AP 3 - Limites de suites - Dérivées de fonctions - Théorème de bijection

AP 3 - Limites de suites - Dérivées de fonctions - Théorème de bijection

Exercice 1

Déterminer les limites de suites suivantes : 1. un=n²−1

n+1 pour toutnentier naturel.

2. un= n³−1

3n²+5n⁴pour toutnentier naturel non nul.

3. un= 1−n³

n−5n⁴pour toutnentier naturel non nul.

4. un= 2n⁴−1

n²+5n⁴pour toutnentier naturel non nul.

Exercice 2

Déterminer les limites de suites suivantes : 1. un=n²−sinn

n+1 pour toutnentier naturel.

2. un=n²−(−1)ⁿpour toutnentier naturel.

3. un=sin(n²)

n pour tout entier naturelnnon nul.

Exercice 3

Pour toutn∈N^∗, on pose :

un= n

n²+1+ n

n²+2+ n

n²+3+. . .+ n n²+n 1. a. De combien de termesunest-il la somme ?

b. Quelle est la limite de chacun de ces termes quandntend vers+∞? Que pourrait-on logiquement en déduire pour la limite de (un) ?

2. La vérification :

a. Quel est le plus petit de ces termes ? Quel est le plus grand ?

b. En déduire que pourn⩾^{1 on a n2}

n²+n ⩽un⩽ ⁿ² n²+1. c. En déduire la limite de la suite (un).

d. Conclure quant à la conjecture de la question 1.b.

Exercice 4 Soitun=sin(1)

n² +sin(2)

n² +. . .+sin(n)

n² pourn∈N^∗. En encadrantun, montrer que (un) converge.

Exercice 5 Dérivées de première

Dans chacun des cas, préciser l’ensemble de définition def et calculer sa dérivéef^′(x).

1. f(x)=4x³−5x²+x−1.

2. f(x)=5x³−1 x+3p

x.

3. f(x)=(x²+1)(x³−2x).

4. f(x)=2x²−3 x²+7 . 5. f(x)=2x−1

x+1 . 6. f(x)= −x+2+ 2

3x.

7. f(x)= 1 x+x². 8. f(x)=(2x+1)². 9. f(x)=p

x(5x−3).

Exercice 6

Soitf une fonction dont le tableau de variations est :

x

f(x)

−∞ −2 +∞

−5

−5

−8

−8

5 5

Déterminer,en justifiant, le nombre de solutions de l’équationf(x)=0 surR. Exercice 7

Soitf une fonction dont le tableau de variations est :

x

f(x)

−∞ −2 4 +∞

−1

−1

2 2

−3

−3

−1

−1

Déterminer,en justifiant, le nombre de solutions de l’équationf(x)=0 surR.

2

Résultats ou indices

Ex.1 1. lim

n→+∞

n²−1

n+1 = +∞2. lim

n→+∞

n³−1

3n²+5n⁴=03. lim

n→+∞

1−n³

n−5n⁴=04. lim

n→+∞

2n⁴−1 n²+5n⁴=2

5 Ex.2 1. lim

n→+∞

n²−sinn

n+1 = +∞2. lim

n→+∞n²−(−1)ⁿ= +∞3. lim

n→+∞

sin(n²) n =0 Ex.3 1.a.ntermes.1.b. lim

n→+∞

n

n²+n =02.a.Le plus petit : n

n²+n, le plus grand : n

n²+12.b.Réponse donnée.2.c. lim

n→+∞un=1 2.d.Elle est fausse.

Ex.4Réponse donnée.

Ex.5 Ex. 1 1.f est définie surR;f^′(x)=12x²−10x+1.2.f est définie sur ]0;+∞[ ;f^′(x)=15x²+ 1 x²+ 3

2p

x.3.f est définie sur R;f^′(x)=5x⁴−3x²−2.4.f est définie surR;f^′(x)= 34x

(x²+7)².5.f est définie surR\{−1} ;f^′(x)= 3

(x+1)².6.f est définie sur R\{0} ;f^′(x)= −1− 2

3x².7.f est définie surR\{−1; 0} ;f^′(x)= − 1+2x

(x+x²)².8.f est définie surR;f^′(x)=8x+4.9.f est définie sur ]0;+∞[ ;f^′(x)=15x−3

2p x . Ex.6Une solution.

Ex.7Deux solutions.

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