Dérivées de fonctions composées

Dérivées de fonctions composées

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Dérivées de fonctions composées :

Exercice A : rédaction et technique de dérivation

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes sur le domaine d’étude précisé : a) 𝑓_"(𝑥) = 3𝑥⁽−^*+

, −^"

* sur 𝐷_" = ℝ^∗ b) 𝑓_,(𝑥) = 𝑥√𝑥 sur 𝐷, = ℝ_∗¹ c) 𝑓₂(𝑥) =^3,*12_*1, sur 𝐷₂ = ℝ\{−2}

d) 𝑓₍(𝑥) = (1 − 𝑥)⁽ sur 𝐷₍ = ℝ

Exercice 1 : pour chacune des fonctions suivantes, déterminer l’ensemble de définition, de dérivabilité puis la fonction dérivée.

1) 𝑓: 𝑥 ⟼ (3𝑥²+ 7)⁼ 2) 𝑔: 𝑥 ⟼_(,*3")^" _? 3) ℎ: 𝑥 ⟼ √𝑥^,+ 4 4) 𝑘: 𝑥 ⟼ 𝑒^2*+3D*1"

Exercice 2 : déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : 1) 𝑓 définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 1)(𝑥^,+ 5) 2) 𝑔 définie sur ℝ par : 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒^*

3) ℎ définie sur ℝ\{0} par : ℎ(𝑥) =_G^,G_H3"^H

4) 𝑖 définie sur ℝ par : 𝑖(𝑥) = (3𝑥^,− 2𝑥 + 1)²

Exercice 3 : déterminer le sens de variation de chacune des fonctions de l’exercice 2.

Exercice B : fonctions composées Déterminer les fonctions dérivées de : 4 𝑓 définie sur [2; +∞[ par 𝑓(𝑥) = M^*3,

*1"

4 𝑔 définie sur ℝ\ N−^"₍O par 𝑔(𝑥) =^(,*1")_(*1"^P

Exercice 4 : déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : 1) 𝑓(𝑥) = Q^(*32_R*3,S² (domaine de définition : ℝ\ N^,_RO)

2) 𝑔(𝑥) = 𝑒^HT+HUV (domaine de définition : ℝ\{−1})

Étude de fonctions :

Exercice 5 : soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥²𝑒^3*. a) Montrer que, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑓^X(𝑥) = 𝑥^,𝑒^3*(3 − 𝑥) b) Étudier le signe de 𝑓′(𝑥).

c) En déduire les variations de 𝑓.

Exercice 6 : l’objectif est d’étudier les variations de la fonction 𝑓 sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)𝑒^* + 𝑥.

1) Déterminer la fonction 𝑓′ dérivée de la fonction 𝑓.

2) a) Montrer que, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑓^XX(𝑥) = 𝑒^*(1 + 𝑥).

b) Étudier le signe de 𝑓^XX(𝑥).

c) En déduire les variations de la fonction 𝑓′.

3) Déterminer le signe de 𝑓′(𝑥).

4) En s’intéressant au minimum de 𝑓′, conclure sur les variations de la fonction 𝑓.

Exercice C : aire maximale de rectangle dans un quart de cercle.

Le point 𝑃 appartient au quart de cercle de centre 𝑂, de rayon 4 et d’extrémités 𝐴 et 𝐵.

On construit le rectangle 𝑂𝑀𝑃𝑁 où 𝑀 appartient à [𝑂𝐴] et 𝑁 à [𝑂𝐵]. On pose 𝑥 = 𝑂𝑀.

1) A quel intervalle 𝐼 appartient 𝑥 ?

2) Montrer que l’aire de 𝑂𝑀𝑃𝑁 est 𝑓(𝑥) = 𝑥√16 − 𝑥^,.

3) Montrer que 𝑓^X(𝑥) =_√"D3*^"D3,*+₊ et étudier les variations de la fonction 𝑓 sur 𝐼.

4) En déduire la position du point 𝑃 pour que le rectangle 𝑂𝑀𝑃𝑁 ait une aire maximale.

En route vers le Grand Oral :

Maths C qui ? #4 : Newton, Leibniz et le calcul différentiel

Exercices supplémentaires :

Exercice 𝜶 : en sciences physiques, une différentielle est une dérivée par rapport à une variable donnée.

Pour chacune des formules suivantes, calculer les différentielles données.

On sera parfois amené à exprimer les grandeurs physiques en fonction des autres.

Toutes les grandeurs sont positives.

1) Calculer ^fg_fh puis ^fg_fi avec 𝐴 =^i1j_, × ℎ 2) Calculer ^fl_fm puis _fm^fn avec 𝑊 = 𝑅𝐼^,𝑡 3) Calculer puis avec

4) Calculer ^fr_fs, _fr^ft puis _fr^fs avec 𝑊 =^"_,^s_t⁺ 5) Calculer _ft^fG avec 𝐶 = 𝜀_G3h^w

dt dl

dl

dt l =l₀(1+at)