DS7. Fonctions et dérivées. Correction.
Exercice 1 (bac)
Partie I
On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle [0 ; 10] par
f(x) =−0,4x2+ 4x−8.
1. f est dérivable sur [0 ; 10] et
f0(x) = 0.4×2×x+ 4×1−0donc f0(x) =−0,8x+ 4
2. f0(x)s’annule quand−0.8x+ 4 = 0 donc enx= 5. Elle est positive sur [0 ;5] et négative sur [5 ;10]. Voir tableau de signes.
3.
x 0 5 10
f0(x)
+
0-
f(x)
4. On voit donc quef atteint son maximum pour x= 5.
Ce maximum alors 2 .
Partie II
1. – La production deq piscines coûteC(q)euros, donc produire 3 piscines coûteraC(3)euros, soit0,4×32+ 1,5×3 + 8 milliers d’euros soit 16.1 milliers d’euros.
– Chaque piscine rapporte 5.5 mille euros, donc la vente de trois piscines rapporte 3×5.5milliers d’euros c’est-à-dire 16.5 milliers d’euros.
– Le bénéfice fait est la différence entre ce que la vente du produit a rapporté et ce que sa production a coûté : en l’occurrence, pour trois piscines, on fait un bénéfice de 16.5-16.1 soit 0.4 milliers d’euros c’est-à-dire 400 euros 2. Pourqpiscines, le raisonnement est le même que pour 3 piscines : Le bénéficeB(q)dégagé par la production puis la vente
deq piscines est la différence entre le prix de vente (5.5×qpour la vente deqpiscines) et le coût de production (C(q)) : B(q) = 5.5×q−C(q)soitB(q) = 5.5q−(0,4q2+ 1,5q+ 8)et doncB(q) =−0,4q2+ 4q−8.
3. C’est justement la fonction étudiée en partie I.
(a) En calculant les bénéficesB(q)pourq= 3,q= 4, etc... on voit que le bénéfice est positif à partir deq= 3et jusqu’à q= 7piscines.
(b) On a étudié la fonctionB(q)dans la partie I, en fait : elle est maximale pourq= 5piscines (voir tableau de variations de la partie I).
(c) Et le bénéfice est alors de 2 milliers d’euros.
Exercice 2 (bac)
Une entreprise produit des appareils électroménagers. Le coût horaire de production dexappareils est donné en euros par : C(x) =x2+ 50x+ 100 pour 56x640.
1. L’entreprise vend chaque appareil100euros.
(a) Même raisonnement que dans l’exercice 1 : prix de vente de x appareils : 100x. Coût de x appareils : C(x). Donc B(x) = 100x−C(x) et donc B(x) =
−x2+ 50x−100pourxappartenant à [5 ; 40].
(b) B est dérivable sur [5 ; 40] et
B0(x) =−2x+ 50.B0(x)s’annule quand−2x+ 50 = 0 donc enx= 25. Voir tableau de signes.
(c)
x 5 25 40
B0(x)
+
0-
B(x)
(d) On voit sur le tableau de variations qu’il faut fabriquer x= 25appareilspour faire un bénéfice maximal (ce bénéfice est alors de 525 euros).
2. f(x) =C(x)
x pourxappartenant à [5 ; 40].
1
(a) pourxappartenant à [5 ; 40] :
f(x) = C(x) x
= x2+ 50x+ 100 x
= x2 x +50x
x +100 x
= x+ 50 +100 x . (b) On calcule d’abord la dérivéef0def :
f est dérivable sur]− ∞; 0[∪]0; +∞[et f0(x) = 1 + 0−100x2 donc f0(x) = 1−100x2 .
Après, soit on développe l’expression (x−10)(x+ 10)
x2 et on vérifie qu’effectivement elle est égale àf0(x) soit on voit que :
f0(x) = x2−100x2 (réduction au même dénominateur) Doncf0(x) = (x−10)(x+10)
x2 (on reconnaît une identité remarquable).
(c) Le plus simple est de voir que sur [5 ;40],x+ 10est toujours positif ;x2 étant un carré, il est également positif : le
signe def0 est donc le signe dex−10:
x 5 10 40
x−10
-
0+
f0(x)
-
0+
f(x)
(d) On voit donc que le coût moyen est minimal pour une production dex= 10appareils, ce coût moyen valant alors 70 euros par appareil.
(e) x 5 10 20 30 40
f(x) 75 70 75 83.3 92.5
2
