cours 13
MAXIMUM ET
MINIMUM D’UNE
FONCTION
Au dernier cours, nous avons vu
✓
Croissance et décroissance d’une fonctionAujourd’hui, nous allons voir
Aujourd’hui, nous allons voir
✓
Maximum et minimum relatifQue peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?
Définition:
On dit qu’une fonction a un maximum relatif enDéfinition:
On dit qu’une fonction a un maximum relatif ens’il existe un voisinage ouvert
Définition:
On dit qu’une fonction a un maximum relatif ens’il existe un voisinage ouvert
tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle
Définition:
On dit qu’une fonction a un maximum relatif ens’il existe un voisinage ouvert
tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle
Définition:
On dit qu’une fonction a un maximum relatif ens’il existe un voisinage ouvert
tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle
On définit similairement un minimum relatif.
Définition:
On dit qu’une fonction a un maximum relatif ens’il existe un voisinage ouvert
tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle
On définit similairement un minimum relatif.
Remarque:
Définition:
On dit qu’une fonction a un maximum relatif ens’il existe un voisinage ouvert
tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle
On définit similairement un minimum relatif.
Remarque:
On parle plutôt de maximum absolu ou minimum absolu si l’on peut prendre comme intervalle.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Maximums relatifs
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Maximums relatifs
Minimums relatifs
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Maximums relatifs
Minimums relatifs Qu’a de spécial la dérivée en un extrémum relatif ?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Maximums relatifs
Minimums relatifs Qu’a de spécial la dérivée en un extrémum relatif ?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Maximums relatifs
Minimums relatifs Qu’a de spécial la dérivée en un extrémum relatif ?
Elle est nulle!
Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?
Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2 -1 1 2 3
Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2 -1 1 2 3
Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2 -1 1 2 3
Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2 -1 1 2 3
Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2 -1 1 2 3
Non!
Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2 -1 1 2 3
Non!
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2 -1 1 2 3
Non!
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2 -1 1 2 3
Non!
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas
sont des bons endroits à examiner.
Définition:
Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas
sont des bons endroits à examiner.
Définition:
Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas
sont des bons endroits à examiner.
Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de x tel que
Définition:
Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas
sont des bons endroits à examiner.
Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de x tel que
Définition:
Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas
sont des bons endroits à examiner.
ou
Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de x tel que
Définition:
Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas
sont des bons endroits à examiner.
ou
Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de x tel que
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionExemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Les points critiques sont
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Les points critiques sont
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Les points critiques sont et
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation Les points critiques sont et
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation Les points critiques sont et
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation -3
Les points critiques sont et
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation
-3 2
Les points critiques sont et
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation
-3 2
0 0
Les points critiques sont et
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation
-3 2
0 0
+
Les points critiques sont et
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation
-3 2
0 - 0
+
Les points critiques sont et
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation
-3 2
0 - 0 +
+
Les points critiques sont et
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation
-3 2
0 - 0 +
+
Les points critiques sont et
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation
-3 2
0 - 0 +
+
Les points critiques sont et
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation
-3 2
0 - 0 +
+
Les points critiques sont et
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation
-3 2
0 - 0 +
+
max
Les points critiques sont et
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation
-3 2
0 - 0 +
+
max min
Les points critiques sont et
-3 2
0 - 0 +
+
max min
-10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5
-50 50
-3 2
0 - 0 +
+
max min
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionExemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionExemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionExemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionExemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionExemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionOn a un point critique lorsque
On a un point critique lorsque
On a un point critique lorsque
ou
On a un point critique lorsque
ou
On a un point critique lorsque
ou
On a un point critique lorsque
ou
On a un point critique lorsque
ou
On a un point critique lorsque
ou
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4 -1
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 0
-1
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 0
-1
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 0
-1
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 0
-1
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 0
+
-1
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 0
+
-1
-
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 - 0
+
-1
-
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 - 0
+
-1
+ -
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 - 0
+
-1
+ -
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 - 0
+
-1
+ -
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 - 0
+
-1
+ -
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 - 0
+
-1
+ -
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 - 0
+
max
-1
+ -
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 - 0
+
max min
-1
+ -
On a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 - 0
+
max min
-1
+ -
-7 -4
0 - 0
+
max min
-1
+ -
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15
-15 -10 -5
5
-7 -4
0 - 0
+
max min
-1
+ -
Faites les exercices suivants
p.172 Ex.6.2 p.175 Ex.6.3
p. 201 # 1 a), b) et c)
Devoir 10
Aujourd’hui, nous avons vu
Aujourd’hui, nous avons vu
✓
Croissance et décroissanceAujourd’hui, nous avons vu
✓
Croissance et décroissance-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Aujourd’hui, nous avons vu
✓
Croissance et décroissance-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Aujourd’hui, nous avons vu
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Croissance et décroissance-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Aujourd’hui, nous avons vu
✓
Croissance et décroissance✓
Maximum et minimum relatif-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Aujourd’hui, nous avons vu
✓
Croissance et décroissance✓
Maximum et minimum relatif-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Aujourd’hui, nous avons vu
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Croissance et décroissance✓
Maximum et minimum relatif-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3