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Continuité des fonctions aléatoires sphériquement invariantes

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J. L. B ESSON

Continuité des fonctions aléatoires sphériquement invariantes

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1974, tome 11, fascicule 3 , p. 59-69

<http://www.numdam.org/item?id=PDML_1974__11_3_59_0>

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(2)

Publications du Département de

Mathématiques Lyon 1974 1.11-3

CONTINUITE DES FONCTIONS ALEATOIRES SPHERIQUEMENT INVARIANTES.

par J. L. BESSON

La recherche de la classe des fonctions aléatoires du second ordre pour lesquelles la meilleure approximation au sens des moindres carrés est linéaire conduit à l'étude des fonctions aléatoires sphériquement invariantes ( [ l ] ,[ 5 ] , [ 1 0 ]) . Celles-ci sont utilisées dans plusieurs domaines de la théorie du signal ([ 6 ] , [ 7 ] , [ 8 ]) et possèdent de nombreuses propriétés analogues à celles des fonctions aléatoires gaussiennes.

Ce travail a pour objet l1étude de la continuité des fonctions aléatoires sphériquement invariantes (continuité en probabilité, en moyenne d'ordre p , des trajectoires).

Nous rappelons dans une première partie les principales propriétés des fonctions aléatoires sphériquement invariantes ( [5I» [}0]).Nous abordons ensuite l'étude de la continuité et montrons dans un premier temps l'équivalence entre la continuité en probabilité et celle en

moyenne quadratique; nous établissons ensuite pour la continuité presque-

(3)

sûre des trajectoires un résultat analogue aux théorèmes classiques de

X. FERNIQUE ( [h] ) et R.M. DUDLEY ( [ 3 ] ) dans le cas des fonctions aléatoires gaussiennes.

NOTATIONS. -

(îî,Cl,P) est un espace de probabilité, T un ensemble non vide,

{X^;teT} une fonction aléatoire réelle du second ordre et centrée. H désigne le sous-espace vectoriel fermé de L (îî,CL,P) engendré par

{Xt;tcT}. Etant donné un sous-espace vectoriel fermé V de H, on note IÏV

le projecteur orthogonal de H sur V et E l'espérance conditionnelle à la tribu ^ ( V ) engendrée par V.

n *~ 1

Pour toute variable aléatoire X à valeurs dans JR , P^ = P0X désigne la loi de probabilité de X et Œ (.) sa fonction caractéristique.

rx

I. LES FONCTIONS ALEATOIRES REELLES SPHERIQUEMENT INVARIANTES.

DEFINITION. - La fonction aléatoire réelle du second ordre et centrée { Xt; t £ T } est sphériquement invariante si pour tout élément X de E et tout opérateur linéaire unitaire U de H, X et U.X ont même loi de probabilité.

Autrement dit, une condition nécessaire et suffisante pour que {X^;teT} soit une fonction aléatoire sphériquement invariante est que pour tout couple (X,Y) d'éléments de H tels que || x | |2 * ||Y||2, on ait

(4)

Continuité des fonctions aléatoires sphériquement invariantes

Toute fonction aléatoire réelle gaussienne centrée est sphériquement invariante.

On obtient aisément la caractérisâtion suivante des fonctions aléatoires sphériquement invariantes par leur loi temporelle :

PROPOSITION 1. - Une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction aléatoire réelle { Xt; t e T > soit sphériquement invariante est qu'il existe une fonction <(> : R R telle que pour toute partie finie {t 1,.. • ,tn}de T et tout (u1,... , un) de (Rn , on ait E{exp(i l u. X, )} = c|> (||S u. X, | L ) . On a alors pour tout

élément X de H et tout réel u : 0x(u) = E{exp(i u X)} = •( |u|. | | x | | g ) .

Nous énonçons maintenant la caractérisâtion que nous avons évoquée dans l'introduction ( [l] , [5] ) *

PROPOSITION 2 . - Si lfespace vectoriel H est de dimension supérieure ou égale à 2 , une condition nécessaire et suffisante pour que la fonc- tion aléatoire réelle {X^itcT} soit sphériquement invariante est que pour tout sous-espace vectoriel fermé V de H on ait II « E

REMARQUE 1. - Soit u = ( u ^ . . . ^ ) un élément de Rn , |u| sa norme euclidienne et { Çi»...»£n} un système orthonormé dans H.

n

4>(|u|) = E{exp(i Z u.Ç.)}.

J=1 J J

(5)

La fonction <|>(|.|) e s"tdo nc continue et de £ype positif sur Rn ; il s'en suit , d'après un théorème de SCHŒ NBERG ( [ 9 ] ) dans le cas où la dimension de H est infinie* l'existence d'une probabilité de Radon y sur (R+ telle que

<J>(u) = { exp(- — ) dy(x) / ueR.

(R+ 2

Le résultat qui suit indique que, lorsque la dimension de H est infinie, les fonctions aléatoires sphériquement invariantes sont

"conditionnellement gaussiennes. "

(Ce résultat est énoncé sans démonstration en

PROPOSITION 3. - Si H est de dimension infinie* une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction aléatoire réelle {xt; t € T } soit sphériquement invariante est qu9il existe une variable aléatoire positive A, & (H)-mesurable et telle que* pour tout élément X de H

A 2

de norme 1 et tout réel u ; on ait E{exp(iuX)/A} = e x p ( — p r e s q u e - sûrement.

Preuve. - La condition suffisante est immédiate; pour la condition

nécessaire, il suffit de généraliser au cas non dénombrable les résultats classiques sur les familles de variables aléatoires en dépendance

symétrique, puis dfutiliser un raisonnement fait en [2] p. 233. Nous ne donnons que les grandes lignes.

Soit {£^;iél} une base orthonormale de H ; elle est en dépendance

(6)

Continuité des fonctions aléatoires sphériqnement invariantes

symétrique ; soit s/ la sous-tribu de & des événements qui dépendent symétriquement des Ç. {s/c^(H)). Conditionnel 1 ement à s/, les variables

J

aléatoires £. sont équidistribuées et indépendantes et il existe une 0

probabilité conditionnelle régulière de Ç. par rapport à sé : 0

P : fi x £ ô (B) ( 0 , 1 ] .

Pour (iiefl et u c R , soit <f>(a),u) = J* exp(iux)P(to;dx) . <j>(w,.) est une B

fonction caractéristique et <J>(.,u) est un représentant de E (exp(iu£.)}.

J On montre alors que <f>(a>,.) est réelle et paire puis que presque-sûrement

<j>(a); /u+v ) = (^(ojji^u) .(^(ojji^v) pour tout ( u , v ) c F2 • On en déduit alors, du fait de la continuité de <J)(a),.), l'existence d'une variable aléatoire

A( i u2

positive A ( . ); sé-mesurable et telle que <(>(u),u) = exp(- ) , et pour 2

P s

toute partie finie J de I, on a E{exp(i £ u.£.)/A} =

E{exp(i u.Ç.J/A} = exp( >M = exp(- ^ t u f ) .

On a alors le résultat en utilisant le fait que {£^,i€l} est une base orthonormale de H.

REMARQUE 2 . - En utilisant l'unicité de la transforméede Laplace d'une probabilité, on établit aisément que la loi de probabilité de A est la mesure y donnée par le théorème de Schoenberg (Remarque 1 ) .

Une condition nécessaire et suffisante pour que H soit contenu dans LP(ft,CUP) (2£p<+œ) est que A é LP^2(fi, &,P) ; on a alors pour tout élément X de H :

(7)

p/ 2

| | X | | P - C (P) E ( AP / 2)

||X||5

avec C(p) =

^ - rfél).

En particulier A € L1( f t » & , P ) et E(A) » 1.

Remarquons que si Hrt LP(f2, &5P ) ?*{0} (2^p<+«>) ; alors H est contenu dans

L

P

(fi ,<n ,P).

II. CONTINUITE DES FONCTIONS ALEATOIRES SPHERIQUEMENT INVARIANTES.

La fonction aléatoire { X ^ t c T } est d'ordre p (l^p<+*>) si pour tout t de T, Xte LP = LP(îî,<k,P).

L° = L°(ft,(2L,P) désigne l'espace vectoriel réel des classes de variables aléatoires réelles définies sur (£2,&,P) , muni de la topologie de la convergence en probabilité ; L° est un e.v.t. métrisable et complet.

PROPOSITION h. -Si la fonction aléatoire sphériquement invariante p

{ X ^ t e T } est d'ordre p (2Sp<+<»), H est contenu dans L et les p

topologies induites sur H par L° et L sont équivalentes. En p

particulier H est fermé dans L° et L .

Preuve* - Il suffit de montrer que toute suite d'éléments de H convergente en probabilité vers 0 est convergente en moyenne d'ordre p vers 0.

Si H est de dimension finie, le résultat est immédiat.

P

Si la dimension de H est infinie comme X. € L , d'après la remarque 2 on a H C LP.

Soit (x n)n^«| suite d'éléments de H qui converge vers 0 en probabilité.

Pour tout réel u , lim 0„ (u) = 1.

n-^«> n

(8)

Continuité des fonctions aléatoires sphériquement invariantes

D'après la proposition 3 :

lia f exp( - | ||XJ|* ) dv(a) = 1 ;

d'où :

lim || x | | = 0 (sinon on aurait y{o} = 1 et donc H « {o}).

n-H^x> n

2

Ainsi les topologies induites sur H par L* et L sont équivalentes.

Pour achever la démonstration, il suffit de remarquer que les topologies induites sur H par L et L sont équivalentes puisque

V X e H , | |X| |P = [C(p) E ( A */ 2) ]1 /* ||X||2 .

Si T est un espace topologique, en notant K la fonction covariance de {X.;t6T} (K(s,t) = E[X -X.]), nous avons :

Xr S X

COROLLAIRE. - Pour une fonction aléatoire réelle (Xt;t € T } sphériquement invariante et d'ordre p (2^p<+«) , les quatre propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) elle est continue en probabilité sur T ;

(ii) elle est continue en moyenne d9ordre p sur T ; (iii) la covariance K est continue sur T*T ;

(iv) la covariance K est continue sur la diagonale de T*T.

Nous abordons maintenant l'étude de la continuité des trajectoires des fonctions aléatoires sphériquement invariantes. Les résultats et démonstrations sont très analogues à ceux du cas gaussien tels qu'on peut

(9)

d désigne l'écart défini sur TxT par d(s,t) =

ll

x s

"

x t

M

2

-

Pour €>Q ,Jf(z) est le nombre minimum de d-boules de rayon e nécessaire pour recouvrir T. ^ ( . ) est une fonction monotone décroissante de

]o,+«[ dans ¥U[+°°}. On note Jf(e) = L o g ^ e ) (Entropie métrique).

PROPOSITION 5. - Soit { xt; t € T } une fonction aléatoire sphériquement invariante qui vérifie l'hypothèse suivante :

il existe 6>0 tel que f _/Jf(x) dx < + 0 0 . [o,ô]

Alors on peut construire une fonction aléatoire sphériquement

invariante {X£ ; t e l } équivalente à { Xt ; t € T } et à trajectoires uniformément continues sur l'espace semi-métrique (T,d).

Preuve. - Si H est de dimension finie, le résultat est immédiat.

Supposons H de dimension infinie. Soient A une variable aléatoire donnée par la proposition 3 et fiQ - {u)e Çl ; A(u)) > 0 } . On note &0 la tribu trace sur Q0 de & et P0 la probabilité définie sur <SL0 par Po(B) = (P(«0) > ofcar sinon H = {o}.)

Soient X € H et X0 sa restriction à Bo.

E0( el u X o/ A0) = exp( ^ ) P0-p.s.

2 X0(u>)

Soit ï la variable aléatoire définie sur Î2 par Y() = — — — * On a

(10)

Continuité des fonctions aléatoires sphériquement invariantes

E0( ei u Y) = J E0( ei u Y / kQ) .dPc = J exp(- ^)dPc

fi

a

"

0 2

U2| | X | |2

= exp ( ) . 2

Donc Y est une variable gaussienne rentrée de variance ]|X||^ .

xt Ainsi, en notant Y, = — /

t A

{ï ;te T} est une fonction aléatoire gaussienne centrée et V(s,t) c T2

f

D'après l'hypothèse dx <+<» et les résultats sur les [ o.«l

fonctions aléatoires gaussiennes [ 3 ] » [ 5 ]» il existe une fonction aléa- toire gaussienne centrée définie sur (£20 , &0, P0) {Y£ \ t e T} équivalente à {ï^;t é T } et à trajectoires uniformément continues sur (T,d).

Soit { X^ ; t £ T } défini par :

* Pour 0 ) € QO , X ^ ( C Û) = /A(u>) ï'(tfw) , Pour c a c Q x n ^ X'(t,U)) = 0.

Les trajectoires de sont uniformément continues sur (T,d).

D'autre part, pour tout t € T , on a «x t- ^ PQP*s** donc P.p.s.

et, comme pour tout Xe H :

J X 2 dP = J E j y V A ] dP = J A | | X |\ \ dP = 0 ,

(11)

on a, pour tout t e T , = 0 = P.p.s. .

Dans le cas où T est une partie bornée de JR , on démontre de la même façon que dans le cas gaussien le résultat suivant .

PROPOSITION 6. - Soit { Xt; t e T } une fonction aléatoire sphériquement

k

invariante (où T est une partie bornée de R ) et vérifiant la condition suivante :

il existe une fonction g : IR+ iR+ strictement croissante sur fo,ô] telle que

2

(i)

J

+ * g ( e ~x )dx < + « j

1

(ii) V ( s , t ) € T2 : |s-t| $ 6 » | |X -X. | | $ g ( | s - t | ) . s t 2

Alors on peut construire une fonction aléatoire sphériquement

invariante {x^;t*T} équivalente à { Xt; t c T } e t à trajectoire unifor- mément continues sur (T, |. | ) . ( |. | désigne la norme euclidienne de Rk) .

BIBLIOGRAPHIE.

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(12)

Continuité des fonctionsc aléatoires sphériquement invariantes

Manuscrit remis le 17 mai 1974. Jean-Luc BESSON

Département de Mathématiques Université CL Bernard - Lyon-1 43, bd du ll-novembre-1918 69621 - VILLEURBANNE

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