Fonctions : Continuité
I) CONTINUITE
1) Définition et propriétés
REMARQUE
Graphiquement, la continuité d’une fonction 𝑓 sur un intervalle I se traduit par une courbe en « un seul morceau ».
EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES
f est continue en a f est continue en a f est continue en a
f n'est pas continue en a f n'est pas continue en a La courbe représentative d'une fonction continue se trace sans lever le crayon.
• On considère une fonction définie sur [−2 ; 4] dont on donne la courbe représentative ci-contre.
a) La fonction 𝑓 est-elle continue en 2 ? b) La fonction 𝑓 est-elle continue en −1 ?
Soit une fonction 𝑓 définie sur un intervalle ouvert I. Soit 𝑎 un élément de I. On dit que la fonction 𝑓 est continue en 𝒂 si et seulement si :
𝔁⟶𝒂𝐥𝐢𝐦𝒇(𝔁) = 𝒇(𝒂)
La fonction 𝑓 est continue sur un intervalle I si et seulement si 𝑓 est continue en tout point de I.
DEFINITION
• Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ.
• La fonction inverse est continue sur ] − ∞ ; 𝟎[ 𝒆𝒕 𝒔𝒖𝒓 ]𝟎 ; +∞[.
• La fonction valeur absolue est continue sur ℝ.
• La fonction racine carrée est continue sur [𝟎 ; +∞[ (et non dérivable en 0…)
• Les fonctions 𝒙 ⟼ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒆𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝒙 sont continues sur ℝ.
• Si la fonction 𝒗 est continue sur un intervalle 𝑱 et la fonction 𝒖 continue sur un intervalle 𝑰, et pour tout réel 𝒙 ∈ 𝑰, on a 𝒖(𝒙) ∈ 𝑱 alors la fonction composée 𝒗 ∘ 𝒖 est continue sur 𝑰.
• D’une façon générale, toutes fonctions construites par opération ou par composition à partir des fonctions ci-dessus sont continues sur leur ensemble de définition, en particulier les fonctions rationnelles.
EXEMPLE DE FONCTION DISCONTINUE :LA FONCTION PARTIE ENTIERE
La partie entière d’un nombre 𝑥 est le plus grand nombre entier inférieur ou égal à 𝑥. On le note 𝐸(𝓍).
1) Calculer 𝐸(−1) ; 𝐸(−0,6) ; 𝐸(0,85) ; 𝐸(0,99).
2) Représenter graphiquement la fonction E sur ℝ.
3) La fonction E est-elle continue sur ℝ ? Si non, sur quels intervalles est-elle continue ?
La réciproque de ce théorème est fausse !!!
PENSER A LA FONCTION RACINE CARREE…
•A NOTER :
Dans un tableau de variation, on admet que les flèches traduisent la continuité ainsi que la stricte monotonie de la fonction.
2) Théorème des valeurs intermédiaires
• Si 𝒇 est dérivable en 𝒂 alors la fonction 𝒇 est continue en 𝒂.
• Si 𝒇 est dérivable sur un intervalle I alors la fonction 𝒇 est continue sur I.
THEOREME (ADMIS) PROPRIETE (ADMISE)
THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES ADMIS
DEMONSTRATION
L’existence découle du théorème précédent, et l’unicité de la monotonie de la fonction.
REMARQUE
• On généralise ce théorème à l’intervalle ouvert 𝐼 =]𝑎 ; 𝑏[. 𝑘 doit alors être compris entre 𝐥𝐢𝐦
𝔁⟶𝒂𝒇(𝔁) et
𝔁⟶𝒃𝐥𝐢𝐦𝒇(𝔁).
• Lorsque 𝑘 = 0, on pourra montrer que 𝒇(𝒂) × 𝒇(𝒃) < 𝟎.
• Ce théorème est parfois appelé le théorème de la bijection car la fonction réalise une bijection de I sur 𝑓(𝐼).
• Un tableau de variation pourra être suffisant pour montrer la continuité et la monotonie de la fonction.
EXEMPLE
Soit la fonction 𝑓définie sur ℝ par : 𝑓(𝓍) = 𝓍3+ 𝓍 − 1.
Montrer que l’équation 𝑓(𝓍) = 0 n’admet qu’une solution sur ℝ. On donnera un encadrement à l’unité de cette solution. Trouver ensuite, un encadrement à 10−6 de cette solution.
Illustration Graphique
Ici 𝑘 est bien compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏).
L’équation 𝑓(𝓍) = 𝑘 admet donc des solutions.
Le fait que 𝑐 existe ne veut pas dire qu’il soit unique.
Dans l’exemple, il existe 3 valeurs pour c.
Il faut impérativement que la fonction soit continue…
Soit 𝑓 une fonction continue et strictement monotone sur 𝐼 = [𝑎 ; 𝑏].
Pour tout réel 𝒌 compris entre 𝒇(𝒂) et 𝒇(𝒃), l’équation 𝒇(𝔁) = 𝒌 a une UNIQUE SOLUTION dans 𝑰 = [𝒂 ; 𝒃].
THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES BIS
EXERCICE
1) Soit 𝑓 la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 3𝑥 + 1.
a) Justifier que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 a au moins une solution dans l’intervalle [0 ; 1].
b) Justifier que 𝑓 est strictement croissante sur [1 ; +∞[.
c) Démontrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 a une unique solution 𝛼 dans l’intervalle ]1 ; +∞[.
d) Donner un encadrement d’amplitude 0,01 de 𝛼.
2) Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥+ 𝑥 − 2.
a) Tracer la courbe représentative de 𝑓 dans un repère.
b) Démontrer que 𝑓 est strictement croissante et continue sur ℝ.
c) Démontrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution dans ℝ.
d) Déterminer avec la calculatrice un encadrement décimal de 𝛼 à 10−2 près.
II) IMAGE D’UNE SUITE CONVERGENTE PAR UNE FONCTION CONTINUE
REMARQUE
Attention, 𝑳 n’est pas forcément la seule solution de l’équation 𝒇(𝒙) = 𝒙…
• Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 et (𝑢𝑛) une suite telle que 𝑢𝑛 appartient à 𝐼 pour tout entier naturel 𝑛. Si (𝑢𝑛) converge vers un réel L appartenant à 𝐼 et si 𝑓 est continue en 𝐿, alors la suite (𝑓(𝑢𝑛)) converge vers 𝑓(𝐿).
• Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle 𝐼 et (𝑢𝑛) une suite telle que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+1= 𝑓(𝑢𝑛). Si la suite (𝑢𝑛) converge vers un réel 𝐿, alors 𝐿 vérifie 𝑓(𝐿) = 𝐿.
THEOREME DU POINT FIXE
EXERCICE
Soit (𝑢𝑛) la suite définie par 𝑢0= −1 et pour tout entier naturel 𝑛 𝑢𝑛+1= 𝑓(𝑢𝑛) où 𝑓 est la fonction définie sur [−2 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 2 √𝑥 + 3. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction 𝑓 ainsi que la droite 𝑑 d’équation 𝑦 = 𝑥.
a) Sur l’axe des abscisses, on a placé 𝑢0. Sur le schéma, construire 𝑢1, 𝑢2 et 𝑢3 en laissant apparents les traits de construction.
b) Étudier les variations de 𝑓 sur [−2 ; +∞[.
c) Démontrer par récurrence que la suite (𝑢𝑛) est croissante et majorée par 6.
d) Justifier que (𝑢𝑛) converge vers 𝐿 puis déterminer 𝐿.
