T.ST GD Fonctions et dérivées. Correction.
DS 5. Fonctions et dérivées. Correction.
Exercice 1 (bac) (environ 5 points)
1. (a) f(0) =−1.
(b) f(x) = 0a deux solutions (l’axe des abscissesy= 0 et la courbeCf ont deux points d’intersection).
(c) f0(x) = 0n’a qu’une solution (là oùf atteint son minimum, la pente de la tangente vaut alors 0).
2. • f0(0) est la pente de la droite T, tangente à Cf en x= 0.
• f0(0) = xyB−yA
B−xA = −11 =−1.
• Donc f’(0)=-1
Exercice 2 (environ 5 points)
Soit la fonctionf :x7→0.5x2+ 0.2x+ 1.9.
1. x -2 -1 0 1 2
f(x) 3.5 2.2 1.9 2.6 4.3
2. L’image de -1 par la fonctionf est 2.2 carf(−1) = 2.2. Un antécédent de 3.5 parf est -2 carf(−2) = 3.5.
3. f est dérivable surIRet f0(x) = 0.5×2x+ 0.2×1 + 0
f0(x) =x+ 0.2 .
4. f0(0) = 0 + 0.2(on remplacexpar 0 dansf0(x)), donc f’(0)=0.2 .
f0(0)>0donc la pente de la tangente àfenx= 0est positive doncf est croissante au voisinage dex= 0.
5. Bonus :f0(x) = 0enx=−0.2, c’est là quef atteint son minimum.
Exercice 3 (environ 6 points)
1. On lit graphiquementf(4) = 3(faire les pointillés sur le graphe).
2. On lit graphiquement que les solutions def(x) = 3sont x= 0etx= 4(en effet,f(0) = 3etf(4) = 3).
3. • f0(1) est la pente de la droite T, tangente à Cf en
x= 1.
• f0(1) = xyB−yA
B−xA = −12 =−2.
• Donc f’(1)=-2
lcrg(x) = x−f(x) (1)
g(x) = x−(x−1)(x−3) (2) g(x) = x−`
x2−x−3x+ 3´
(3)
g(x) = −x2+ 5x−3 (4)
(5) 4. gest dérivable surIRet
g0(x) =−2x+ 5
5. ChetCgse croisent en deux points, d’abscisses approxi- mativesx1≈0.6etx2≈4.25. Ce sont les deux solutions de l’équationf(x) =h(x).
Exercice 4 (environ 4 points)
1. f est dérivable surIRet
f0(x) = 3×3x2−2.5×2x+ 2×1−0.
f0(x) = 9x2−5×x+ 2. 2. gest dérivable sur]0; +∞[et
g0(x) = 4×2√1x. g0(x) =√2x .
3. hest dérivable sur]− ∞; 0[∪]0; +∞[et h0(x) = 2x−−1x2.
h0(x) = 2x+x12 .
4. lest dérivable sur]− ∞; 0[∪]0; +∞[et l(x) =x−5doncl0(x) =−5x−6 donc
l0(x) =−x56 .
