Fonctions dérivées
Classe de 1ère
I - Fonctions dérivées
Définitions :
On dit qu’une fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable pour tout réel x de I.
Dans ce cas, la fonction f ′ définie sur I telle que : f ′ : I −→IR
x 7−→ f ′(x) est appeléefonction dérivéede f sur I.
Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par f (x)=x2. On a, pour tous réels a et h :
f (a+h)− f (a)
h = (a+h)2−a2
h = 2ah+h2
h =2a+h
Or 2a+h tend vers 2a lorsqueh tend vers 0 donc f est dérivable sur IR et f ′(x)=2x. La fonction f : x 7−→2x est la dérivée de la fonction carrée sur IR.
Propriété : De la même manière que dans l’exemple précédent, on peut en déduire le tableau suivant des dérivées de fonctions usuelles.
Fonction f Ensemble de définition de f
Fonction déri- vée f ′
Ensemble de définition de f ′ f (x)=k, k ∈IR IR f ′(x)=0 IR
f (x)=x IR f ′(x)=1 IR
f (x)=x2 IR f ′(x)=2x IR
f (x)=xn IR f ′(x)=nxn−1 IR f (x)= x1 IR∗ f ′(x)= −x12 IR∗
f (x)=p
x [0;+∞[ f ′(x)= 2p1x ]0;+∞[
Remarque : Une fonction et sa dérivée n’ont pas nécessairement le même ensemble de définition comme par exemple pour f (x)=p
x.
II - Dérivées et opérations
Propriété : Considérons deux fonctions u et v toutes deux dérivables sur un même intervalle I.
La fonction est dérivable sur et sa dérivée est
f (x)=ku(x),k ∈IR I f ′(x)=ku′(x)
f (x)=u(x)+v(x) I f ′(x)=u′(x)+v′(x)
f (x)=u(x)×v(x) I f ′(x) = u′(x)×v(x)+u(x)× v′(x)
f (x)= u(x)v(x) I f ′(x)= u′(x)×v(x)[v(x)]−u(x)2 ×v′(x)
Preuve : Admise
Exemple : Déterminons les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
1) Si f (x)=3x2 sur IR alors f (x)=3×u(x) avecu(x)=x2 etu′(x)=2x. On en déduit :
.
2) Si g(x)=5x2−3x sur IR alors g(x)=u(x)+v(x) avecu(x)=5x2 et v(x)= −3x. u′(x)=10x et v′(x)= −3
On en déduit :
g′(x)=10x−3 sur IR .
3) Si h(x)= 3xx2+−12 sur IR alors h(x)= u(x)v(x) avecu(x)=3x−2 et v(x)=x2+1.
u′(x)=3 et v′(x)=2x On en déduit :
h′(x)= 3×(x2+1)−(3x−2)×2x
(x2+1)2 = 3x2+3−6x2+4x
(x2+1)2 = −3x2−2x
(x2+1)2 sur IR
III - Composition de fonctions et dérivation
Propriété : soit I un intervalle et a et b deux nombres réels. Soit J l’intervalle formé des valeurs prises par ax+b lorsque x décrit l’intervalle I.
Si g est une fonction dérivable sur J, alors la fonction f définie sur I par f : x 7−→ g(ax +b) est dérivable sur I avec pour tout réelx de I :
f ′(x)=a×g′(ax+b) .
Preuve : Admise.
Exemple : Soit f la fonction definie sur ]−2,5 ;+∞[ par f (x)=p
5x+2. Cette fonction est la compo- sée de la fonction affine u(x)=5x+2 et de la fonction racine carrée.
Lorsque x parcourt ]−2,5 ;+∞[, on a bien 5x+2>0 donc pour tout x de ]−2,5 ;+∞[ : f ′(x)=5× 1
2p
5x+2 = 5 2p
5x+2
