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MAXIMUM ET MINIMUM D’UNE FONCTION

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Academic year: 2022

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(1)

cours 13

MAXIMUM ET

MINIMUM D’UNE

FONCTION

(2)

Au dernier cours, nous avons vu

Croissance et décroissance d’une fonction

(3)

Aujourd’hui, nous allons voir

(4)

Aujourd’hui, nous allons voir

Maximum et minimum relatif

(5)

Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?

(6)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?

(7)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?

(8)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?

(9)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?

(10)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?

(11)

Définition:

On dit qu’une fonction a un maximum relatif en

(12)

Définition:

On dit qu’une fonction a un maximum relatif en

s’il existe un voisinage ouvert

(13)

Définition:

On dit qu’une fonction a un maximum relatif en

s’il existe un voisinage ouvert

tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle

(14)

Définition:

On dit qu’une fonction a un maximum relatif en

s’il existe un voisinage ouvert

tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle

(15)

Définition:

On dit qu’une fonction a un maximum relatif en

s’il existe un voisinage ouvert

tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle

On définit similairement un minimum relatif.

(16)

Définition:

On dit qu’une fonction a un maximum relatif en

s’il existe un voisinage ouvert

tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle

On définit similairement un minimum relatif.

Remarque:

(17)

Définition:

On dit qu’une fonction a un maximum relatif en

s’il existe un voisinage ouvert

tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle

On définit similairement un minimum relatif.

Remarque:

On parle plutôt de maximum absolu ou minimum absolu si l’on peut prendre comme intervalle.

(18)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

(19)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Maximums relatifs

(20)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Maximums relatifs

Minimums relatifs

(21)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Maximums relatifs

Minimums relatifs Qu’a de spécial la dérivée en un extrémum relatif ?

(22)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Maximums relatifs

Minimums relatifs Qu’a de spécial la dérivée en un extrémum relatif ?

(23)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Maximums relatifs

Minimums relatifs Qu’a de spécial la dérivée en un extrémum relatif ?

Elle est nulle!

(24)

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

(25)

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

(26)

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

(27)

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2 -1 1 2 3

(28)

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2 -1 1 2 3

(29)

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2 -1 1 2 3

(30)

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2 -1 1 2 3

(31)

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2 -1 1 2 3

Non!

(32)

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2 -1 1 2 3

Non!

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

(33)

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2 -1 1 2 3

Non!

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

(34)

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2 -1 1 2 3

Non!

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

(35)

Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas

sont des bons endroits à examiner.

(36)

Définition:

Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas

sont des bons endroits à examiner.

(37)

Définition:

Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas

sont des bons endroits à examiner.

Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de x tel que

(38)

Définition:

Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas

sont des bons endroits à examiner.

Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de x tel que

(39)

Définition:

Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas

sont des bons endroits à examiner.

ou

Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de x tel que

(40)

Définition:

Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas

sont des bons endroits à examiner.

ou

Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de x tel que

(41)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

(42)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

(43)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

(44)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

(45)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

(46)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Les points critiques sont

(47)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Les points critiques sont

(48)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Les points critiques sont et

(49)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation Les points critiques sont et

(50)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation Les points critiques sont et

(51)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation -3

Les points critiques sont et

(52)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

Les points critiques sont et

(53)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 0

Les points critiques sont et

(54)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 0

+

Les points critiques sont et

(55)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 - 0

+

Les points critiques sont et

(56)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 - 0 +

+

Les points critiques sont et

(57)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 - 0 +

+

Les points critiques sont et

(58)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 - 0 +

+

Les points critiques sont et

(59)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 - 0 +

+

Les points critiques sont et

(60)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 - 0 +

+

max

Les points critiques sont et

(61)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 - 0 +

+

max min

Les points critiques sont et

(62)

-3 2

0 - 0 +

+

max min

(63)

-10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5

-50 50

-3 2

0 - 0 +

+

max min

(64)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

(65)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

(66)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

(67)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

(68)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

(69)

Exemple:

Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonction

(70)
(71)

On a un point critique lorsque

(72)

On a un point critique lorsque

(73)

On a un point critique lorsque

ou

(74)

On a un point critique lorsque

ou

(75)

On a un point critique lorsque

ou

(76)

On a un point critique lorsque

ou

(77)

On a un point critique lorsque

ou

(78)

On a un point critique lorsque

ou

(79)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont

(80)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont

(81)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont

(82)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont

(83)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

(84)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

(85)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

(86)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

(87)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7

(88)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

(89)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4 -1

(90)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 0

-1

(91)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 0

-1

(92)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 0

-1

(93)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 0

-1

(94)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 0

+

-1

(95)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 0

+

-1

-

(96)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

-1

-

(97)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

-1

+ -

(98)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

-1

+ -

(99)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

-1

+ -

(100)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

-1

+ -

(101)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

-1

+ -

(102)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

max

-1

+ -

(103)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

max min

-1

+ -

(104)

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

max min

-1

+ -

(105)

-7 -4

0 - 0

+

max min

-1

+ -

(106)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15

-15 -10 -5

5

-7 -4

0 - 0

+

max min

-1

+ -

(107)

Faites les exercices suivants

p.172 Ex.6.2 p.175 Ex.6.3

p. 201 # 1 a), b) et c)

Devoir 10

(108)

Aujourd’hui, nous avons vu

(109)

Aujourd’hui, nous avons vu

Croissance et décroissance

(110)

Aujourd’hui, nous avons vu

Croissance et décroissance

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

(111)

Aujourd’hui, nous avons vu

Croissance et décroissance

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

(112)

Aujourd’hui, nous avons vu

Croissance et décroissance

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

(113)

Aujourd’hui, nous avons vu

Croissance et décroissance

Maximum et minimum relatif

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

(114)

Aujourd’hui, nous avons vu

Croissance et décroissance

Maximum et minimum relatif

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

(115)

Aujourd’hui, nous avons vu

Croissance et décroissance

Maximum et minimum relatif

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

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