Fonctions numériques: Limites - Continuité - Dérivées

FONCTIONS NUMERIQUES : LIMITES – CONTINUITE – DERIVEE I LIMITES

1) Définitions :

Dans tout le paragraphe, est une fonction numérique, sa courbe dans un repère orthonormé, désigne un réel, ou .

f Cf

α + ∞ − ∞

: a) Limite infinie(+ ∞)

a pour limite en signifie que :

tout intervalle de type ] ; [ contient tous les nombres ( ) dès que est suffisamment proche de . On note lim

f

M f x x

α

α + ∞

+∞

ou lim ( )

x

f f x

α = +∞ →α = +∞

La limite de en est signifie que:

Tout intervalle de type ] ; [ contient toutes les valeurs de ( ) pour assez proche de . On note:

b) Limite égale à − ∞:

lim ou lim ( ) .

x

f

M f x x

f f x

α α

α

α

→

− ∞

− ∞

∞

= − = −∞

La limite de en est le réel signifie que tout intervalle de la forme ] ; [, avec 0, contient toutes les valeurs de ( ) p

c) Limite égale à un réel l

our assez proche de . On note: lim

f l l r l r r

f x x

α f α

α

− + >

= ou lim ( )

x

l f x l

α

→ =

∞ Exemple : Démontrer que f x( )=sin n'a pas de limite en x + 2) Opérations sur les limites

désigne un réel, ou , et ' deux réels. et deux fonctions définies au voisinage de .l l f g

α + ∞ − ∞ α

lim

a) Limite de la somme de deux fonctions:

? ite

limite '

limite '

si f a pour l l l

si g a pour l

Alors f g a pour l l

+∞ −∞ +∞

+∞ −∞ +∞ −∞ −∞

+ + +∞ −∞ +∞ −∞

Démonstration du cas: lim lim lim ( )

Soit un réel quelconque

lim signifie que l'intervalle ] 1; 1[ contient tous les ( ) dès que est suffisamment grand.

c'est à dir

x x x

x

f l g f g

M

f l l l f x x

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞

= = +∞ ⇒ + = +∞

= − +

e qu'on a : 1 ( ) 1

lim signifie que tout intervalle ] ; [ contient toute les valeurs de ( ) dès que est assez grand.

( ) est supérieur à tout nombre réel choisit arbitrairement so

x

l f x l

g M g x x

cad g x

→+∞

− < < +

= +∞ +∞

it par exemple ( ) 1

d'où ( ) ( ) 1 1 soit ( ) ( ) ce qui signifie que la limite de est

g x M l

f x g x M l f x g x M f g

> + −

+ > + + − + > + + ∞

limite

b) Limite du produit de deux fonctions

0 0

limite '

limite ' ?

si f a pour l l

si g a pour l

alors f g a pour l l

≠ ∞

∞ ∞ ∞

× × ∞ ∞

limite 0 0

limite ' 0 ' 0 ne s'annule pas.

limite '

c) Limite du quotient de deux fonctions:

?

?

si f a pour l l

si g a pour l l g

f l

Alors a pour

g l

≠ ∞ ∞

∞

∞ ∞

Théorème: Soit une fonction définie sur un intervalle I à valeur dans un intervalle J, une fonction définie sur l'intervalle J.

L

3) Limite des fonctions composées

a composée de suivie de , notée f

g

f g est la fonction définie sur I par:

Pour tout réel de , ( ) ( ( )). ( ).

Exemple: ( ) 2 , ( ) 3 [ 3; [

est définie si ( ) 2 3 5 [ 5; [.

( ) 5.

f g

g g f

g f

x I g f x g f x g f f g

f x x D g x x D

g f f x D x x D

g f x x

= ≠

= + = = + = − +∞

∈ ⇔ + ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ = − +∞

= +

D

D

D D D

\ D

D

, , ' désignant des nombres réels, ou . lim ( )

lim ( ) '

lim (

Théorème: Limite

) '

x

x x l

l l

f x l

si alors g f x l

g x l

α

α

α

→

→

→

+ ∞ − ∞

= ⎫⎪⎬ =

= ⎪⎭ D

0

lim 1 0

: ( ) cos 1 , lim ( ) 1

lim cos 1

x

x x

Exemple f x x f x

x x

→+∞

→+∞

→

= ⎫⎪

= ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎬⇒

⎝ ⎠ = ⎭⎪ =

Théorème: étant un nombre réel, . et deux fonctions définies sur un intervalle I.

Si pour tou

4) Limites par comparai os n

t , ( ) ( ) et lim ( ) , : lim ( ) .

Si pour tout ,

x x

ou f g

x I f x g x g x alors f x

x I

α α

α

→ →

+ ∞ − ∞

∈ ≥ = +∞ = +∞

∈ ( ) ( ) et lim ( ) , : lim ( ) .

x x

f x g x g x alors f x

α α

→ →

≤ = −∞ = −∞

Exemple: Déterminer la limite de la fonction ( ) sin en et en .

, : 1 sin 1 1 ( ) 1.

( ) 1 et lim ( 1) lim ( ) .

( ) 1 et lim ( 1) lim ( ) .

x x

x x

f x x x

Pour tout x on a x x f x x

f x x x f x

f x x x f x

→+∞ →+∞

→−∞ →−∞

= + + ∞

∈ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ +

≥ − − = +∞ ⇒ = +∞

≤ + + = −∞ ⇒ = −∞

\

− ∞

étant un nombre réel, , un réel.

, , trois fonctions définie sur un intervalle I.

( ) ( ) ( )

si pour tout on a: lim ( )

lim ( ) : Théorème des Gendarmes

lim ( ) ^x

ou l

f g h

h x f x g x

x I alors f x l

h x g x l α

α

→

+ ∞ − ∞

≤ ≤

∈ ⎧⎪⎨⎪⎩ = = =

: Soit un nombre réel, 0 D'après les définitions précédentes:

lim ( ) signifie que l'intervalle ] ; [ contient tous les réels ( ) dès que est

Démonstration

assez proche de : ( )

x

r r

h x l l r l r h x

x c a d l r h x

α

α

→

>

= − +

− < <

lim ( ) signifie que l'intervalle ] ; [ contient tous les réels ( ) dès que est assez proche de : ( )

comme on a pour tout réel : ( ) ( ) ( ) alors ( ) ( ) ( ) ce

x

l r

g x l l r l r g x

x c a d l r g x l r

x h x f x g x l r h x f x g x l r

α

α

→

+

= − +

− < < +

≤ ≤ − < ≤ ≤ < +

qui signifie que tous les réels ( ) sont tous dans l'intervalle ] ; [, dès que est assez proche de Donc lim ( ) .

x

f x l r l r

x f x l

α α

→

− +

= Exemple:

( ) sin calculer lim ( ).

1 sin 1

Pour tout 0, 1 sin 1

lim 1 0, le théorème des gendarmes permet de conclure que lim ( ) 0.

x

x x

f x x f x

x

x x x

x x x

x f x

→+∞

→+∞ →+∞

=

> − < < ⇔ − < <

= =

Si les théorème sur les opérations ne permettent pas de conclure, cad on a une frome indéterminée, Pour lever cette indétermination on utilise l'une des technique suivantes:

* Mise Techniques:

en facteur du terme dominant

* Multiplier par l'expession conjuguée

* Utiliser le taux d'accroissement

( ) ( )

( )

2

2

x2 x x

x x x

+ + + +

2

5 3 2

2

5 3 5

2 5

2

Exemples: Calculer les limites suivantes lim ( 2 3) , lim ; lim cos 2

2 3

lim ( 2 3) lim (1 ) . lim 0 .

lim

x x x

x x x n

x

x x x

x x x

x x x x x x

x

x x x car k pour n

x x x

x x x

π π

→+∞ →+∞ →

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞

+ − ×

+ − = =

− + + −

−

− + = − + = +∞ = ∈

+ − = +∞ − ∞

`

2

2

2 2

1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1

0. lim 1 1, ' lim .

2

x x

x x x x

x x x

x x x x x x

x x x x

x x x car x d où x x x

→+∞ x →∞

= = = =

+ + ⎛ + ⎞+ + + + + + +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = > + = + − =

2 2

cos est déivable sur , donc en (cos ) ' sin . 2

( ) ( )

cos 2

lim lim '( ) sin( ) 1

2 2

2 2

x x

x x x et

f x f

x f

x x

π π

x x

π

π π π

π π

→ →

= =

= − = = − = −

− −

6 \ −

II CONTINUITE 1) Définitions

Une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant le réel est dite continue en signifie que:

lim ( ) ( )

est continue sur l'intervalle si elle est continue en tout réel de . es

x a

f I a a

f x f a

f I I

f

→ =

•

• t continue sur l'intervalle [ ; ] signifie que:

est continue sur l'intervalle ouvert ] ; [ lim ( ) ( ) et lim ( ) ( )

x a x b

x a x b

a b

f a b

f x f a f x f b

→ →

> <

∗

∗ = =

Dans le dernier cas on parle de continuité à droite du réel et à gauche du réel . Remarque:

on dit qu'une fonction est continue en un réel si elle est continue à gauche et à droite de , et en pl

a b

a a

∗

us lim ( ) lim ( ) ( )

Si est continue sur un intervalle , sa courbe ne présente aucune rupture sur cet intervalle.

x a x a

x a x a

f x f x f a

f I

→ →

> <

= =

∗

Etude d’une fonction discontinue : Partie entière : L

Défin ti ion a fonction partie entière, notée est définie sur par:

( ) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à :

1 ( )

Exemple:

2 1 ( ) 2 ; 1 0 ( ) 1 ; ( ) 3 ; (

E

E x x

si n x n alors E x n

x E x x E x E π E

≤ < + =

− ≤ < − ⇒ = − − ≤ < ⇒ = − =

\

) 2;

e = "

Courbe de la fonction ( ) sur l'intervalle [ 2;3]E x −

1 1

La fonction ( ) n'est pas continue sur l'intervalle [ 2;3]

lim ( ) 2

( ) n'est pas continue en 1.

lim ( ) 1

x x

E x E x

E x x

E x

−

+

→−

→−

−

= − ⎫⎪⎬⇒ =

= − ⎪⎭ −

: int L

int .

Attention:

Théorème Toute fonction dérivable sur un ervalle I est continue sur cet ervalle a réciproque est fausse.

( ) ( )

: Pour tout réel de , est dérivable lim , .

( ) ( ) Considérons la fonction définie sur { }par: ( )

on a donc ( ) ( ) ( ) ( ), par passage

x a

f x f a

Démonstration a I f en a l l un réel

x a f x f a

g I a g x

x a f x x a g x f a

→

⇔ − =

−

− = −

−

= − × + à la limite, on obtient:

lim ( ) 0 ( ) ( ) ( ) la fonction est continue en .

x a f x g a f a f a donc f a

→ = × + =

0

0 0 0

Réciproque: Toute fonction continue n'est pas forcément dérivable.

Contre exemple: ( ) .

lim ( ) 0 (0) est continue en 0.

lim ( ) lim lim 1 est dérivable à gauche de 0, '(0)

x

x x x g

f x x

f x f f

f x x x

f f

x x x

− − −

→

→ → →

=

= =

= = − = − = −

0 0 0

1 lim ( ) lim lim 1 est dérivable à droite de 0, '(0) 1

n'est pas dérivable en 0 car '(0) '(0).

x x x d

g d

f x x x

f et

x x x

f f f

+ + +

→ = → = → = =

≠

f

0

Propriétés (admises):

Les fonctions sont continues sur .

Les fonctions sont continues sur ( ).

Les fonctions 1 sont continues sur et . Toutes fonction rati

n n

k k k

n

x x

x a x fonctions polynômes

x x

=

∗− ∗+

∗

∗

∗

∗

∑

6 \

6 \

6 \ \

onnelle est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition.

2 2 2

2 2

Exemple : fonction définie par morceau

( ) 3 2

, lim ( ) 1 lim ( ) 1

( ) 5 2

est continue sur ] ; 2[ et sur [2; [.

Comme lim ( ) lim ( ) alors est continue en 2, donc

x x

x x

f x x si x

f x f x

f x x si x

f

f x f x f

− +

− +

→ →

→ →

= − <

⎧ = − = −

⎨ = − ≥

⎩

− ∞ +∞

= f est continue sur .\

Soit une fonction continue sur un intervalle , et deux réels de .

Pour tout réel compris entre ( ) et ( ), il existe aus moins un réel ,

compris

Théorèmedes valeurs intermédiaires:

entre et

f I

a b I

u f a f b

c

a b tel que ( )f c =u

: Soit une fonction continue est strictement monotone sur . L'image de l'intervalle par est un intervalle .

Pour tout réel de , l'équation ( ) admet une unique solution dans .

f I

I f J

k J

Théorème

f x =k I

Supposone strictement croissante sur [ ; ], ( ) [ ( ); ( )]

D'après le théorème des valeurs intermédiaires:

l'équation ( ) admet au moins une solution dans l'intervalle i

: Démonstrat

. So t

f I a b f I J f a f b

f x k c I

ion = = =

=

un réel appartenant à avec , comme est croissante on a:

Ou bien et alors ( ) ( ) Ou bien et alors ( ) ( )

Ainsi pour tout réel de : ( ) ( ) ( ),

ce qui sign

x I x c f

x c f x f c

x c f x f c

x I x c entraîne implique f x f c

≠

< <

> >

≠ ≠

ifie que est l'unique réel, solution dans de l'équation ( )c I f x =k.

: III Dérivées

1) Fonctions dérivées et opérations Rappel

Définition: Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert , un réel de . ( ) ( )

est dérivable en si : lim existe , cette

x a

f I a I

f x f a

f a

→ x a

−

− limite est notée '( ) .

'( ) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe _f au point d'abscisse .

f a appelée nombre dérivé de f en a

f a C x=a

Remarque: Dérivabilité à gauche et à droite

( ) ( )

est dite dérivable à gauche de si: lim '( ) : nombre dérivé à gauche.

( ) ( )

est dite dérivable à droite de si: lim '( ) :

x a g

x a d

f x f a

f a f a

x a f x f a

f a f a

x a

−

+

→

→

− =

−

− =

− nombre dérivé à droite.

On dit que est dérivable en si '( ) '( ).

Graphiquement, cela signifie que :

la courbe admet à gauche de une demi tangente de coefficient directeur '( ).

la courbe

g d

f g

f a f a f a

C a f

C

=

admet à droite de une demi tangente de coefficient directeur '( ).

f a fd

a a

1

4

La courbe C est celle d'une fonction non dérivable en ( ), mais dérivable à gauche et à droite, elle possède deux demi-tangentes de coefficients directeurs différents. Idem pour C .

La cou

x=a abscisse de A

rbe C est celle d'une fonction dérivable en 2 x=a.

1

1

2

2

'

, 0

, ,

1 , ] ; 0[ ]0; [

1 ]0; [

2

cos sin

sin cos

t 1

2) Tableau des dérivées usuelles

an 1 tan ] ; 0

cos 2

n n

n n

x x

fonction f fonction f Intervalle de validité k k un réel

ax b a et b des réels a

x n nx

n n et

x x

x

x

x x

x x

e e

x x

x

π

−

+

+

∈

∈ − − ∞ +∞

+∞

−

+ = −

\

\

` \

`

\

\

\ ] [0;

2[

( ) '( ) intervalle où g est dérivable

et

g ax b a g ax b

π

+ × +

2

2

soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle et un entier naturel.

' ' ' '

1 '

, 0

' '

, 0

' '

, 0 '

2

u ' u

u v I n

fonction f fonction f

k u k u

u v u v

u u

u u

u u v uv

v v v

u v u v uv

u u u

u

e u e

× ×

+ +

≠ −

≠ −

× +

>

: Dérivée et opérations

:

3) Dérivée de la composée de deux fonctions:

Théorème Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle à valeur dans et une fonction dérivable dans .

La composée de suivie de , ,

u I J

v J

u v v uD est dérivable sur , et on a: I

(

)

( )

' 1

Soit une fonction dérivable sur et un entier naturel non nul.

' '

1 '

n n

n n

u I n

u nu u

nu

u u

−

+

=

⎛ ⎞ =−

⎜ ⎟

⎝ ⎠ Application:

1

1 1

1

( ) ( ) ( ) avec ( ) , '( )

( ) ' ' '( ) ' ( ) donc : '( ) ' .

1 1

( ) ( ) avec ( ) , '( ) le même raisonnement d

Démonstration:

onne: '( )

n n n

n n

n n n

f x u x v u x v x x v x nx

v u u v u u n u f x nu u

f x v u x v x v x n

u x x

f x nu

−

− −

+

= = = =

= × = × × =

= = = = −

=− D

D

D

1

'. un⁺

( )

3

2

2 2

: Calculer la dérivée première des fonctions suivantes:

( ) 2 ; ( ) 2 cos ; ( ) 1

( 3)

( ) avec 2, ' 1

2

1 3( 2)

'( ) 3 ' 3 Exemples

( 2) .

2 2

( ) '( ) ' avec 2 cos '

2

f x x g x x h x

x

f x u u x u donc

x

f x u u x x

x x

g x u donc g x u u x et u

u

= + = + =

+

= = + =

= = × × + = +

= = = +

2

3 4

2 4

sin

'( ) sin .

2 2 cos

1 3 '

( ) , avec 3 , ' 2 '( )

'( ) 6 .

( 3)

x donc g x x

x

h x u x u x et h x u

u u

donc h x x x

= −

= − +

= = + = = −

= − +