cours 13
MAXIMUM ET
MINIMUM D’UNE
FONCTION
Au dernier cours, nous avons vu
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Croissance et décroissance d’une fonctionAujourd’hui, nous allons voir
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Maximum et minimum relatif-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?
Définition:
On dit qu’une fonction a un maximum relatif ens’il existe un voisinage ouvert
tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle
On définit similairement un minimum relatif.
Remarque:
On parle plutôt de maximum absolu ou minimum absolu si l’on peut prendre comme intervalle.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Maximums relatifs
Minimums relatifs Qu’a de spécial la dérivée en un extrémum relatif ?
Elle est nulle!
Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Non!
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Définition:
Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas
sont des bons endroits à examiner.
ou
Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de x tel que
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation
-3 2
0 - 0 +
+
max min
Les points critiques sont et
-10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5
-50 50
-3 2
0 - 0 +
+
max min
Exemple:
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionOn a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 - 0
+
max min
-1
+ -
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15
-15 -10 -5
5
-7 -4
0 - 0
+
max min
-1
+ -
Faites les exercices suivants
p.172 Ex.6.2 p.175 Ex.6.3
p. 201 # 1 a), b) et c)
Devoir 10
Aujourd’hui, nous avons vu
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Croissance et décroissance✓
Maximum et minimum relatif-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3