FONCTIONS DÉRIVÉES I. Savoir calculer une dérivée :

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FONCTIONS DÉRIVÉES I. Savoir calculer une dérivée :

• Exemple : Calculer la dérivée f x_′

( )

f x =3x⁴+5x−1 g x( )

= x3 h x( )

= x3

2 k x( ) x

= 2x+1

2

• Méthode :

On utilise les formules du calcul des dérivées.

f(x) f '(x) f(x) f '(x)

ax + b axⁿ

1 x x

a nax^n-1

− 1 x2

1 2 x

u(x) + v(x) u.v

1 u u v

u'(x) + v'(x) u'.v + u.v'

− u′ u²

′ − ′ u v uv

v²

• Solution :

( ) ( )

f x =3x⁴+ − ⇒ ′ =5x 1 f x 12x³+5

( ) ( )

g x x g x

= ⇒ ′3 = −x3

2

( ) ( ) ( )

( )

h x x h x x

x f x x

= 3 ⇒ ′ = −3 2 ⇒ ′ = −6x

2 2 2 4

( ) ( )

( )

( )

k x x

x k x x x x

x k x x x x

= + x

⇒ ′ = − +

⇒ ′ = − −

2 1 2 2 1 2 2 4 2

2

2

2 2

2 2

4

( ) ( ) ( )

⇒ ′ = − −

⇒ ′ = − +

k x x x

x k x x x

x

2 ² 2 2 1

4 4

II. Établir le tableau de variation d'une fonction avec la dérivée :

• Exemple : Étudier les variations de la fonction définie par f x( )=x² −2x

• Solution : f x_′

( )

D'où f x′

( )

( ) ( )

x > ⇒ ′1 f x > ⇒0 f x ↑

( ) ( )

x < ⇒ ′1 f x < ⇒0 f x ↓ Comme on a f

( )

on obtient le tableau suivant :

x - ∞ 1 + ∞

′

( )

f x – 0 +

( )

-1

+ ∞

-2 -1 0 1 2 3 4

-1 0 1 2 3

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III. Déterminer un maximum ou un minimum avec la dérivée :

• Exemple : dans une entreprise, le coût de stockage d'une marchandise en fonction de la quantité q achetée est donné par la formule ^{C q}

( )

=400 + 90000q

pour ^q∈

[ ]

Quelle est la valeur de q qui rend minimale le coût de la gestion du stock ?

• Solution :

On étudie les variations de la fonction ^{C q}

( )

=400 +90000q

( )

′ = − = −

= −

C q q

q q

q 400 90000 400 90000 q

400 225

2

2 2

2 2

( ) ( )( )

′ = + −

C q q q

400 15q 15

2

Donc C q′

( )

(

)(

)

( )

On obtient le tableau de variations suivant :

q 1 15 50

( )

′

C q – 0 +

( )

C q

90400

12000

21800

IV. Déterminer la tangente à une courbe avec la dérivée :

• Exemple : soit f fonction définie par f x

( )

= − x−

2

2 3

2 2, (C ) sa courbe représentative et M le point de (C ) d'abscisse 3.

Donner l'équation de la tangente (T ) à (C ) au point M.

• Solution :

On calcule le nombre dérivé a= ′f ( )3 de la fonction f au point M d'abscisse 3.

( ) ( ) ( )

′ = − ⇒ ′ = − ⇒ ′ = =

f x x 3 f f a

2 3 3 3

2 3 3

2 .

a est le coefficient directeur de la tangente à (C ) au point M.

La tangente (T ) a donc une équation de la forme : y= 3x+b

2

Elle passe par ^{M =}

(

)

(

)

Ainsi en M on a x=3 et y= −2 que l'on reporte dans l'équation de la droite pour obtenir b

− =2 3( )+ ⇒ = − − ⇒ = −

2 3 2 9

2

13

b b b 2

D'où l'équation de (T ) : y= 3x− 2

13 2

Quantité q

Coût C(q)

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

(C) (T) M