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Chapitre 5 : Dérivation globale
I- Fonctions dérivables sur un intervalle
1) Définition Définition 1 :
Soit une fonction définie sur un intervalle de ℝ.
1) On dit que est dérivable sur lorsque admet un nombre dérivé, pour tout réel de , noté ’().
2) On appelle fonction dérivée de sur , notée ’, la fonction définie sur par : ⟼ ′()
Exemple 1 : On a démontré dans le chapitre 4 que la fonction carré : ⟼ admet un nombre dérivé en tout réel :
( + ℎ) − ()
ℎ =( + ℎ)−
ℎ =+ 2ℎ + ℎ−
ℎ =2ℎ + ℎ
ℎ =ℎ(2 + ℎ)
ℎ = 2 + ℎ Le nombre dérivé de en est 2 donc est dérivable sur ℝ et, pour tout réel, () = 2.
2) Fonctions dérivées des fonctions de référence
Fonction () Ensemble de
définition
Ensemble de dérivabilité
Fonction dérivée
′() () =
(fonction constante) ℝ ℝ () = 0
() = +
(fonction affine) ℝ ℝ () =
() = ( entier naturel ≠ 0)
(fonction puissance) ℝ ℝ () =
() =1 (fonction inverse)
] − ∞; 0#∪]0; +∞# ] − ∞; 0#∪]0; +∞# () = − 1 () = √
(fonction racine carrée) #0; +∞# ]0; +∞# () = 1
2√
() = ||
(fonction valeur absolue) ℝ ] − ∞; 0#∪]0; +∞# () = ' 1 si > 0−1 si < 0
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3) Opérations sur les fonctions dérivées Théorème 1 :
Soient , et / deux fonctions dérivables sur un intervalle de ℝ.
1) Soit un réel. La fonction × , est dérivable sur et ( × ,) = × ,′
2) La fonction , + / est dérivable sur et (, + /) = ,+ /′
3) La fonction , × / est dérivable sur et (, × /) = ,× / + , × /′
4) Si la fonction , ne s’annule pas sur , alors la fonction
1 est dérivable sur et 213 = −1154 5) Si la fonction / ne s’annule pas sur , alors la fonction1
6 est dérivable sur et 2163 = 1461665 4
Exemple 2 : Calcul de dérivées :
() = 3+ 5 − 4 = 3+ (5 − 4) : est définie et dérivable sur ℝ (d’après le 1) et le 2) du théorème 1)
En effet, la fonction est une somme de deux fonctions dérivables sur ℝ. (3) = (3 × ) = 3 × () = 3 × 2 = 6
(5 − 4) = 5
Donc ′() = 6 + 5
;() = 7√ ∶ ; est définie sur #0; +∞# et dérivable sur ]0; +∞# (d’après le 3) du théorème 1) En effet, la fonction ; est un produit de deux fonctions dérivables sur ]0; +∞#.
(7) = 7
>√? = 1 2√
Donc ;() = 7⏟
1× √E
6 + 7E
1 × 1 2√
F6
= 7√ + 7
2√ = 7√ +7
2 √ =21 2 √
ℎ() = 2 − 3
3 − 2 ∶ ℎ est définie et dérivable sur ℝ − P2
3Q (d’après le 5) du théorème 1) En effet, la fonction ℎ est un quotient de deux fonctions dérivables sur ℝ − 'VW. (2 − 3) = 2
(3 − 2) = 3
Donc ℎ() =2 × (3 − 2) − (2 − 3) × 3
(3 − 2) =(6 − 4) − (6 − 9) (3 − 2)
=6 − 4 − 6 + 9
(3 − 2) = 5 (3 − 2)
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Théorème 2 :
Soit ; une fonction dérivable sur un intervalle de ℝ.
Pour tout réel tel que + appartient à , la fonction définie par () = ;( + ) est dérivable et ′() = × ;′( + ).
Exemple 3 :
1) Calcul de la dérivée de la fonction définie sur ℝ par () = (3 − 1)Y: La fonction est de la forme ;( + ) avec ;() = Y, = 3 et = −1.
La fonction ; est dérivable sur ℝ et pour tout réel, ;() = 5[ On en déduit que la fonction est dérivable sur ℝ et, pour tout réel : () = × ;( + ) = 3 × 5(3 − 1)[ = 15(3 − 1)[
2) Calcul de la dérivée de la fonction définie sur \−Y; +∞\ par () = √5 + 1 : La fonction est de la forme ;( + ) avec ;() = √, = 5 et = 1.
La fonction ; est dérivable sur ]0; +∞#, et pour tout ∈]0; +∞# , ;() = √^
+ appartient à se traduit ici par 5 + 1 > 0 et donc ∈ _−Y; +∞\
On en déduit que la fonction est dérivable sur _−Y; +∞\ et, pour tout ∈ _−Y; +∞\ : () = × ;( + ) = 5 × 1
2√5 + 1 = 5 2√5 + 1
II – Sens de variation
1) Relation entre dérivée et sens de variation Théorème 3 :
Soit une fonction définie sur un intervalle de ℝ.
La fonction est croissante sur si et seulement si, pour tout ∈ , ′() ≥ 0. La fonction est décroissante sur si et seulement si, pour tout ∈ , ′() ≤ 0. La fonction est constante sur si et seulement si, pour tout ∈ , () = 0.
Remarque 1 :
Si pour tout ∈ , () > 0, on dit que la fonction est strictement croissante sur . Si pour tout ∈ , () < 0, on dit que la fonction est strictement décroissante sur . La grande majorité des fonctions étudiées sont strictement croissantes ou strictement décroissantes sur des parties de leur ensemble de définition.
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Exemple 4 : Dans l’exemple 1, nous avons calculé les dérivées de 3 fonctions : () = 3+ 5 − 4 ∶
est dérivable sur ℝ et a pour dérivée la fonction ′ définie sur ℝ par ′() = 6 + 5 () = 0 pour = −5
6 , () < 0 sur b−∞; −5
6c et () > 0 sur b−5 6 ; +∞c Donc la fonction est strictement décroissante sur b−∞; −5
6c et dtrictement croissante sur b−5
6 ; +∞c.
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;() = 7√ ∶
; est définie sur #0; +∞# et dérivable sur ]0; +∞# et a pour dérivée la fonction ;′ définie sur ]0; +∞# par ;′() = √
;() > 0 sur ]0; +∞# donc la fonction ; est strictement croissante sur ]0; +∞#.
ℎ() = 2 − 3 3 − 2 ∶
ℎ est dérivable sur ℝ − P2
3Q et a pour dérivée la fonction ℎdéfinie sur ℝ − P2 3Q par ℎ() = 5
(3 − 2)
ℎ() > 0 sur ℝ − 'VW donc la fonction ℎ est strictement croissante sur ℝ − 'VW.
2) Notion d’extremum et d’extremum local
Définition 2 : Soit une fonction définie sur un intervalle I et e ∈ .
On dit que admet un maximum en e sur si, pour tout ∈ , () ≤ (e) On dit que admet un minimum en e sur si, pour tout ∈ , () ≥ (e)
Dire que admet un extremum sur signifie que admet un maximum ou un minimum sur . Remarque 2 : Attention à ne pas confondre maximum et majorant (ou minimum et minorant) : Un maximum (respectivement un minimum) est atteint par la fonction en un réel e ∈ et se note donc (e).
Sur le graphique ci-dessus, on observe que admet un maximum « global » en f de valeur (f), un minimum « local » en de valeur () et un maximum « local » en de valeur ().
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Théorème 4 :
Soit une fonction dérivable sur un intervalle I « ouvert » et e ∈ . Si admet un extremum en e sur alors (e) = 0.
Remarque 3 : Attention, la réciproque est fausse en général. En effet, une fonction dont la dérivée s’annule en e n’admet pas forcément un extremum en e.
Exemple 5 :
Étude de la fonction () = V sur ℝ : () = 3 donc (0 0
Mais est croissante sur ℝ et ne présente pas d’extremum sur ℝ.
