Leçon 18 Maximum et minimum d'une fonction du second degré Activités

(1)

Leçon 18 Maximum et minimum d'une fonction du second degré Activités

l.

^a.^Complét

er y - _"2 -2x

^{+3 =}^(x

-....)2

^{+ ...}

b. Dans un repère orthonormé

(O,l ,7t), tru..r

la courbe représentative de la fonction

l: ^x2 -2x+3.

Lafonction y:x2 _-2x+3

^estcroissante

surl'intervalle ...

^et

décroissante

sur

I' intervalle

2.

^a.^Compléte

r ^y : _-2x2

+ 4x +3 ₌

-2(x - ....)' *....

b. Dans un repère orthonormé

(Otl _, fl, ^t ^u..r

^lacourbe représentative de la fonction

l=-2x2+4x+3.

G

La

fonction | : -2x2

⁺

4x+3

est croissante ^sur

I'intervalle

et décroissante

sur

I'intervalle

Le cours

Soit

la fonction/'(

x):

^ax2

^+bx+c, ^où

^a

* 0.

La

fonction _,f

(x): ax'

+ bx +

c

s'écrit aussi sous la forme :

f ^(x)=axz ^+bx*,

^{= o(}

,*+)t -9 ^o,: ^a:b2 -4ac.c'est ^{la forme}

^canonique.

\ 2a)

^4o

On obtient

, f(-+): -+ "\ 2a) 4a

^donc

P(-r) atteint

l'extrémum

pour x - -

^2a^A

. _Si

_c

_. _o, /[ *):-f ^.u

^un

^minimum

^de

^/(x)

^,

onnote

, f=-

ou. ./niax

=-+

' ^Si

^a

^,0, '"\ 2a) f(-3): -A

^4a ^est^un

^maximu

^mde

f(x),

n note

| .f^n:-+ "" ^/min ^: -+

Remarque:

Soit C,

la représentation graphique de

f ^(x)

^.

-

Lorsque f

^admet^le^maximum^en

^r0,

^on

^écrit lo

⁼

^MM

-f

(): f() _"ton

^dit^que^le

point

("0 _;

,f(ro))

^{est le}

point

maximal de

C,

.

- Lorsque f

^admetle

^minimum

^en

^ï0,

^on

^écrit loin : M^^ -f(r): f(r)et

^on

^dit

^que

le point

(to; ,f(ro))

^est^le

point minimal

de

Cr.

Exemple I

: Déterminer

le

maximum et le

minimum

de chacune des fonctions suivantes.

'

tathématiqu e C4-82

(2)

b.

d.

a c

! ^=2x2 -8x+5

!

^{= x2}

-2x,03 x 33.

y:-x2 -6x-4

!:x'-rr,t<x(3.

.l?

Solution:

a.

Méthode

I

^:

On a

: | ⁼ ^2x2-8x+

^S⁼

^Z(' -or,':)=r{'

zl{' - ^z)' -

^

. :l:'la ^- ^rr -}l

y:2(t-2)'-l

x:2

^{et on}

^écrit

_-/min

: _-3

Méthode

2:

ona: - 4a ^Â ^=- (-8)2 -4(2)(s) 4(2) --&-40:-3

⁸

^et ^a=2>o

La fonction

admet le

minimum

-3 en

r =2

^et^on

écrit /min =.-3

b. ona: ^_ 4a ^Â

=

_(4)2 4(-l) ^-4çD(A) __36-16:5 4 _et a:_t<o

La

fonction admet le

maximum

5 en x

= -1:-3

₂ ^{et on}

^écrit

^/rnæ<

^:

^5.

c. ^{Ona :} _!:x2 -2x: ^x' -2x+l-l=(x-t)t -t

-4r+4-4+:)

D..:^^..^ [

y =z(, _-z)' _-S

rulsque - la:2>

{ \^- 0

La

fonction admet le minimum -3 en

D'après la courbe

x

ve,

et comme 0 <

x

< 3on pbtient :

jhin :

_{-1, lmax}_{= Y(3)}

:

3.

d. D'après la courbe représentative ci-dessous, et comme

]= ^* ^=Z

obtient.

^.rimin⁼

r(tr)=e)' -r(+)=f,-t=-!,

-/mar< =

/(3):3'

(3)

Exemple

2

: Soit la fonction

l: -x2 +6x+c définie ."r _[t

;+]

a. ^Trouver

^{le réel}

^c

^sachant

^que

_-y^admet^comme

^minimum ^I

en

l.

b. Déterminer

le maximum

de y.

Solution ;

On a

: y : _-x2 +6x+c :-(x' -6x+9-9-c)

. l, I t,

I

y

₌

-[(' -3)' ^-9 -cl= -l(" -3)' -(9+c)l

y : _-x2

+ 6x + c ₌

lx -3)2

^{+ (9}

+c) y : _-x2

+ 6x + c =

-(x -3)2

⁺⁹^{+ c}

Puisque

a:-l<0

?

- La

fonction y

admet son

maximum

en

r: 3 c'est-à-dire !,,,"

=

!(3) =9

⁺

^c

- Comme

on

a

: l,in =l c'est-à-dire y(1): -(l -

³⁾²

⁺⁹

^{+ c}

l=4+9+c soit c=4

Donclemaximumde y

est 1

!*:yQ):9-4:5-

Exemple

3

: Déterminer les réels

x,y

pour lesquels I'expression x2

+2y2

admet un

minimum tel

que

x*2y =J.

Solution:

D'après

x

+2y:3,

^on^obtient

; x =3-2y

Donc x2

+2y' :(3- _2y)' _+2y' :9 _-l2y

₊

_4y' _+2y' - ^6y' -lyy ⁺⁹ x' +2y' - 6y' -l2y ⁺⁹

⁼^e(

\' y' -r, ^*?\ ⁶⁾

x' +2y'

=

u(r' -zy+t-t.:)

l- n-] T' ^-'l

x2

+2v' - ^:61 L" (v-t)' _-t+Z 6) L"

_|

:

ol

(r-r)'*1 ^6l

|

xz

+2y2 : ul|r,-r)' *1-l : _u,r-l)2 +3

L ^z)

3 est le

minimum

de *2

+2y2

lorsque

{t-r:o o[,='

lx=3-2y [.r=3 -2xL='-

Exemple

4

: Déterminer les

réels x

et

y

pour lesquels I'expression

,2 -4ry+7y2 -4y+3

admet un minimum.

Solution:

On a

: t2 -4ry

⁺⁷^y2

^-4y +3: (x-

2y)2

+3y2 -4y ⁺³

' tathématiqu e

C4-84

(4)

t(t, -: r')

^{= G}

-2y)2.,[[, -:)'-;. ^r]

=

(x _-2y)2

" ( tt2

⁵

=

(x- 2y)' +r[r-iJ +:.

I

_J ^est^le

^minimum

^{de x2}

-4ry*7

^y2 ^lorsque

,)-.-

1

.,

-

-4y ⁺³

'J ./- _a

L

--,).,-

^-Ly-

Mathématique C4-85

(5)

Exercices

l.

Déterminer le maximum et le

minimum

de chacune des fonctions suivantes.

l. y=-r2 *2x+3 2. l=2x2 +4x+l

3. y=-2x2 +x 4. y=3x2 +4x-l

5. y=t2 -2t*2,-l3x<2 ^6.

^y=3x2,

-4,-2<x<2

7. y=-r2 4x-I,0<x<l ^8. ^y=12 -4r2,-2<x<4

9. y=-r2 _-6x+1,0 <x<2

10.

y=2x2 -4x+3,x)2.

2.

Dans chacun des cas suivants, déterminer la valeur de

c

et leur minimum sachant que leur maximum est 7.

l. ^y=3x2 +6x+c,-2Sx<l

3. ::"::::::"' :=r'i,lresquers ,,"0,.,,,o,,' ,2

^y2admet^un

^minimum

sachant

que

x-2Y:J.

4-

Déterminer les réels x et

y

pour lesquels I'expression

rry

admet un maximum et un

minimum

sachant que

2x+ y

₌

l0,l <xS _5.

5.

Déterminer les réels x et

y

pour lesquels I'expression 6x2

+6ry+3y2 -6x-4y ⁺³

admet

un minimum.

Mathématique C4-86

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