Chapitre 4
Dérivées et fonctions de référence
4.1 Fonction dérivée
Soitf une fonction définie sur un intervalleI.
Définition 1 On dit que f est dérivable surI lorsquef admet pout toutxdeI un nombre dérivé, f′(x).
ndent On appelle fonction dérivée de f la fonction, notée f′, qui à toutxdeI, associe le nombre dérivé f′(x) def en x.
4.2 Dérivées des fonctions de référence
On admet les résultats suivants :
f définie et dérivable sur : f(x) = f′(x) =
R
k 0
x 1
x2 2x
x3 3x2
xn nxn−1
R∗
1
x −1
x2 1
xn − n
xn+1
]0,+∞[ √
x 1
2√ x
Exemples :
Soitf la fonction définie surRparf(x) =x4, est dérivable surRet on af′(x) = 4x4−1= 4x3. Soitgla fonction définie sur]0; +∞[parg(x) = 1
x2 =x−2, est dérivable sur]0; +∞[et on af′(x) =−2x−2−1=−2 x3.
1
Dérivées et fonctions de référence
4.3 Opérations sur les fonction dérivables
Soituet vdeux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.
4.3.1 Addition et multiplication
Les fonctionsu+v,ku(k∈R) etu×v sont dérivables surI et on a :
• (u+v)′ =u′+v′;
• (ku)′ =ku′;
• (uv)′=u′v+uv′.
Exemples :
Soitf la fonction définie surRparf(x) =x3+ 5x2 alors on af′(x) = 3x2+ 10x.
Soitgla fonction définie sur[0; +∞[parf(x) =x2√x,fest dérivable sur[0; +∞[et on ag′(x) = 2x√
x+x2 1 2√
x.
4.3.2 Division et inverse :
Si uest une fonction définie et dérivable sur un intervalleI, et siv est une fonction définie et dérivable sur un intervalleI telle que pour touta ∈ I , v(a)6= 0, alors les fonctions 1
v et u
v sont des fonctions dérivables surI et on a :
•
1
v ′
=−v′ v2;
• u v
′
= u′v−uv′ v2 .
4.4 Applications :
4.4.1 Dérivée et sens de variation :
Soitf une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvertI. On admet les résultats suivants.
Théorème 1
Si f′ est strictement positive sur I (sauf peut-être en un nombre fini de réels de I) , alors f est strictement croissante surI.
Si f′ est strictement négative sur I (sauf peut-être en un nombre fini de réels de I), alors f est scritement décroissante sur I.
Exemple :
Soitf la fonction définie surR\{−2} parf(x) = 2x−1
x+ 2 . Étudier les variations def. La fonctionf est un quotient, on a :
u(x) = 2x−1 v(x) =x+ 2 u′(x) = 2 v′(x) = 1 d’oùf′(x) =2(x+ 2)−(2x−1)
(x+ 2)2 = 5 (x+ 2)2.
Comme5et (x+ 2)2sont positifs, on en déduit quef′(x)>0.
x −∞ −2 +∞
f′(x) + +
f
2
Dérivées et fonctions de référence
4.4.2 Extremum local d’une fonction :
Théorème 2 Soitx0 un réel de l’intervalle I.
• Sif′(x0) = 0 et sif′ change de signe enx0, alors f admet un extremum local en x0.
• Sif′ est négative « avant »x0 et positive « après », il s’agit d’un minimun local.
• Sif′ est positive « avant »x0 et négative « après », il s’agit d’un maximum local.
Exemple :
Soitf la fonction définie surRparf(x) =−x2+ 6x.
Déterminer le maximum def surR.
La fonctionf est une somme on af′(x) =−2x+ 6.
La fonctionf′ s’annule, en changeant de signe, enx0= 3elle est d’abord positive puis négative.
La fonctionf admet donc un maximum pourx0= 3qui vautf(3) = 9.
b
O
S
−
→
−
→ı
Cf
3
3
