DS7. Fonctions et dérivées
Exercice 1 (bac)
Partie I
On considère la fonctionf définie sur l’intervalle [0 ; 10] par
f(x) =−0,4x2+ 4x−8.
1. Calculerf0(x)oùf0 désigne la dérivée de la fonctionf.
2. Étudier le signe def0(x)pour tout nombre réelxde l’intervalle [0 ; 10].
3. En déduire les variations de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 10].
4. Quel est le maximum de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 10] ? Partie II
Une petite entreprise fabrique des piscines hors sol. Pour des raisons de stockage la production mensuelleqest comprise entre 0 et 10 unités. Le coût total de fabrication mensuel, exprimé eu milliers d’euros, est donné par la fonction C définie sur [0 ; 10] par :
C(q) = 0,4q2+ 1,5q+ 8.
Chaque piscine est vendue 5,5 milliers d’euros.
1. Calculer la recette puis le bénéfice correspondant à 3 piscines.
2. Montrer que le bénéfice mensuelB(q), exprimé en milliers d’euros, est définie sur [0 ; 10] par B(q) =−0,4q2+ 4q−8.
3. En utilisantla partie I
(a) Déterminer pour quelles productions le bénéfice est positif.
(b) Déterminer le nombre de piscines à fabriquer et à vendre mensuellement pour que le bénéfice soit maximal.
(c) Quel est alors ce bénéfice maximal ?
Exercice 2 (bac)
Une entreprise produit des appareils électroménagers. Le coût horaire de production de xappareils est donné en euros par :
C(x) =x2+ 50x+ 100 pour 56x640.
1. L’entreprise vend chaque appareil100euros.
(a) Expliquer pourquoi le bénéfice horaire réalisé par la fabrication et la vente de xobjets est égal à :B(x) =
−x2+ 50x−100pour xappartenant à [5 ; 40].
(b) B0 étant la fonction dérivée de B sur [5 ; 40], calculerB0(x)et étudier son signe, (c) Dresser le tableau de variations de B.
(d) Quel est le nombre d’appareils à produire pour que le bénéfice horaire de l’entreprise soit maximal ? 2. Le coût moyen de production d’un objet est égal àf(x) = C(x)
x pourxappartenant à [5 ; 40].
(a) Montrer quef(x) =x+ 50 +100
x pourxappartenant à [5 ; 40].
(b) f0 étant la dérivée de la fonctionf sur [5 ; 40], montrer que : f0(x) = (x−10)(x+ 10)
x2 pourxappartenant à [5 ; 40].
(c) Étudier le signe def0(x)et dresser le tableau de variations def
(d) Pour quelle valeur dexle coût moyen est-il minimal ? Préciser alors sa valeur,
(e) Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on arrondira au centime d’euro) :
x 5 10 20 30 40
f(x)
(f) Tracer la courbe représentative def dans un repère orthogonal.
Unités graphiques : 1 cm pour cinq appareils en abscisse, 1 cm pour10euros en ordonnée.
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