Fonctions aléatoires presque sûrement continues sur un intervalle fermé

A NNALES DE L ’I. H. P., SECTION B

J EAN D ELPORTE

Fonctions aléatoires presque sûrement continues sur un intervalle fermé

Annales de l’I. H. P., section B, tome 1, n

^o

2 (1964), p. 111-215

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Fonctions aléatoires presque sûrement continues

sur un

intervalle fermé

Jean

^DELPORTE

., ^{_ _}

(Faculté

Libre des Sciences de Lille et Institut

Supérieur d’Électronique

^du

Nord).

Vol. I, ^No

2, 1964,

p. 111-215. Calcul des Probabilités ^et

Statistique.

SOMMAIRE. -

Étude générale

^{de la} construction de fonctions aléatoires normales presque sûrement continues définies _{par leur} covariance. En

préliminaire,

^examen détaillé des fonctions continues sur l’ensemble

dya- dique D

^de

[0, 1]

^et de l’extension de ces fonctions sous la forme de fonc- tions continues sur

[0, 1]

par la méthode de la base de Schauder.

Généralisation à tous les espaces de Banach du critère de convergence forte presque sûre des séries de variables aléatoires

indépendantes

^de

A. N.

Kolmogoroff.

Définition de deux méthodes de construction des fonctions aléatoires normales continues et conditions suffisantes formulées en termes de module de continuité de leur covariance.

ABSTRACT. - The

topics

of this paper is

essentially

^the construction of almost

surely

continuous

gaussian

random functions defined

by

^their

covariance. We start

by

^a detailed consideration of functions continuous

on the

dyadic

^{set D of}

[0,1]

^{and the} extension of this function to a continuous function _upon

[0, 1] by

Schauder’s basis method.

Then,

^we

generalize

^the

Kolmogoroff’s

^{criterion of almost sure conver-}

gence of series of

independent

^{random variables to} all Banach _spaces.

We define then two methods of construction of

gaussian

^continuous

functions and

give

suflicient conditions in terms of the modulus

of continuity

of their covariance.

ANN. INST. POINCARÉ, ^{B- I -2 8}

111

CHAPITRE PREMIER

PROPRIÉTÉS

DES ESPACES DE BANACH

A BASE

MONOTONE

Dans ce

chapitre,

^nous

rappelons

^{d’abord au}

paragraphe

^1.1

quelques généralités

^{relatives aux} espaces de

Banach ;

^les

paragraphes

^{1.2 et 1.3}

sont consacrés aux notions de base dénombrable et de base monotone ; le

paragraphe

1.4 établit

quelques propriétés

des espaces de Banach à base monotone,

propriétés qui

^{seront utilisées au}

chapitre

^suivant.

1.1 Généralités relatives ^aux espaces de Banach.

Un espace vectoriel normé est dit espace de Banach s’il est

complet

pour la

topologie

induite par ^sa norme ; ^une fonctionnelle linéaire x*

est alors une

application

^{linéaire bornée} de X dans le corps K de définition et l’ensemble 3C* des fonctionnelles linéaires définies sur 3C constitue un

nouvel _{espace de} Banach dit espace dual de GC.

S. Banach

([1],

p.

55)

^a

prouvé qu’à

^{tout X E}

^3C, correspond

^{une fonction-}

nelle linéaire

xX

^{de norme}

^1,

telle que

X~);

^nous utiliserons

ce résultat au

chapitre

^III.

Nous supposerons ^connues dans tout ce

qui

^suit les notions de convergence forte et de convergence faible ainsi _que la notion

d’espace produit

^d’un

ensemble fini ou dénombrable

d’espaces

^{de Banach.}

+00

En

particulier

^{si l’on}

désigne par 3C = Il Xi ^{l’espace produit}

^d’une

i=1

infinité dénombrable

d’espaces

^{de Banach et} par

3C(/p)

l’ensemble des élé- ments de 3C tels _que

on vérifie facilement _que

3C(~) ^possède

lui-même la structure

d’espace

^de

Banach,

^{sa norme étant} définie par :

(1 ) !(

^xn

Il

(n)

désignant

^{la norme} de xn dans

l’espace

^3C~.

1.2

Espaces

^{de Banach à} base de Schauder.

DÉFINITION. ^- Un _espace de Banach X est dit à base de Schauder

([1],

p.

110-114, [10],

p.

67),

^{s’il existe une suite}

{ en ~

d’éléments de

X,

^telle que, à tout x ~ X

corresponde

^{une suite}

unique

d’éléments du _corps K de

définition (RouC) :

telle _que,

posant

^{xn =} ~1e1

+ ’YJ

^{2e2 ...}

+

^{la suite} xn converge

fortement

vers x.

Un tel espace ^est

toujours séparable,

c’est-à-dire

qu’il

^{existe une suite}

d’éléments de

3C,

dense dans X.

Les

exemples

^les

plus

^connus

d’espaces

de Banach à base de Schauder sont les suivants

([1],

p.

110-114, [10],

p.

67) :

1°

l’espace

^lp

(/? ~ 1)

^des suites de nombres réels

(ou complexes)

^de

p-ème puissance sommable;

2°

l’espace (c)

des suites

convergentes

^et

l’espace (co)

des suites

convergeant

vers

zéro,

^sous espaces fermés de

l’espace

^{de Banach}

(m)

^{des suites}

bornées;

3°

l’espace C[0, 1]

des fonctions continues sur

[0, 1]

^{et à} valeurs dans

R,

espace

complet

pour la ^norme de la convergence uniforme. Nous verrons au

paragraphe

2.3 que ^cet espace ^est

isomorphe isométriquement

^{à un}

sous-espace fermé de

(m).

1.3

Espaces

^{de Banach à base monotone.}

DÉFINITION.

- Étant

donné un espace de Banach à base de Schauder

(en),

cette base est dite monotone

(M.

^M.

Day [10],

p.

67),

si pour ^{tout x}

Il

^xn

Il

^{croît avec n ;}

xn

désignant

^{le vecteur} ~1e1 + ^... + ~nen

défini

^au

paragraphe précédent.

On vérifie facilement que c’est le ^cas pour les

exemples signalés ci-dessus,

notamment pour

C [0, 1] ]

^{comme on le} démontrera au

chapitre

^II.

1.4

Propriétés fondamentales

des

espaces

de Banach à base

monotone.

PROPOSITION 1.4.1.

- Étant

donné un espace de Banach

~,

^{à base mono-}

+00

tone

(en)

^{et une}

suite { ~n }

^de

scalaires,

pour que la série

03A3~nen

^converge

n=1

fortement vers un élément x E

X,

^il

faut

^{et il}

suffit

que, étant donné une suite croissante

quelconque

^{nt, n2 ... nk ... d’entiers}

positifs,

^{tendant vers}

l’infini,

^la sous-suite de sommes

partielles

xnl, xn~ ^...

xnk

^{... converge}

forte-

men t.

La condition est évidemment

nécessaire ;

^{elle est} suffisante : en

effet,

à deux entiers

positifs quelconques

^{m et n}

tels

que ^m &#x3E; n, il est

toujours possible

^{de faire}

correspondre

^{deux éléments nk} et nk+h de la

suite,

^tels que :

nk ⁿ nk+h ^m nk+h+1.

Il en résulte _{que :}

La base

(en)

^étant

^monotone,

^{on est donc en droit d’écrire}

l’inégalité

d’où

ce

qui

^{assure la} conclusion.

Nous en déduisons la seconde

proposition

^suivante.

PROPOSITION 1.4.2.

désign.e

^un espace de Banach à base monotone

f en ~

^et

f

^{une suite de nombres réels}

(resp. complexes),

pour que la série

+00

converge

fortement

^{vers un élément x E}

:X:,

^il

faut

^{et il}

suffit qu’il

^existe

n=1

une suite d’entiers

positifs

^{nl, n 2 ... nk ...,}

^tendant

^{en croissant vers}

l’infini,

+00

lorsque

^{k tend en croissant vers}

l’infini,

^telle que

2: Il ^{xnk - Il +}

⁰⁰

k=1

(où

conventionnellement nous posons no ⁼

0,

xo ⁼

0).

Il résulte de la

proposition

1.4.1 que ^cette condition est

suffisante;

montrons

qu’elle

^est nécessaire. Soit x un élément

quelconque

par

n

hypothèse"

^x

Il

^{--* 0}

quand

^{n -~}

⁺

^{00 où xn =}

~; ej .

Il existe donc

un entier nk tel que :

,

La

suite ~ nk ~

ainsi déterminée ^est non

décroissante;

^on

peut

^d’ailleurs

la

remplacer

par ^une suite strictement croissante

ni

^en

posant :

La base

(en)

^{étant monotone, on aura donc :}

Si l’on se fixe la

suite { nk ~

^définie

ci-dessus,

^{on en déduit une condition}

suffisante de convergence forte.

Remarquant

alors que ^... définit un vecteur de

l’espace

à nk+1 - nk dimensions ^et que la

quantité Il Il

constitue une norme pour ^ce vecteur, ^on déduit de la remarque finale du

paragraphe

1.1 relative aux

produits

^infinis

d’espaces

^{de Banach la propo-}

sition suivante.

PROPOSITION 1.4.3. ^- 1 °

Si,

étant donné une

suite ~ nk ~

^croissante

d’entiers

positifs,

^{telle que nk - + 00}

lorsque

^{k - + 00,} la sous-suite

{ xnk }

de sommes

partielles

^est telle que :

-t- ao

alors la convergence

forte

^{de la série est assurée.}

n=i

2~ De

plus,

l’ensemble des x E I

vérifiant

^la

propriété (1.4.

^{3 .}

.1)

pour

une suite

{ nk ~ , fixée,

^{constitue un espace de Banach}

A(nk)

^{de norme}

définie

par :

(2)

^On peut d’ailleurs

remplacer

dans l’énoncé de 14.2 la condition :

+00

par la condition

plus

restrictive

I) ^~~r

^{+ 00}

^{(r 1).}

^{Ce résultat}

k=1 sera utilisé au

chapitre

III, § 3.3.

Remarque

^{1. Il en} résulte de cette dernière

inégalité

^et du fait que OC et

A(nk)

constituent des espaces de Banach pour les

normes Il x Il

^et

Il

^x

respectivement,

que la convergence

forte

^{au sens de}

A(nk) implique

la convergence

forte

^{au sens} de ~. Cette remarque ^sera utilisée aux

chapitres

^V

et VI.

Remarque

^{2. Si l’on se donne deux}

suites { et { nk ~

dont l’une est à croissance

plus rapide

que

l’autre,

il semble intuitif que le critère

(1.4.3.1)

donnera une condition moins restrictive pour celle des suites dont la crois-

sance est la

plus rapide.

Cette remarque

peut

^être

précisée

^{comme suit.}

THÉORÈME 1.4.4. 1°

Étant

donné deux

suites { nk ~ et {

^nk

},

^{si à}

partir

d’un certain rang, ^{on a} constamment :

2° Si l’on a, à

partir

^d’un certain rang :

Dans la

première hypothèse,

^on

peut

^écrire

l’inégalité :

Une

inégalité analogue

^{est valable en}

échangeant

les rôles des deux

suites ; l’équivalence

^{annoncée en résulte.}

Dans la seconde

hypothèse,

^on

peut reprendre l’inégalité

^{ci-dessus et en}

déduire

plus généralement

^{que :}

d’où résulte que

A(nk)

^c

(3).

(3)

^Notons

qu’il s’agit

là d’une relation d’inclusion ^{au sens}

large :

^{on vérifie}

par

exemple

facilement que les deux critères :

sont

équivalents (r désignant

^{un entier ~}

1).

CHAPITRE II

ÉTUDE

DE L’ESPACE DE BANACH

Co[0, 1] ]

2.0 Introduction. Résultats

généraux

^{et notations.}

2.0.1 Nous nous proposons dans ^ce

chapitre

de donner des conditions suffisantes _pour

qu’une

fonction définie sur un sous-ensemble dense de

[0, 1 ]

y soit uniformément

continue;

^{cette fonction} pourra alors être

prolongée

d’une manière et d’une seule en une fonction uniformément continue

sur

[0, 1].

Pour réaliser cette

extension,

^nous utiliserons un théorème de J. Schau- der

[57]

^selon

lequel

^toute fonction continue sur

[0, 1]

^{est la somme d’une}

série uniformément

convergente

^{de fonctions continues sur}

[0, 1],

^ces

fonctions constituant une base monotone de

l’espace

^{de Banach}

Co[0, 1].

Les

propriétés

^{de cette série ont} été étudiées par J.

Kampé

^de

F[6f]) [40] [42]) qui

^{a donné des} conditions suffisantes de convergence uniforme de cette

série;

^{nous nous} proposons d’étendre ces conditions sous forme d’un critère

général.

Nous nous

limiterons,

^sans restreindre la

généralité (1),

^{à l’étude de}

l’espace

de Banach

Co [0, 1] des

^{fonctions continues sur}

[0, 1 ],

^à valeurs nulles en 0 et

1,

espace normé à l’aide de la ^norme de la convergence uniforme :

sup |x(t) ( .

Le

paragraphe

^2.1

rappelle

^la démonstration de J.

Schauder ;

le para-

graphe

^{2 . 2 est} consacré à la démonstration de

quelques lemmes,

^ce

qui

^nous

permet

^au

paragraphe

2.3 d’établir

l’équivalence

des conditions de conti- nuité uniforme sur D et de convergence uniforme de la série de Schauder

et de donner des conditions suffisantes

générales

^de continuité uniforme

sur

2);

^le

paragraphe

^{2.4 est} consacré à la recherche de

majorations

^du

module de continuité.

Les résultats essentiels de ce

chapitre

^{sont ceux du}

paragraphe 2.3;

ils seront utilisés au

chapitre

^V pour la construction de fonctions aléatoires continues.

(1)

^{A toute} fonction x E

C[0, 1] correspond

^{une et une seule fonction} xi ^E

Co[0, 1] ]

définie _par

Xl(t)

⁼

x(t ) - tx(l) - (1

^-

t)x(O),

^ce

qui

permet d’étendre les résul- tats obtenus à

C [0, 1] et

C [a, b].

JEAN DELPORTE

2.0.2

Rappel

^{des notations relatives à} l’ensemble

dyadique.

Nous

désignerons (voir

^J.

Kampé

de Fériet

[40],

p.

142-144)

par

Nq (q

^entier

positif)

l’ensemble des entiers n tels que

2q-1 n

2q.

A tout entier n

correspond

^{alors un et un seul}

couple

^d’entiers

(pn, qn)

tels que n ⁼

2qn-l

+ pn.

Désignant

l’intervalle

[0, 1 [

par

Ji,

^nous considérerons la suite d’inter- valles semi-ouverts

Ji, J2

^...

Jn

^... définis par :

L’ensemble des

Jn

tels que n ^E

Nq

constitue la

partition dyadique

^d’ordre q de

J 1;

^{on vérifie} facilement _{que :}

Le n-ème

point dyadique ln

⁼

--.2014

^{sera milieu de} l’intervalle

Jn

^et

l’ensemble dénombrable dense de

[0, 1]

constitue l’ensemble des

points dyadiques

^{ou ensemble}

dyadique.

Pour tout

point t

^E

[0, 1 ],

^{il existe un}

développement dyadique unique :

l’unicité étant vérifiée si l’on convient de choisir le

développement

^fini

pour ^{tout t}

E ~ ;

^{alors t}

appartient

^{à un} intervalle déterminé

Jnq

^{de la sub-}

division

dyadique d’ordre q

^{et il est}

possible

^d’écrire

Plus

généralement,

^si

désigne

^{une suite} croissante

quelconque

d’entiers

positifs,

^{tendant vers l’infini}

lorsque

^{k tend vers}

^l’infini,

^{on voit}

(2)

^Pour

simplifier

^les notations, ^{nous noterons}

désormais p

et q ^{au lieu de} pn et qn étant entendu

qu’il s’agit

^{là des}

quantités correspondant

^{à l’entier n.}

facilement en

regroupant

^{les termes de}

(2.0.2. A) qu’à

^tout

point

^{t E}

[0, 1]

correspond

^un

développement unique :

(nous

^poserons

conventionnellement

qo ⁼

0).

2.0.3 Fonctions

triangulaires.

Définissons alors la suite de fonctions

triangulaires { en(t) ~

^{par :}

^en(t)

^{= 0}

si

t ~ Jn ; en(t)

⁼

2q(t

^{- p}

21-q)

^{si t E}

^{J2n ;} en(t)

^{= 2q}

[(p + 1)

^{21-q -}

t]

si t ^E

J2n+l.

On vérifie facilement que

en(t)

&#x3E; 0 et que

en(t)

^E

Co[0, 1] ; en(t;)

⁼

8n~

^pour

1

j

ⁿ

(où 8n~ désigne

^le

symbole

^de

Kronecker).

^{La courbe}

repré-

sentative de

en(t)

^se compose de deux

segments

de l’axe Ot ^et d’un

triangle

^{isocèle de sommet}

(tn, 1)

^{et de base}

^Jn.

^{Nous allons rétablir}

dans le

paragraphe

2.1 la preuve du

fait

^{que les}

fonctions en(t)

constituent

une base monotone de

l’espace Co[0, 1].

2.1 Le

développement

^{de toute fonction}

appartenant

^à

Co[O,l] ]

en série de fonctions

triangulaires (3) (voir

^{J. Schauder}

[57], Ljus-

ternik et Sobolev

[50],

^p.

^149-151,

^J.

Kampé

^{de Fériet}

[40],

p.

142-146,

Mahlon M.

Day [10],

^p.

60-211).

J. Schauder a démontré la

proposition

^{suivante :}

PROPOSITION 2.1.1.1. ^- La suite

~en ~

⁼⁼

{ en(t)}

^{constitue une base}

pour

l’espace

^{de Banach}

Co[0, 1],

^{la suite de} constantes

qui correspond biunivoquement

^{à tout}

point

^{x =}

x(t)

^E

Co[0, 1]

^étant

définie

par :

Une démonstration détaillée de ^ce théorème a été donnée _{par J.}

Kampé

de Fériet

( [40],

p.

145-146) ;

^{nous nous bornons ici à}

reproduire

^{les lem-}

mes 7 .1 à 7. 5 de ^son mémoire

qui

constituent la preuve de ^ce théorème.

(3)

^{Comme le note J.}

Kampé

^de

Fériet,

^{l’idée de ce}

développement

^{se trouve}

déjà

dans E. Borel

[6]

^{mais en} dehors des références

citées,

^{le résultat}

signalé

ne semble _pas avoir retenu l’attention des

analystes;

d’une manière assez curieuse,

cette méthode semble

plutôt

avoir été utilisée par les

probabilistes (par

^{ex. E. Slut-}

sky [59],

p. 190-195 et P. Lévy [47], p.

8).

LEMME 7. 1 . ^-

Quelles

que soient les constantes la courbe

est une

ligne polygonale Pn

ayant

(n

⁺

1)

^{côtés dont les} sommets ont pour abscisses

0, 1 ,

t1 ^... tn ^et pour ordonnées :

LEMME 7.2. ^-

Quelles

que soient les constantes les

lignes polygonales Pn-l

^et

Pn

^{ont en commun les sommets} d’abscisses

0, 1,

^..., tn _ 1 ; ^on passe de

Pn - 1

^à

Pn

^en

remplaçant

le côté AB de

Pn - 1 qui

^se

projette

^selon

Jn

par ^un

triangle

^{ABC dont le sommet C a pour abscisse} tn milieu de

Jn ;

~n

repré-

sente la

différence

d’ordonnées entre le sommet C de

Pn

^et le milieu C’ du côté AB de

Pn-l.

LEMME 7. 3. ^-

Quelles

que soient les constantes pour ^{tout t} la série:

se réduit à ^un nombre

fini

de termes ; ^{sa somme}

S(t)

^est

toujours définie

sur l’ensemble

dyadique ~

^et

S(tn)

⁼

xn(tn)

⁼

Xn+k(tn) k &#x3E;

0.

LEMME 7.4. Les constantes ne

dépendant

que des valeurs de

x(t)

sur l’ensemble

dyadique :D,

^{à deux}

fonctions,

telles que :

x(t)

⁼

y(t)

pour

tout t

correspond

^{une même suite de} constantes rn.

LEMME 7. 5. Si les constantes sont

définies

par

(2.1.1.1),

^{on a,}

quelle

que soit la

fonction

^réelle

x(t) :

les n + ²

points x(0) x(1)

^...

x(tn)

coïncidant avec les sommets de la

ligne polygonale ^Pn,

^{on a donc}

^x(t)

⁼

^S(t)

^{pour tout t E:D.}

La convergence uniforme de la série vers

x(t)

pour ^tout

x(t)

^E

Co[0, 1]

découle alors du fait que la distance entre un côté de la

ligne polygonale ^Pn

et la courbe tend uniformément ^vers

zéro,

^ce

qui

^{est évident en vertu de la}

continuité de

x(t).

Ce résultat sera

précisé

^au

paragraphe

^{2. 3 en}

explicitant

la condition de continuité uniforme sur D.

Il résulte

également

des lemmes 7.1 à 7.5 _que

Pn ayant

pour ^sommets les

points

de coordonnées

(tj, x(t;))

^{pour 1}

j n :

Cette norme croît donc avec l’entier n et l’on a :

On a ainsi redémontré le résultat connu suivant

(Mahlon

^M.

Day [10],

p.

69).

THÉORÈME 2.1.1.2. - Les

fonctions en(t)

constituent une base monotone de

l’espace

^{de Banach}

Co [o, 1 ].

2.1.2

Conséquences

du caractère monotone de la base

en(t).

COROLLAIRE 2 .1. 2 .1. ^-

L’espace

de Banach

Co [o, 1] ]

^est

isomorphe isométriquement

^{à un} sous-espace

fermé

^de

l’espace (m)

^{des suites bornées.}

Soit

x(t)

^un élément de

Co [o, 1 ] ;

considérons la suite des valeurs de cette fonction sur :D.

x(tl), x(t2),

^...

x(tn)

... ; ^cette suite est bornée et l’on ^{a :}

Le vecteur ainsi défini

appartient

^{donc à}

l’espace (m) ; donc,

^{à toute fonction}

continue

correspond

^{un vecteur de}

l’espace (m) ayant

^même norme ; la ^cor-

respondance

^{est linéaire et conserve la norme ;}

Co [0, 1] étant

^{fermé corres-}

pond

^donc

biunivoquement

^{à un} certain sous-espace fermé de

(m).

^{La condi-}

tion pour

qu’un

^{vecteur de}

(m) appartienne

^{à ce} sous-espace n’est ^autre que la condition de continuité uniforme sur 2)

(4) qui

^{sera définie}

plus

^loin.

Nous pouvons

appliquer

^sans

changement

^{toutes les}

propriétés

^des

espaces de Banach à base monotone démontrées au

chapitre précédent.

Nous allons introduire dans ce but

quelques

^notations.

Reprenant

d’abord les notations de J..

Kampé

^{de Fériet}

([40],

p.

150)

nous

désignons

par

Bq

^la

quantité :

(4)

^{Nous avions}

déjà prouvé

^ce résultat dans notre Note

[12] ;

de même si l’on considère une fonction

x(t )

^E C[0, 1 ], ^{sa norme est définie}

par x =

sup

[1 ~-(0) ~

^,

~(1) ~,

^,

... ~ 1

... ] ^et le résultat

précédent s’applique.

Soit alors :

il résulte de 2.1.1.2 que :

Nous _pouvons énoncer le théorème suivant :

THÉORÈME 2.1.2.2. La condition nécessaire et

suffisante

^de convergence

uniforme

de la série de Schauder est donnée _{par :}

Ce théorème est une

conséquence

^{immédiate de la}

proposition

^1.4.1

établie au

chapitre précédent ;

^{il en découle en} effet que la condition néces- saire et suffisante de convergence forte de la série de Schauder n’est rien d’autre _que la convergence uniforme de la sous-suite

xi(t), x3(t),

^{... ...,}

d’où

(2.1.2.2).

Remarque

^1.

L’avantage

^{de ce résultat est}

évident ;

^il

permet

^{de ne consi-} dérer _que les

lignes polygonales

^{au lieu des}

lignes Pn(t)

^ce

qui permet

de _passer successivement d’une subdivision à l’autre et donne une forme

plus simple

^aux conditions de convergence uniforme.

Remarque

^{2. On}

peut

^{même aller}

plus

^{loin en utilisant cette} propo- sition 1.4.1 : il est inutile

d’envisager

les subdivisions une par ^une. Si qi q2 ^... qk ^...

désigne

^une suite croissante d’entiers

positifs,

^tendant

vers l’infini

lorsque k

^{tend vers}

l’infini,

^{il faut et} il suffit que la suite de

lignes polygonales correspondant

^aux subdivisions d’ordre _{qi q2} ^... _qk, converge

uniformément,

^{soit :}

Ceci nous

suggère

^la

possibilité

d’utiliser

également

^la

proposition

^1.4.2.

Pour

ceci,

introduisons un nouveau

symbole :

qi q2 ^... qk ^...

désignant

une suite définie comme

ci-dessus,

posons :

Nous pouvons alors énoncer le théorème suivant

qui

^{est une}

conséquence

immédiate de 1.4.2 et 1.4.3.

THÉORÈME 2 . 1 2 . 3. - 10 Si la suite de constantes est telle que :

alors la série de Schauder _converge

uniformément.

2°

Réciproquement

^{à tout XE}

Co[O, 1] correspond

nécessairement ^une suite ql q2 ^... qk ^... croissant vers + ~, telle que la série

(2.1.2 . 3)

converge.

3°

Étant

donné une suite ql q2 ^... qk ^...

fixée,

l’ensemble des

x(t)

^E

Co[O, 1]

vérifiant

^{la condition}

(2.1.2.3)

^{constitue un} sous-espace de

Co[O, 1];

^ce

sous-espace

A(qk)

constitue lui-même un espace de Banach si l’on _y

définit

la norme par :

COROLLAIRE 2.1.2.4

(J. Kampé

^{de Fériet}

[40],

p.

151). Étant

^donné

+00

une suite de constantes ~n telles _que

Bq ⁺

^{ce alors la série de Schauder}

q=l

converge absolument et

uni,f’ormément.

Il résulte en effet des

propriétés

^{des fonctions}

en(t)

que pour ^{n E}

Nq

^une

seule des fonctions

en(t)

^{est non} nulle donc :

d’où la convergence absolue et uniforme de la série de Schauder.

Remarque.

^{La base}

en(t)

^étant monotone, ^nous pouvons écrire l’iné-

galité

2.2 Notations nouvelles et lemmes auxiliaires.

2.2.1 Nous reprenons d’abord les notations et méthodes de J.

Kampé

de

Fériet; désignons

par :

(5)

^{Si k =} 0, ^nous posons qo ⁼ 0, xo ⁼

0,

^d’où

BQo ^{= Il.}

JEAN DELPORTE

s

Nous

rappelons

d’abord les relations et

inégalités

^suivantes

(J. Kampé

de Fériet

[40],

p.

147).

d’où résultent les

inégalités.

On en déduit le lemme suivant : LEMME 2 . 2 .1.

1 ~ Les conditions

Aq -

^{0 et}

Bq -~

^{0 sont}

équivalentes.

+00

2° Les conditions

Aq ⁺

^{00 et}

Bq ⁺

^{00 sont}

équivalentes.

q=l q=1

Le

premier point

^{est une}

conséquence

^{immédiate de}

(2.2.1.2), (2.2.1.4)

et du lemme de

Toeplitz (M.

^Loève

[51],

^p.

238).

Le 2~ résulte de 2.2.1.5.

2.2.2 Si

x(t) désigne

^{une fonction définie sur}

D,

^{nulle en 0 et}

1,

^dési-

gnons par

Aq,h

^la

quantité

où p

^{et 1 sont des} entiers tels _{que :}

Bq,h désignant

^la

quantité

^{définie en} 2.1.2.1 soit :

(6)

On remarquera

qu’avec

^{les notations}

précédentes,

^{on a = et}

=

Aq,o.

nous prouvons les lemmes suivants :

Le

principe général

de la démonstration sera le suivant : à chacun des

points t; appartenant

^{à une} subdivision d’ordre

compris

^entre

q + 1

^et q

+ h,

donc de la

forme p 2q + l 2q+h,

^nous pouvons associer deux

points t; et t"j

appartenant

^{à des} subdivisions d’ordre inférieur ou

égal

^à q, tels que :

Si

A, B,

^C

désignent respectivement

^{sur la}

ligne polygonale

d’ordre 2q - 1 les

points

d’abscisses

t;, t; ^{et t;,}

nous avons :

le

point

^{C étant en outre situé sur le}

segment AB,

nous avons

l’inégalité

suivante :

La preuve de la

première inégalité

^{est alors}

simple

^{car :}

Remarquant

^{que :}

Aq,h,

^{il vient donc :}

Bq,h 2Aq,h,

^{soit la}

première inégalité.

Pour prouver le second

lemme,

^nous pouvons poser :

De

l’inégalité :

on déduit en

passant

^{aux bornes}

supérieures : A Bq,h

⁺

Aq+i

^ce

qui

^{établit la seconde}

inégalité.

Le troisième lemme en résulte : la

première inégalité

^montre que :

JEAN DELPORTE

pour établir la

réciproque,

il suffit d’utiliser

(2.1.2.4)

^{et les lemmes 2.2.1 ]}

et 2 . 2 . 2 . B :

l’inégalité (2 .1. 2 . 4)

^montre que :

d’où lim

Aq + 1=

⁰

(lemme

^{2 . 2 .}

1)

^et la conclusion en découle.

q~ + 00

2 . 2 . 3 Les résultats

précédents joints

^{à ceux} du théorème 2 .1. 2 . 3 mon- trent

qu’il

^n’est nullement nécessaire de considérer les subdivisions

dyadiques

une à une; ^on

peut

^{se borner à en examiner une} sous-suite _qi ^... _qk ^...

croissant vers + ^{oo et} la condition :

Cette

analogie

^nous amène à essayer de reformuler le théorème 2.1.2.3

en termes

analogues

^{à ceux donnés ci-dessus.}

Les

quantités

^{définies dans ce} théorème sont, ^en

effet,

^des combinaisons linéaires de différences secondes

portant

^sur les valeurs de

x(t) sur ~ ;

nous allons

plutôt

^faire intervenir les différences

premières plus

^maniables.

qi q2 ^... qk ^...

désignant

^une suite définie comme en

2.1.2,

posons :

où p

^et 1 entiers tels que :

Nous nous proposons d’établir le lemme fondamental suivant : LEMME 2.2.3. - Les conditions :

sont

équivalentes.

Ce résultat découle immédiatement des trois lemmes suivants que ^nous allons établir :

Le lemme 2 . 2 . 3 . A ^est une

simple transposition

^de 2 . 2 . 2 .

A;

^{le second}

est un peu

plus complexe.

Le

premier

^{résultat est} aisé à prouver ^{car :}

et :

d’après

^les

propriétés déjà

^{vues des}

lignes polygonales Pn.

Pour prouver la seconde

inégalité,

^nous posons pour

simplifier

les notations

Étant

donné les définitions

de t’k

^et

t;,

^nous obtenons donc :

car, t’k et tk

^E

^D,

^{les termes d’ordre}

^supérieur

^{à k}

disparaissent

dans le déve-

loppement

^{en série} de Schauder.

Il vient donc

l’inégalité :

Le dernier terme étant

majoré

par

Bqk,

^{il nous suffit de}

^majorer

^{la somme}

restante.

Or,

^{sur la}

ligne polygonale représentant et tk

^{sont sur un même}

segment

^{de droite} d’extrémités

~~

^et

T~

^{avec :}

d’où résulte

l’inégalité :

soit: ^o

ANN. INST. POINCARÉ, B-I-2

JEAN DELPORTE

Sommant toutes ces

inégalités,

^nous obtenons ainsi le résultat annoncé.

Nous _prouvons maintenant le troisième lemme.

L’inégalité

^de

gauche

^est

évidente;

^de

plus,

^la

suite ~ qk ~

étant croissante est telle _que + ^{1 d’où}

qk + r &#x3E; qk

+ ^r.

Sommant les

inégalités

^{du lemme}

2 . 2. 3 . B,

^{il vient :}

le coefficient de

BQk

^{est alors}

^{maj oré}

^{par :}

L’utilisation de la sous-suite _qk = k

permet

^{de retrouver le résultat} du lemme

2 . 2 .1;

^nous y avions

désigné

par :

d’après

les notations

précédentes,

^{nous serons amenés à}

désigner

par

A~

la

quantité :

il est donc

possible

^d’écrire

l’inégalité :

Ceci _prouve

qu’il s’agit

^{là d’un}

simple changement

^{de notations}

qui

^ne

modifie en rien la force du critère.

2.3 Conditions

de continuité uniforme sur l’ensemble

dyadique.

Les résultats

qui précèdent

^nous

permettent

maintenant de caractériser la continuité uniforme sur l’ensemble

dyadique

^{D. Si cette} condition est

vérifiée,

^le

développement

^{en série de Schauder nous} fournira la méthode d’extension à

[0,1]

^{de la} fonction uniformément continue ainsi définie sur D.

2.3.1

Équivalence

^des conditions de continuité

uniforme

^{sur et de}

la convergence

uniforme

^de la série de Schauder.

PROPOSITION 2 . 3 .1. 2014 1~ Pour que la série de Schauder _converge

unifor- mément,

^il

faut

^{et il}

suffit

que : lim

Bq,h

^{= 0.}

q ^et h-~+ ⁰⁰

2° Cette condition

équivaut

^{à : lim}

Aq,h

⁼

^0,

c’est-à-dire à la conti- nuité

uniforme

^de

x(t)

^sur

(7).

Le

premier point

^{a été}

prouvé

^au théorème 2.1.2.2 et

l’équivalence

^des

deux conditions résulte du lemme 2 . 2 . 2 . C. Il nous suffit de montrer que la condition lim

Aq,h

^{= 0 n’est autre que la} condition nécessaire et suffi- sante de continuité uniforme sur D.

Le fait

qu’elle

soit nécessaire est

évident;

^de

plus,

la condition

implique qu’il

^existe

q(s)

^tel

que q &#x3E; q(s) =&#x3E; Aq,h

^{s pour tout h. Soit alors deux}

points dyadiques quelconques t; et tl

^{tels que :}

Il est alors

possible

d’insérer deux

points dyadiques T~

^et

~, appartenant

à des subdivisions d’ordre inférieur ou

égal

à q, tels _{que :}

un calcul élémentaire montre

que x (t~ ~

^-

x (tj) 1 ^~3 Aq,h

^ce

qui

^{assure la}

conclusion.

J.

Kampé

^{de Fériet}

[42]

avait donné une autre forme à la condition de continuité

uniforme : choisissant

sur

[0,1]

^deux

points 2q p + h

^et

-~2014

^tels

que 0

~ 2014 # 2Q

^{il avait montré}

^{qu’en posant :}

la condition de continuité uniforme sur D

s’exprimait

par lim ⁼ 0.

q et h- + 00

’

(7)

^La

première

^forme

explicite

^{de cette} condition semble avoir été donnée _par T. Broden

[7],

p. 1 à 5.

JEAN DELPORTE

On vérifie facilement _que

Aq,h Aq,h

³

Aq,h (8),

^ce

qui

^montre

l’équi..

valence des

procédés ;

^nous

préférons

^toutefois

employer

^la

quantité Aq,h plus

^{maniable et utilisant un nombre de termes} moins élevé.

Le

paragraphe qui

^{va suivre va nous} donner des conditions d’un manie-

ment encore

plus

^aisé.

2. 3 2 Autres

formes

des conditions de continuité

uniforme

^{sur ~.}

Réunissant les résultats du théorème 2.1.2.3 et du lemme

2.2.3,

^nous obtenons les

propositions

suivantes :

PROPOSITION 2.3 2 . A.

Étant

donné une

fonction x(t) définie

^{sur l’en-}

semble D _{pour que} cette

fonction

^soit

uniformément

^{continue sur l’ensemble}

dyadique ~,

^il

faut

^{et il}

suffit qu’il

^{existe une suite d’entiers}

positifs f qk },

croissante tendant vers

l’infini lorsque

^{k tend vers}

l’infini,

^telle que :

PROPOSITION 2 . 3 . 2 . B. - 10

Étant

donné une

fonction x(t) définie

^sur

~,

00

s’il existe une

suite ~ qk }

^telle que

+

^{00 alors la}

fonction

^est

k=o

uniformément

^{continue sur ~.}

2°

Étant

donné une

suite ~ qk ~ fixe définie

^comme

ci-dessus,

^l’ensemble

+00

des

x(t)

^E

Co[O, 1]

^telles que + ^{00 constitue un} espace de Banach

k=o

00 00

A(qk)

pour les deux normes

équivalentes

^et chacune de

k=o k=o

ces normes étant

supérieure

^{à la norme de la} convergence

uniforme.

L’équivalence

^{des deux normes résulte du lemme} 2 . 2 . 3 . C.

(8) L’inégalité

^de

gauche

^est

triviale ;

pour prouver

l’inégalité

^de

droite,

^on peut associer

à p 2q + h

^les

^{points t’j}

^et

^t"j

^{définis en} 2. 2 . 2. Il suffit alors d’examiner les deux éventualités :

t’j

^p

p’

^{+ 1 2q+h}

t "j

et

t .

⁺

1

(9)

^{Comme on l’a vu au}

chapitre premier,

il serait

possible

^de

remplacer

ce 00

03A3 A’qk(respectivement B’qk)

^par

2: ^Aqkr (respectivement

^{où r 1 . Nous}

k=o k=o

utiliserons ce résultat au

chapitre

V, § ^5.2.

Remarque

^{1. Les suites}

{ qk ~

^choisies dans l’énoncé du critère 2 . 3 . 2 . B

peuvent

^{être très}

variées ;

^{nous avons} utilisé dans une note antérieure

[15]

la suite _qk ⁼

kr ;

^{comme on le verra aux}

chapitres

^{V et}

VI,

^{la suite} qk ⁼ 2k fournit les meilleurs résultats pour l’étude des fonctions aléatoires nor-

males

(10).

Les remarques

qui

^{mènent au} théorème 1.4.4

s’appliquent

^{ici sans}

changement;

^{si nous} considérons _par

exemple

les suites qk

= k, qk = kr,

qk ⁼

2k,

^{on aura} par ordre de

généralité

croissante :

Appartiendront

^au

premier

espace ^toutes les fonctions

lipschitziennes

d’ordre ce et

plus généralement

^toutes les fonctions dont le module de conti- nuité est inférieur ou

égal

^à

A[1-~- ~ 1 log A IJ-l-e:.

^{Dans tous les cas, la conver-}

gence forte dans ces divers sous-espaces

implique,

^{comme on l’a} vu, la conver-

gence uniforme dans

Co[0, 1].

Remarque

^{2. - Si nous} comparons la méthode

précédente

^{avec celle}

définie _{par J.}

Kampé

^de

Fériet,

nous sommes amenés aux remarques sui- vantes.

Le

principe

de la méthode de J.

Kampé

^{de Fériet est} le suivant : si t

+00

désigne

^un

point

^non

dyadique

^{dont le}

développement

^{s’écrit t}

2q ’

q=1 q

alors

posant tq

⁼

2: ~,

^{t est} limite à droite de la suite

t ~

^{et limite à}

^gauche

j=1

de la

suite

^{Q définie}

par tq

^p

+ ~ .

oo

^{q 2Q}

Poser alors la condition + ^oo

équivaut

^à supposer que :

q=1

et : ^{o o}

(10) L’emploi

de sous-suites d’ordre

plus

élevé avait

déjà

été utilisé _par E. Slut-

sky ([59],

p.

191) qui

^en avait fait usage pour démontrer un théorème _que nous

étudierons au

chapitre

^V.

Toutefois,

l’auteur étudiait les fonctions aléatoires

en

général

et, ^{comme on le} verra, c’est dans l’étude des fonctions normales _que cette méthode trouve son

champ principal d’application.

JEAN DELPORTE

simultanément.

La valeur de

x(t)

^est donc obtenue comme limite

uniforme

simultanée des suites

x(tq _ 1)

^et

Notre méthode revient à écrire le

développement dyadique

^{de t sous la}

+00

forme t ⁼

1 k

_{comme il a été vu en}

2 . 0 . 2 ; posant :

k=1

nous avons montré

qu’étant

^{donné une fonction}

x(t)

^{continue sur}

D,

il existe

toujours

^{une suite telle} que :

simultanément. x(t)

^est donc obtenue d’une manière

plus générale

^comme

limite

uniforme

^{en t des suites et}

2.4

Majorations

du module de continuité.

Nous _pouvons déduire de la méthode

précédente,

^des

majorations

^du

module de

continuité, majorations

^{utilisées au}

chapitre

^V.

Les

propriétés

des fonctions

triangulaires

^{nous avaient}

permis

^{dans une}

note antérieure

[14]

^{de montrer} que :

nous reprenons ^cette étude par ^une méthode différente

qui

^nous

permettra

d’obtenir des résultats

plus précis.

On sait _que le module de continuité d’une fonction

x(t)

^{continue sur}

[a, b]

^{est défini} par :

c’est une

fonction

croissante de

h,

^{tendant vers zéro}

lorsque

^{h - 0. Soit}

cp(h)

^{une fonction non}

négative,

^non décroissante de h pour h suffisamment

petit,

^{tendant vers 0}

lorsque

^{h tend vers 0.}

Nous pouvons énoncer le théorème suivant :

THÉORÈME 2.4.

- Étant

donné une suite _{q1, q2} ... . qk ^{. . .} croissant vers

+

^{~. Si :}

Alors : _{1° pour h}

suffisamment petit : x(t

⁺

h) - x(t) 1 Ccp(h);

2°

plus précisément

^{si h ~ 0 : =}

o(cp(h)).

Supposons

^h

2qx 1

^{et soit t et s deux}

^points

^de

^{[o,1 J}

^tels

Deux éventualités sont alors

possibles :

Du

développement

^{s =}

⁺ 2 1 qk k + .+ 1 ⁺ 1k+2 2qk+2

^{... , nous déduisons}

l’inégalité

+~

1 ^x(s)

^- d’où résulte dans tous les cas

l’inégalité :

j=k ^-

en

remarquant

que

q(h) &#x3E; ç (1 2qj+1) V j &#x3E;

^k.

2 j+1

Si h ^-

0,

qk ^{- ce} et la convergence de la série

(2.4)

^montre que:

Si h reste

positif,

^nous pouvons écrire

l’inégalité :