TS La continuité des fonctions (2) (Fonctions continues et résolution d’équations)

(1)

1

TS La continuité des fonctions (2)

(Fonctions continues et résolution d’équations)

1 ROC

I. Introduction

1°) À propos des équations

La résolution des équations est une partie importante des mathématiques.

Résoudre une équation c’est déterminer, si elles existent, les solutions de cette équation.

2°) Des équations que l’on ne sait pas résoudre Exemples :

3 3 2 4 0

x  x  x  e^x  x 3 0

On ne peut pas résoudre ces équations (on va l’admettre).

Diverses approches sont possibles : approche graphique, résolution approchée.

On sait en revanche effectuer une résolution approchée de ces équations en utilisant les moyens de calcul (calculatrice, ordinateur).

Avant cela, il faudra déterminer l’existence et le nombre de solutions de ces équations.

L’existence de solutions est déjà un problème en soi qui n’est pas toujours facile à résoudre.

Nous allons voir que la continuité permet de prévoir l’existence de solutions d’équations.

3°) L’outil de base : le théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème des valeurs intermédiaires un théorème extrêmement important d’analyse.

Nous l’admettrons sans démonstration.

Il a été démontré en 1837 par le mathématicien Bolzano (voir site Internet).

Le mathématicien français Augustin Cauchy (1^ère moitié du XIX^e siècle) l’énonce également dans son Cours d’analyse.

C’est un théorème d’existence de solutions d’une équation ; il ne donne pas les solutions.

4°) Approche graphique

2 k

a b

i j O

Fonction continue

k

a b

i j O

Fonction discontinue

k

a b

i j O

Fonction continue strictement croissante

k

a b

i j O

Fonction continue strictement décroissante

II. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : 3 formulations équivalentes 1°) Formulation 1

f est une fonction définie et continue sur un intervalle [a ; b] (a < b).

Pour tout réel k compris entre ^{f a}

 

^et^{f b}

 

, il existe au moins un réel ^c^



^{a b}^;



^{tel que}^{f c}

 

^k.

2°) Formulation 2

f est une fonction définie et continue sur [a ; b] (a < b).

Toute valeur intermédiaire k compris entre ^{f a}

 

^et^{f b}

 

admet au moins un antécédent par f.

3°) Formulation 3 (en termes d’équations)

f est une fonction définie et continue sur



^{a b}^;



(a < b).

Pour tout réel k compris entre ^{f a}

 

^et^{f b}

 

, l’équation ^{f x}

 

^k admet au moins une solution dans [a ; b].

 

f a

 

f b

 

f a

 

f b

 

f a

 

f b

 

f b

 

f a

(2)

III. Cas des équations de la forme f (x) = 0

aspect graphique aspect algébrique

1°) Interprétation graphique

f est une fonction définie sur un intervalle I.

Les solutions de l’équation ^{f x}

 

⁰ sont les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de f dans un repère avec l’axe des abscisses.

2°) Changement de signes

f est une fonction définie et continue sur un intervalle I.

a et b sont deux réels de I tels que a < b.

 On suppose que ^{f a}

 

^⁰^{et que}^{f b}

 

^⁰^.

Dans ce cas, l’équation ^{f x}

 

⁰ admet au moins une solution dans I, comprise entre a et b.

 Même conclusion si ^{f a}

 

⁰ et que ^{f b}

 

⁰.

Illustration graphique

Dans les deux cas, on dit que f présente un « changement de signe » entre a et b.

Retenir :

- Notion de changement de signes.

- A chaque changement de signes, il y a au moins une solution.

3°) Exemples

f est une fonction continue sur .

x 2 5 6 8

 

f x –4 1 –1 –3

f présente un changement de signe entre 2 et 5 et entre 5 et 6.

L’équation ^{f x}

 

^⁰ admet donc au moins deux solutions dans .

IV. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (version particulière) (Corollaire d’un théorème : conséquence de ce théorème)

1°) Notion d’image d’un intervalle : une nouvelle écriture

f est une fonction définie sur une partie D de .

I est un intervalle inclus dans D



^I^^D



^.

On appelle image de l’intervalle I par f l’ensemble des valeurs ^{f x}

 

, lorsque x décrit I.

L’image de I par f est notée ^f

 

^I ^.

Ainsi, on peut écrire ^f

 

^I ^



^{f x}

 

^;^x^^I



^.

Nous allons voir comment déterminer l’image d’un intervalle lorsque f est une fonction continue et strictement monotone.

On retiendra donc l’écriture ^f

 

^{a b}^;

 

qui désigne l’image de l’intervalle [a ; b] par la fonction f.

2°) Énoncé du corollaire du TVI (version particulière)

(N.B. : on pourrait dire « théorème de la valeur intermédiaire »)

f est une fonction définie, continue et strictement monotone (c’est-à-dire strictement croissante ou strictement décroissante) sur un intervalle ^I^



^{a b}^;

 

^a^b



.

➀ ^f

 

^{a b}^;

 

_{ }^^{f a}

 

^; ^{f b}

 

^_ si f est strictement croissante sur I.

^f

 

^{a b}^;

 

 ^^{f b}

^{ }

^;^{f a}

^{ }

^ si f est strictement décroissante sur I.

➁ Pour tout réel k compris entre^{f a}

 

^et^{f b}

 

, il existe un unique réel ^c^



^{a b}^;



^{tel que}^{f c}

 

^^k^.

x a c b f b

 

k Variations de f

^{f a}

 

x a c b

 

f a

k Variations de f

f b

 

Il y a existence et unicité.

Le tableau de variation fait apparaître les choses de manière très visuelle.

Par convention, la flèche traduit :

 la stricte monotonie (croissance stricte ou décroissance stricte)

 la continuité.

N.B. :

Lorsque l’on a une fonction constante sur un intervalle, on met une flèche horizontale : . On ne fait pas de tableau de variation pour une fonction qui n’est pas continue sur un intervalle ; on fait des phrases. Par exemple, on n’a pas fait de tableau de variation de la fonction partie entière ; on se contente de dire que la fonction partie entière est croissante sur .

(3)

5 3°) À propos du premier point du corollaire

Lorsque f est continue et strictement décroissante, on est obligé de remettre les bornes dans l’ordre.

Exemple :

Si f est une fonction continue et strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 1] telle que ^f

 

⁰ ⁵ et ^f

 

¹ ³, Alors ^f

 

^{0 ; 1}

 

^



^{3 ; 5}



^.

4°) Démonstration du corollaire du TVI (ROC)

On ne démontrera ce corollaire que dans le cas où f est strictement croissante.

➀ Puisque f est strictement croissante sur I,  x I f a

 

 f x

 

f b

 

.

Donc toute image ^{f x}

 

, c’est-à-dire tout nombre de ^f

 

^I , est dans ^_^{f a}

 

^;^{f b}

 

^_^.

Réciproquement, si k f a

 

;f b

 

, k est l’image par f d’au moins un réel c de I (TVI), donc ^k^^f

 

^I ^.

On en déduit que ^f

 

^I _{ }^^{f a}

 

^;^{f b}

 

^_^.

➁ En outre, l’équation ^{f x}

 

^^k ne peut avoir deux solutions car f étant strictement croissante, deux nombres distincts ont des images distinctes.

V. Corollaire du TVI pour les fonctions continues et strictement monotones (version générale) 1°) Présentation

Nous admettrons sans démonstration que le corollaire du TVI se généralise au cas d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle autre que [a ; b].

2°) Énoncé du corollaire du TVI (version générale)

C’est la formulation à savoir par cœur (même s’il faut aussi connaître les autres)

f est une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I.

➀ ^f

 

^I ^^J est un intervalle de même nature que I.

➁ Pour tout réel k dans J, l’équation ^{f x}

 

^k admet une unique solution dans I.

3°) À propos du premier point du corollaire du TVI

En général, on détermine sans peine l’image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone grâce au tableau de variation (complet avec les limites).

Plus précisément, le tableau ci-dessous donne l’image des divers types d’intervalles.

6 Si f est strictement croissante sur I Si f est strictement décroissante sur I

 

I a b; ^f

 

^I  ^{f a}

 

^;^{f b}

 

 ^f

 

^I  ^{f b}

 

^;^{f a}

 



 

I a b;

 

I

 

; lim

b

f f a f



 

 

 

I lim ;

 

b

f f f a



 

 

 

I a b;

 

^I ^lim ^;

 

a

f f f b



 

 

 

^I

 

^{; lim}

a

f f b f



 

 

 

I a b;

 

I lim ; lim

a b

f f f

 

 

 

 

I lim ; lim

b a

f f f

 

 

 

(a et b désignent des réels tels que ab ou éventuellement + pour a et – pour b dans certains cas).

Lorsque l’on a une borne fermée, pour l’image de l’intervalle on a l’image.

Lorsque l’on a une borne ouverte, pour l’image de l’intervalle on a la limite.

Les a⁺ et b^–n’ont lieu d’être que si a et b sont des nombres (lorsque a et b sont des infinis on met les limites

« normales »).

VI. Exemple-type : résolution approchée d’une équation du type f(x) = 0 1°) Énoncé

3

:

3

f

x x x



 

 

 (fonction polynôme du 3^e degré).

On ne sait pas résoudre l’équation ^{f x}

 

^⁰ c’est-à-dire x³  x 3 0.

En effet, il n’y a pas de racine évidente donc on ne peut pas factoriser le premier membre.

➀ Démontrer que l’équation ^{f x}

 

^⁰ admet une unique solution  dans .

➁ Démontrer que 1  2.

➂ En déduire le signe de ^{f x}

 

suivant les valeurs de x.

2°) Résolution avec rédaction

➀ f est continue et dérivable sur  car c’est une fonction polynôme.

 x ^f^'

 

^x ³^x²¹ Par suite,  x ^f^'

 

^x ^⁰

Donc f est strictement croissante sur .

   

³

lim lim

x f x x x

     (règle sur les fonctions polynômes)

 

lim

x f x

  

x −   +

SGN de ^f^'

 

^x +

+

 0 + Variations de f

− 

(4)

(Avant de faire le tableau de variation, on doit dire que f est continue puisque la flèche traduit la continuité et la croissante stricte).

➊ f est continue sur  (comme fonction polynôme)

➋ f est strictement croissante sur .

➌ limf

   et limf

  

Le corollaire du TVI s’applique.

 



^;

 

^;



f        (l’image de l’intervalle ] –  ; + [ par f)

 

0   ;

Donc l’équation ^{f x}

 

⁰ admet une unique racine  dans .

On ne sait pas calculer  donc on cherche un encadrement de .

➁ ^f

 

¹ ¹³   ^{1 3} ¹ ^f

 

² ²³  ^{2 3} ⁷ ^f

 

^{1 ; 2}

 

^{ }



^{1 ; 7}



⁰^{ }



^{1 ; 7}



Donc ^{ }



^{1 ; 2}



^.

➂ SGN de ^{f x}

 

x –   +  SGN de ^{f x}

 

– 0 +

N.B. : Valeur exacte – valeur approchée

Le réemploi de  dans la suite d’un exercice ou d’un problème nécessite d’écrire  (et non une valeur approchée).

Même si l’on a déterminé une valeur approchée de , on ne peut pas remplacer  par cette valeur approchée.

VII. Approximation des solutions d’une équation 1°) Problème

3

:

3

f

x x x



 

 



On a démontré grâce au corollaire du TVI que l’équation ^{f x}

 

⁰ (c’est-à-dire x³  x 3 0) admet une unique solution  dans .

On ne sait pas déterminer la valeur de  ; néanmoins on sait encadrer .

Dans le V, on a démontré que 1  2 (encadrement d’amplitude 2 1 1  ).

But : déterminer des encadrements plus précis de .

Pour cela, 2 méthodes : balayage et dichotomie.

Méthode par « tâtonnements » ou « essais successifs ».

2°) Méthode de balayage ou par tabulation

Elle fournit des encadrements d’amplitude 10^¹, 10^²,10^³… et donc des valeurs approchées de plus en précises de .

pour nous dans ce §

On remplit un tableau de valeurs (grâce à la calculatrice) de 1 à 2 avec un « pas » de 10^¹.

x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

 

f x 1 0, 56 0, 072 0,497 1,144 1,875 2,646 3,613 4,632 5,759 7 1, 2  1, 3

Pour plus de précision, même méthode avec un pas de 10^² de 1,2 à 1,3.

Comme l’équation est ^{f x}

 

⁰, il suffit de repérer le changement de signe dans le tableau.

Mais cette méthode marche aussi pour une équation de la forme ^{f x}

 

^^k^avec^k^⁰ sauf que dans ce cas, on ne repère pas de changement de signe.

Attention, pour les valeurs de ^{f x}

 

données dans le tableau.

Il vaut mieux utiliser des troncatures (mais il faut tronquer au « bon » rang).

3°) Méthode par dichotomie (partage en 2)

Il faut déjà avoir un encadrement de départ.

On a démontré que 1  2. On part donc de l’intervalle [1 ; 2].

Étape 0



^{1 ; 2}



¹  ² Amplitude 1

Étape 1



^{1 ; 1, 5}





^{1, 5 ; 2}



 

¹ ¹

f  



^{1, 5}



^{1, 875}

f 

 

² ⁷

f 

1  1, 5 Amplitude 1 2

Étape 2



^{1 ;1, 25}





^{1, 25 ;1,5}



 

¹ ¹

f  



^{1, 25}



^{0, 203125}

f 



^{1, 5}



^{1, 875}

f 

1  1, 25 Amplitude 1 4

………

(5)

9 On s’arrête ensuite à la précision souhaitée.

A l’étape n, l’amplitude est égale à 1 2ⁿ.

Intérêt de cette méthode : Cette méthode est algorithmique ; on peut programmer cette méthode sur une calculatrice ou sur un tableur.

La dichotomie présente deux aspects qui sont liés : aspect « suites », aspect « algorithme ».

4°) Utilisation de la calculatrice (« solveur » d’équations)

Equation ^{f x}

 

^⁰

zéro et pas un autre nombre Sur TI 83 Plus

Tracer la courbe représentative de f.

Y = (ici X^3+X-3) 2nd TRACE 2nd CALC

Descendre à la ligne 2 : zero ou root puis taper sur la touche Enter . (Le mot « root » signifie « racine » en anglais.)

Encadrement du zéro

➀ Left bound ?

Avec le curseur se placer avant X = … Y=…

Enter

➁ Right bound ?

Avec le curseur se placer après X = … Y=…

Enter

➂ Guess ? Taper absolument Enter Affiche le zéro

X1, 2134117 (valeur approchée de )

(bien en conformité avec l’encadrement déterminé précédemment)

Sur CASIO Graph 35 +

Graph dans le MENU Rentrer la fonction

Taper G-solv + Root (« racine » en anglais)

Le curseur s’affiche tout seul.

5°) Utilisation d’un logiciel de calcul formel

10 VIII. Retour sur l’algorithme de dichotomie

L’algorithme de dichotomie est un algorithme qui permet d’encadrer un nombre.

1°) Organigramme

Observer les tests et les boucles.

2°) Rédaction en langage naturel

f est la fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b] telle que f(a) et f(b) soient de signes contraires.

On sait que l’équation ^{f x}

 

⁰ admet une solution unique x₀ dans l’intervalle [a, b].

On va supposer que f est strictement croissante sur [a, b].

C a

| x₀ b

(6)

Si ^{f a}

 

^et

2 fa b 

 

 

sont de signes contraires,

2 a a b

  

Si ^{f a}

 

^et

2 fa b 

 

 

sont de même signe,

2

a b b

  

On partage à chaque fois l’intervalle en deux pour localiser dans l’un des deux intervalles obtenus.

Rappel : le centre de l’intervalle [a ; b] est le nombre 2 c a b

 .

 Le nombre d’itérations est connu à l’avance. Boucle Pour.

Entrées Saisir

a, b : bornes de l’intervalle de définition f : fonction étudiée

N : entier naturel, N  1 Traitement

Pour k de 1 jusqu’à N m prend la valeur

2 a b

Si f (m) et f (a) sont de même signe alors a prend la valeur m

sinon

b prend la valeur m FinSi

FinPour Sorties Afficher a, b Quel est le rôle de la variable N ?

 Le nombre d’itérations n’est pas connu à l’avance. Boucle Tantque Il s’agit d’un algorithme avec « boucle et test ».

Entrées Saisir

a, b : bornes de l’intervalle de définition f : fonction étudiée

e : réel strictement positif Traitement

Tantque b a e ;

Si

 

⁰

2 f a fa b 

  

 

alors a prend la valeur 2 ab

. Sinon b prend la valeur

2 ab

. FinSi

FinTantque Sorties Afficher a, b

3°) Programmation sur calculatrice ou sur ordinateur

On peut traduire cet algorithme dans un langage de programmation sur calculatrice ou sur ordinateur lorsque l’on connaît la fonction f.

On peut aussi utiliser un tableur.

4°) Application de la méthode de dichotomie

La méthode de dichotomie permet par exemple de déterminer des valeurs approchées de nombres irrationnels comme 2 , 3 , ³2 etc.

Pour 2 , on peut dire que c’est la solution positive de l’équation x² 2 0 ; pour ³2, on peut dire que c’est la solution positive de l’équation x³ 2 0.

IX. Notion de bijection et de fonction réciproque 1°) Bijection d’un intervalle I dans un intervalle J

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I (ensemble de départ) à valeurs dans un intervalle J (ensemble d’arrivée).

 On dit que f est une bijection lorsque pour tout réel yJ, il existe un unique réel xI tel que ^{f x}

 

^y * (tout élément de l’ensemble d’arrivée admet un unique antécédent dans l’ensemble de départ par f).

 Dans ce cas, la fonction de J dans I qui à tout élément yJ associe son unique antécédent par f est appelée la bijection réciproque de f et notée f^¹.

* Il s’agit d’une phrase quantifiée du type « pour tout … il existe … ».

(7)

13 Ainsi f : IJ et f^¹: JI (on renverse les flèches)

^x^^y^ ^{f x}

 

yx

On peut aussi illustrer cette situation par un diagramme sagittal.

On peut également illustrer la situation par un graphique.

2°) Exercice

Démontrer que la fonction f :  est une bijection.

x3x1 On se donne un réel y quelconque.

Cherchons x tel que ^{f x}

 

^y.

 

f x yy3x1 y 1 3x 1

3 x y

 

Ainsi, tout élément y admet un unique antécédent x par f.

On en déduit que f est une bijection de  dans .

La bijection réciproque de f estf^¹ :  1

3

yy

3°) Exemples de référence :

f __ est bijective. f^¹:__ est la bijection réciproque de f.

xx² x x

: *

f _ est bijective. f^¹:^*_ est la bijection réciproque de f.

xlnx xe^x

Du point de vue du vocabulaire, on peut dire que f etf^¹ sont des bijections réciproques l’une de l’autre.

On peut dire que la fonction carrée établit une bijection de + dans +. La bijection réciproque est la fonction racine carrée de + dans +.

On peut dire que la fonction logarithme népérien établit une bijection de ^*_ dans .

La bijection réciproque est la fonction exponentielle de  dans ^*_.

14 4°) Contre-exemple

:

f  xx²

f n’est pas bijective.

Le nombre 9 par exemple admet deux antécédents par f : 3 et –3.

Le nombre – 1 par exemple n’admet pas d’antécédent par f.

5°) Cas particulier des fonctions continues strictement monotones

f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I.

Posons ^J^^f

 

^I ^.

D’après le corollaire du TVI, J est un intervalle.

– pour tout réel x de I, ^{f x}

 

^^J^;

– pour tout réel y de J, il existe un réel x et un seul appartenant à I tel que ^{f x}

 

^y. Ainsi f établit (ou induit) une bijection de I sur J.

N.B. : Le corollaire du TVI ne permet cependant pas de déterminer l’expression de la bijection réciproque.

Cet énoncé s’appelle « théorème de la bijection » (ou « théorème de la bijection continue »).

f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I.

f établit une bijection de I sur ^J^ ^f

 

^I ^.

On peut facilement visualiser le théorème la bijection sur un graphique.

6°) Une propriété des représentations graphiques (admise sans démonstration)

 Énoncé

f est une bijection définie sur un ensemble A à valeurs dans un ensemble B.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, les représentations graphiques des fonctions f et f^¹ sont symétriques par rapport à la première bissectrice  du repère d’équation yx.

 Exemples

Dans le plan muni d’un repère orthonormé :

- la courbe de la fonction exponentielle est la symétrique par rapport à la première bissectrice de la courbe de la fonction logarithme népérien ;

- la courbe de la fonction racine carrée est la symétrique par rapport à la courbe de la fonction carrée sur l’intervalle [0 ; +[ (ce qui donne une demi-parabole).