démonstration

On connait la dérivée d’un produit :(uv)^′=u^′v+uv^′, soit uv^′ = (uv)^′−u^′v.

Donc une primitive deuv^′ est la fonctionuv à laquelle on retranche une primitive deu^′v.

(86)

Démonstration

Si on poseu(x) =x etv^′(x) =λe⁻^λ^x, on obtient v(x) =. . . .;

(87)

Démonstration

Si on poseu(x) =x etv^′(x) =λe⁻^λ^x, on obtient v(x) =−e⁻^λ^x;

(88)

Démonstration

u^′(x)v(x) =. . . .,

(89)

Démonstration

u^′(x)v(x) =−e⁻^λ^x,

(90)

Démonstration

u^′(x)v(x) =−e⁻^λ^x, et une primitiveHdeu^′v est définie par H(x) =. . . ..

(91)

Démonstration

u^′(x)v(x) =−e⁻^λ^x, et une primitiveHdeu^′v est définie par H(x) = 1

e⁻^λ^x.

(92)

Démonstration

λe⁻^λ^x.

Finalement,Gest définie parG(x) =. . . ..

(93)

Démonstration

e⁻^λ^x.

(94)

Démonstration

λe⁻^λ^x.

Finalement,Gest définie parG(x) =−xe⁻^λ^x− 1 λe⁻^λ^x.

(95)

suite de la démonstration

On calcule maintenant l’intégrale : Z b

0

xf(x)dx =. . . .

(96)

0

xf(x)dx =G(b)−G(0)

(97)

0

xf(x)dx =G(b)−G(0) =. . . .

(98)

0

xf(x)dx =G(b)−G(0) =−be⁻^λ^b− 1

λe⁻^λ^b+ 1 λ

(99)

0

xf(x)dx =G(b)−G(0) =−be⁻^λ^b− 1

λe⁻^λ^b+ 1 λ

=. . . .

(100)

0

xf(x)dx =G(b)−G(0) =−be⁻^λ^b− 1

λe⁻^λ^b+ 1 λ

= 1 λ

−λbe⁻^λ^b−e⁻^λ^b+1

(101)

0

xf(x)dx =G(b)−G(0) =−be⁻^λ^b− 1

λe⁻^λ^b+ 1 λ

= 1 λ

b→+∞lim e⁻^λ^b=. . .;

(102)

0

xf(x)dx =G(b)−G(0) =−be⁻^λ^b− 1

λe⁻^λ^b+ 1 λ

= 1 λ

b→+∞lim e⁻^λ^b=0 ;

(103)

0

xf(x)dx =G(b)−G(0) =−be⁻^λ^b− 1

λe⁻^λ^b+ 1 λ

= 1 λ

b→+∞lim e⁻^λ^b=0 ; lim

X→−∞Xe^X=. . .

(104)

0

xf(x)dx =G(b)−G(0) =−be⁻^λ^b− 1

λe⁻^λ^b+ 1 λ

= 1 λ

X→−∞Xe^X=0

(105)

0

xf(x)dx =G(b)−G(0) =−be⁻^λ^b− 1

λe⁻^λ^b+ 1 λ

= 1 λ

X→−∞Xe^X=0 d’où, par composition :

b→+∞lim λbe⁻^λ^b=. . .

(106)

0

xf(x)dx =G(b)−G(0) =−be⁻^λ^b− 1

λe⁻^λ^b+ 1 λ

= 1 λ

b→+∞lim λbe⁻^λ^b=0.

(107)

0

xf(x)dx =G(b)−G(0) =−be⁻^λ^b− 1

λe⁻^λ^b+ 1 λ

= 1 λ

En conclusion

(108)

0

xf(x)dx =G(b)−G(0) =−be⁻^λ^b− 1

λe⁻^λ^b+ 1 λ

= 1 λ

En conclusion

E(T) = lim

b→+∞

Z b 0

xf(x)dx = 1 λ

(109)

0

xf(x)dx =G(b)−G(0) =−be⁻^λ^b− 1

λe⁻^λ^b+ 1 λ

= 1 λ

En conclusion