D1 – Dérivation - cours
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DERIVATION 1
Fonctions dérivées
Définition :
Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en toute valeur x de I.
La fonction dérivée de f est la fonction notée f 'qui, à tout x de I, associe f x'( ), le nombre dérivé de f en .
Remarque :
Les fonctions polynômes sont dérivables sur R.
Les fonctions rationnelles sont dérivables sur tout intervalle ne contenant pas de valeurs qui annulent le dénominateur.
Dérivées des fonctions usuelles
Fonction Dérivée Ensemble de définition de
la fonction
Ensemble de dérivabilité =
(constante) ′ = 0 ℝ ℝ
= ′ = ℝ ℝ
= ′ = ℝ ℝ
=1
′ = − 1
² ℝ∗ ℝ∗
= 1
′ = −
" ℝ∗ ℝ∗
= √ ′ = 1
2√ [0; +∞[ ]0; +∞[
Opérations sur les fonctions dérivées (* et + sont deux fonctions)
Fonction Dérivée Ensemble de définition de la
fonction Ensemble de dérivabilité
= * + + , = *,+ +′ - -
*, /+01 ∈ ℝ ′ = - -
= * × +′ ′ = *,+ + *+′ - -
= 1
+ ′ = −−+′
+² - -
=*
+ ′ = −*,+ − *+′
+² - -
= +4* , = *′ × +′4*
* 056 7é89+/:;0 5*8 - + 056 7é89+/:;0 5*8 <
06 * ∈ <
-
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www.famillefutee.com Equation de tangente
2
Fonctions composées
Définition :
La fonction composée de u suivie de v est la fonction f définie par f x( )=v u x( ( )).
Dérivation :
Si u est une fonction dérivable en x et v une fonction dérivable en u x( ), la fonction f composée de u suivie de v est dérivable en x et : f x'( )=u x v u x'( ). '( ( )).
Conséquences :
1. Si uest une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction u2est dérivable et (u2) '=2u u' 2. Cas général : * est dérivable et *′ = *′*, ∈ =.
3. Si = > / + :, alors ′ = />′/ + :. On se place dans le cas où u x( )=ax+b, et u x'( )=a
Exemples :
Dériver : f x( )=(3x−1)2 f x'( )=6(3x−1) ; f x( )=(2x+1)3 f x'( )=6(2x+1)2 ; f x( )= 3x−2
'( ) 3
2 3 2
f x
= x
−
Si f est dérivable en /, la courbe ? admet au point
@ / ; / une tangente AB de coefficient directeur f’(a).
AB admet une équation de la forme
C = D ’ F G − F + DF ; de plus elle passe par
@ / ; /.
Cas particulier important :
Si ’/ = 0 , ? admet au point d’abscisse a une tangente parallèle à l’axe des abscisses (tangente horizontale ) d’équation I = / .
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Dérivées et sens de variation 3
Sens de variation Théorème :
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Si, pour tout x de I, f x'( )>0, alors f est strictement croissante sur I.
Si, pour tout x de I, f x'( )<0, alors f est strictement décroissante sur I.
Si, pour tout xde I, f x'( )=0, alors f est constante sur I.
Extremum Théorème :
Soit f , une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f ’ s’annule en J de I en changeant de signe, alors f admet sur I un extremum local en J. Exemple : f x( )=2x3−3x2+3 définie sur [-1 ; 2].
( )
f x est un polynôme; f est dérivable sur [-1 ; 2] et f x'( )=6x2−6x=6 (x x−1)
Le tableau de variations et la courbe représentative de montrent que f admet un maximum local en 0 dont la valeur est 3, et un minimum local en I dont la valeur est 2.
Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f admet un extremum local en x0 de I, alors ’(x0) = 0.
Existence et unicité d’une solution d’une équation f(x) = m
Théorème :
Sif est dérivable et strictement monotone sur l’intervalle [/ ; :] alors, pour tout nombre K compris entre ( )
f a etf b( ), l’équation f x( )=madmet une, et une seule, solution x0 appartenant à [/ ; :]. Si f est strictement croissante sur [/ ; :], le tableau de variations
ci-dessous visualise la situation.
Exemple :
Soit f la fonction définie sur [−2 ; 0] par ( ) 3
f x =x +x.
Pour prouver l’existence d’une, et d’une seule,
solution de l’équation f x( )= −1, on peut procéder de la façon suivante : f est dérivable sur [−2 ; 0].
'( ) 3 2 1
f x = x + ; pour tout x de [−2 ; 0], f'(x0)>0. Donc f est strictement croissante sur [−2 ; 0 ].
( 2) 10
f − = − et f(0)=0; on a donc f( 2)− ≤ − ≤1 f(0).
La propriété précédente permet d’affirmer qu’il existe une, et une seule solution x0 appartenant à [−2 ; 0]
telle que f x( 0)= −1soit telle que x03+x0= −1.
A l’aide de la calculatrice, vérifier que J ≈-0,682 327 803 7.
x −1 0 1 2
'( )
f x + − +
( ) f x −2
3
2
7
x a x0 b '( )
f x + +
( ) f x
f b( ) m
( ) f a
