Fonctions Dérivées et Applications

Institut Saint Dominique

Mathématiques 5^ième secondaire 4 Périodes/Semaine

Fonctions Dérivées et Applications

Anouchka PLAS

2019-2020

Table des matières

1 Calcul de la variation d’une fonction 4

1.1 Variation d’une fonction . . . 4

1.2 Taux moyen de variation . . . 4

1.3 Taux instantané de variation . . . 5

1.4 Nombre dérivé def ena . . . 5

1.5 Interprétation géométrique de la dérivabilité . . . 6

2 Fonction dérivée d’une fonction f 8 2.1 Définition . . . 8

2.2 Interprétation géométrique de la fonction dérivée . . . 8

2.3 Equation de la tangente . . . 8

2.4 Dérivée des fonctions usuelles . . . 9

2.4.1 Fonction constante . . . 9

2.4.2 Dérivée de x . . . 9

2.4.3 Dérivée de x² . . . 10

2.4.4 Dérivée de xⁿ . . . 10

2.4.5 Dérivée de √ x . . . 11

2.4.6 Dérivée de _x¹ . . . 11

2.5 Tableau récapitulatif des dérivées des fonctions usuelles . . . 12

3 Comportement avec les opérations sur les fonctions 13 3.1 Somme de deux fonctions . . . 13

3.2 Différence de deux fonctions . . . 13

3.3 Produit de deux fonctions . . . 14

3.4 Quotient de deux fonctions . . . 15

3.5 Tableau récapitulatif . . . 16

3.6 Composée de fonctions . . . 16

Introduction

la dérivée décrit les variations d’une quantité. Elle permet de définir des notions cruciales en sciences telles que la vitesse, l’accélération, la courbure, les densités, et bien d’autres encore.

Tracer le graphique d’une fonction du second degré, rechercher son maximum ou son minimum, déterminer des intervalles de croissance ou de décroissance ne posent guère de difficultés dès que l’on connait les caractéristiques de cette fonction. Il en va autrement pour des fonction polynômes d’un degré supérieur ou pour des fonctions dont l’expression est plus élaborée.

Historiquement, le concept de dérivée a été élaboré au XV II^e siècle quasi simultanément par deux mathématiciens : l’anglais Newton, tandis qu’il formalise l’étude du mouvement des corps et l’allemand Leibniz dans sa recherche de problèmes de tangentes

1 Calcul de la variation d’une fonction

1.1 Variation d’une fonction

Regarder la variation d’une fonction, revient à trouver l’inclinaison ou la pente de la tangente au graphe d’une fonction f au point (a, f(a)), comme dans le graphique ci-dessous.

x y

1 1

a f(a)

L’idée est d’approximer la tangenteen choisissant un pointx∈domf\ {a} tel quex=a+h et en traçant la droite sécante passant par (a, f(a)) et (a+h, f(a+h)).

x y

1 1

a f(a)

a+h f(a+h)

Remarquons que la pente de cette sécante est donnée par

∆y

∆x = f(a+h)−f(a)

h .

1.2 Taux moyen de variation

Le taux moyen de variation sur l’intervalle [a;a+h] est le quotient

∆y

∆x = f(a+h)−f(a)

h .

qui s’interprète graphiquement par la pente de la sécante passant par (a, f(a)) et (a+ h, f(a+h)).

Définition - taux moyen de variation

Lorsque x s’approche de a, on remarque que la sécante s’approche de la tangente.

x y

1 1

1.3 Taux instantané de variation

Pour obtenir la tangente, on fait tendre x vers a, ce qui revient à faire tendre h vers 0. La droite résultante a comme pente

h→0lim

f(a+h)−f(a)

h .

Ceci nous permet de définir le taux instantané de variation

Le taux instantané de variation sur l’intervalle [a;a+h] est quant à lui, la limite du quotient

h→0lim

∆y

∆x = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h .

qui s’interprète graphiquement par la pente de la tangente passant par (a, f(a)).

Définition - taux instantané de variation

1.4 Nombre dérivé de f en a

Cette pente de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a définit la valeur de la dérivée en ce point, que l’on nommeranombre dérivé de f en a. Il se notef⁰(a).

On suppose la fonction f dérivable ena. Elle admet donc une tangente au point d’abscisse a, d’équation y =mx+p.

Si la limite

h→0lim

f(a+h)−f(a) h

existe et est réelle, alors le nombre f⁰(a)= lim^déf

h→0

f(a+h)−f(a) h

est appelé le nombre dérivé def ena.

Définition - Nombre dérivé

• f estdérivable en a si le nombre dérivé de f ena a un sens et existe.

• f estdérivable si elle est dérivable en tout point de son domaine.

Propriété - dérivabilité

1.5 Interprétation géométrique de la dérivabilité

• Une fonction estdérivableen un point si son graphique admet une tangente non ver- ticale en ce point.

Par exemple,la fonction ci-dessous est dérivable partout sauf en 0, où la tangente est verticale.

x y

1 1

• Lorsqu’une fonction estdérivableen un point, la dérivée est la pentede la tangente, et donc donne une information sur l’inclinaison de cette dernière.

.

x y

1 1

Nous verrons que cela implique que la fonction croîtlocalement.

.

x y

1 1

Nous verrons que de tels points sont souvent des extrémums de fonctions, mais pas toujours comme le montre le graphe suivant.

x y

1 1

.

x y

1 1

Nous verrons que cela implique que la fonction décroît localement.

2 Fonction dérivée d’une fonction f

2.1 Définition

La fonction dérivée def est la fonction qui à chaquex∈domf oùf est dérivable associe le nombre dérivé def enx. On la note f⁰.

Définition - Fonction dérivée

2.2 Interprétation géométrique de la fonction dérivée

La fonction dérivée associe à chaque x ∈ R l’“inclinaison” du graphique de f lorsque cette dernière a un sens et n’est pas verticale.

x y

1 1

2.3 Equation de la tangente

Rappelez-vous que l’inclinaison du graphique se mesure en regardant la valeur de la tangente d’équation y =mx+p.

Étape 1 Si elle est inconnue, on calcule la pente via m ^déf= ∆y

∆x

Étape 2 La droite de pente m passant par (α, β) a pour équation y=m(x−α) +β.

Rappel - Déterminer l’équation d’une droite

Pour caractériser l’équation de la tangente, il nous faut donc la pente et un point par lequel elle passe. Informations dont nous disposons :

1. la tangente admet f⁰(a) comme pente.

2. la tangente passe par (a, f(a)) ;

La tangente au graphique def au point (a;f(a)) est une droite dont on connait un point et la pentem =f⁰(a). Son équation est :

Tf,a≡y=f⁰(a)(x−a) +f(a),

Définition - Équation de la tangente

x y

1 a 1

f(a)

2.4 Dérivée des fonctions usuelles

2.4.1 Fonction constante

Soit k ∈ R une constante. Calculons la dérivée de f(x) = k en un a ∈ R quelconque. Pour x∈R\ {a}, analysons le quotient différentiel

f(a+h)−f(a)

h = k−k

h = 0.

En faisant tendre h vers 0 des deux côtés, on obtient f⁰(a) = 0.

Ce résultat est évident intuitivement puisque la tangente en tout point est exactement f, et f a une pente nulle.

x y

1 1

La dérivée d’une fonction constante f(x) = k est donc f⁰(x) = 0. Nous noterons parfois (k)⁰ = 0.

dérivée fonction constante

2.4.2 Dérivée de x

Calculons la dérivée de f(x) = x en un a ∈ R quelconque. Pour x ∈ R\ {a}, analysons le quotient différentiel

f(a+h)−f(a)

h = a+h−a h = 1.

En faisant tendre h vers 0 des deux côtés, on obtient f⁰(a) = 1.

Ce résultat est évident intuitivement puisque la tangente en tout point est exactement f, et f a une pente égale à 1.

x y

1 1

La dérivée de la fonctionf(x) =x est doncf⁰(x) = 1. Nous noterons parfois (x)⁰ = 1.

dérivée fonction x

2.4.3 Dérivée de x²

Calculons la dérivée de f(x) = x² en un a ∈ R quelconque. Pour x ∈ R\ {a}, analysons le quotient différentiel

f(a+h)−f(a)

h = (a+h)²−a² h

= a²+h²+ 2ah−a² h

=h+ 2a En faisant tendre h vers 0 des deux côtés, on obtient

f⁰(a) = 2a.

La dérivée de la fonctionf(x) =x² est donc f⁰(x) = 2x. Nous noterons parfois (x²)⁰ = 2x.

dérivée fonction x

2.4.4 Dérivée de xⁿ

La démonstration pour obtenir la dérivée de xⁿ fait appel à des notions qui n’ont pas encore été vues en 5^ième. Nous la laisserons volontairement de côtés.

La dérivée de la fonctionf(x) =xⁿ estf⁰(x) =nxⁿ⁻¹. Nous noterons parfois (xⁿ)⁰ =nxⁿ⁻¹.

dérivée fonction x

2.4.5 Dérivée de √ x

Calculons la dérivée de f(x) =√

x en un a∈R⁺0 quelconque. Pour x∈R⁺0 \ {a}, analysons le quotient différentiel

f(a+h)−f(a)

h =

√a+h−√ a h

=

√a+h−√ a

h ·

√a+h+√

√ a

a+h+√ a

= (√

a+h)²−(√ a)² h(√

a+h+√ a)

= (a+h)−a h(√

a+h+√ a)

= 1

√a+h+√ a En faisant tendre h vers 0 des deux côtés, on obtient

f⁰(a) = 1 2√ a

La dérivée de la fonctionf(x) =√

x est doncf⁰(x) = ₂^√1_x. Nous noterons parfois (√

x)⁰ = 1 2√

x.

dérivée fonction √ x

2.4.6 Dérivée de _x¹

Calculons la dérivée de f(x) = _x¹ en un a ∈ R⁰ quelconque. Pour x ∈ R⁰ \ {a}, analysons le quotient différentiel

f(a+h)−f(a)

h =

1 a+h − ¹_a

h

=

a−(a+h) a(a+h)

h

=− 1

a(a−h) En faisant tendre h vers 0 des deux côtés, on obtient

f⁰(a) = −1 a².

La dérivée de la fonctionf(x) = ¹_x est doncf⁰(x) =−_x¹2. Nous noterons parfois

1 x

⁰

=− 1 x².

Dérivée de

2.5 Tableau récapitulatif des dérivées des fonctions usuelles

Fonction f(x) Dérivée f⁰(x)

k k⁰ = 0

x x⁰ = 1

kx (kx)⁰ =k

x² (x²)⁰ = 2x xⁿ (xⁿ)⁰ =nxⁿ⁻¹

1

x (¹_x)⁰ = ⁻¹_x2

√x (√

x)⁰ = ₂^√1_x sinx (sinx)⁰ = cosx cosx (cosx)⁰ =−sinx

tanx (tanx)⁰ = 1

cos²x

3 Comportement avec les opérations sur les fonctions

Dans cette section, nous allons regarder comment dériver la somme, le produit, le quotient et la composée de différentes fonctions.

3.1 Somme de deux fonctions

Soient f, g deux fonctions dérivables en a∈R. Alors f+g est dérivable ena et (f+g)⁰(a) = f⁰(a) +g⁰(a).

Proposition - Dérivée d’une Somme

Démonstration

Le quotient différentiel de f +g entre a eta+h s’écrit : (f +g)(a+h)−(f +g)(a)

a+h−a = f(a+h)−f(a)

h +g(a+h)−g(a)

h .

En faisant tendre h vers 0 des deux côtés, on obtient

(f +g)⁰(a) =f⁰(a) +g⁰(a).

Exemple

Soit f la fonction définie par

f(x) =x⁴+√ x.

Pour tout x∈R⁺0, on a

f⁰(x) = 4x³+ 1 2√

x.

3.2 Différence de deux fonctions

Soient f, g deux fonctions dérivables en a∈R. Alors f−g est dérivable ena et (f−g)⁰(a) = f⁰(a)−g⁰(a).

Proposition - Dérivée d’une Différence

Démonstration

Le quotient différentiel de f −g entrea eta+h s’écrit : (f−g)(a+h)−(f −g)(a)

a+h−a = f(a+h)−f(a)

h − g(a+h)−g(a)

h .

En faisant tendre h vers 0 des deux côtés, on obtient

(f −g)⁰(a) =f⁰(a)−g⁰(a).

Exemple

Soit f la fonction définie par

f(x) = 1

x−cosx.

Pour tout x∈R0, on a

f⁰(x) = −1

x² + sinx.

3.3 Produit de deux fonctions

Soient f, g deux fonctions dérivables en a∈R. Alors (f ·g) est dérivable en a et (f·g)⁰(a) = f⁰(a)·g(a) +f(a)·g⁰(a).

Proposition - Dérivée d’un Produit

Démonstration

Le quotient différentiel de (f ·g) entre a eta+h s’écrit (f·g)(a+h)−(f·g)(a)

a+h−a = f(a+h)·g(a+h)−f(a)·g(a) h

= f(a+h)·g(a+h)−f(a)·g(a+h) +f(a)·g(a+h)−f(a)·g(a) h

= f(a+h)−f(a) h

!

g(a+h) +f(a) g(a+h)−g(a) h

!

.

En faisant tendre h vers 0 des deux côtés, et en se souvenant qu’alors g(a+h) tend vers g(a) par continuité, on obtient

(f ·g)⁰(a) =f⁰(a)·g(a) +f(a)·g⁰(a).

Exemple

Soit f la fonction définie par

f(x) = x²sinx.

Pour tout x∈R, on a

f⁰(x) = (x²)⁰·sinx+x²·(cosx)⁰

= 2xsinx+x²cosx.

3.4 Quotient de deux fonctions

Soient les fonctions f, g,^f_g dérivables en a ∈ R et g(a) 6= 0 . Alors ^f_g est dérivable en a et :

f g

!0

(a) = f⁰(a)·g(a)−f(a)·g⁰(a) g²(a)

Proposition - Dérivée d’un Quotient

Démonstration On a :

f g ·g

!

(a) =f(a) f

g ·g

!0

(a) =f⁰(a) En utilisant la formule de la dérivée du produit, on a :

f⁰(a) = f g ·g

!0

(a) = f g

!0

(a)·g(a) + f g

!

(a)·g⁰(a)

En isolant ^f_g⁰(a)·g(a) dans l’expression ci-dessus, on obtient : f

g ·g

!0

(a) =f⁰(a)− f g

!

(a)·g⁰(a)

=f⁰(a)− f(a)

g(a) ·g⁰(a)

=f⁰(a)·g(a)−f(a)·g⁰(a) g(a)

En isolant ^f_g⁰(a) dans l’expression ci-dessus, on obtient : f

g

!0

(a) =f⁰(a)·g(a)−f(a)·g⁰(a) g²(a)

Notons le cas particulier pour lequel f = 1 : 1 g

!0

(a) =−g⁰(a) g²(a) Exemple

Soit f la fonction définie par

f(x) = x³−1 x²+ 2.

Pour tout x∈R, on a

f⁰(x) = (x³−1)⁰·(x²+ 2)−(x³−1)·(x²+ 2)⁰ (x²+ 2)²

= 3x²·(x²+ 2)−(x³ −1)·2x (x²+ 2)²

= x⁴+ 6x²+ 2x (x²+ 2)² .

3.5 Tableau récapitulatif

Fonction Dérivée Exemple

f+g (f +g)⁰ =f⁰+g⁰ (x²+ 4x)⁰ = 2x+ 4 f −g (f−g)⁰ =f⁰−g⁰ (x²−4x)⁰ = 2x−4

f·g (f·g)⁰ =f⁰·g+f ·g⁰ (3x·cosx)⁰ = 2·cosx+ 3x·(−sinx)

f g

_f

g

0

= ^f0·g−f·g_g2 ⁰

_5x−1

x²

0

= ^{5·x2−(5x−1)·2x}_(x2)² = ^2−5x_x3

3.6 Composée de fonctions

Soit :

1. f une fonction dérivable en a; 2. g une fonction dérivable en f(a).

Alorsg◦f est dérivable en a et

(g◦f)⁰(a) = g⁰(f(a))f⁰(a).

Proposition - Dérivée d’une Composée

Démonstration

On va prouver ce résultat dans le cas particulier où f est injectivec’est-à-dire qu’elle associe des images différentes à chaque valeur de sa variable.

Le quotient différentiel de g◦f entrea et a+h s’écrit (g◦f)(a+h)−(g◦f)(a)

a+h−a = g(f(a+h))−g(f(a)) h

= g(f(a+h))−g(f(a))

h ·f(a+h)−f(a) f(a+h)−f(a).

= g(f(a+h))−g(f(a))

f(a+h)−f(a) · f(a+h)−f(a)

h .

Notons que l’hypothèse d’injectivité nous assure qu’il n’y a pas de division par 0.

En faisant tendre h vers 0 des deux côtés, et en se souvenant qu’alors f(a+h) tend vers f(a) par continuité, on obtient

(g◦f)⁰(a) =g⁰(f(a))f⁰(a).

Exemple

Soit f la fonction définie par

f(x) = sin(4x+ 1).

Pour tout x∈R, on a

f⁰(x) = cos(4x+ 1)·(4x+ 1)⁰ = 4 cos(4x+ 1).

Tableau récapitulatif

Fonction Dérivée uⁿ nuⁿ⁻¹·u⁰

1 u

−u⁰ u²

√u u⁰ 2√ u sinu u⁰·cosu cosu u⁰·(−sinu) tanu _cos^u2⁰u