Partie 2 : le raisonnement par récurrence

SUITES & RECURRENCE

Je connais les notions de suites majorées, minorées, bornées.

Je sais justifier et/ou mettre en évidence un majorant/minorant grâce aux méthodes classiques.

Je maîtrise la rédaction du raisonnement par récurrence.

Je sais faire une démonstration par récurrence mettant en jeu une égalité.

Je sais faire une démonstration par récurrence mettant en jeu une égalité.

Je maîtrise convenablement la notion d’initialisation.

Je maîtrise convenablement la notion d’hérédité.

Carte mentale :

SUITES &

RECURRENCE

Ce que je trouve le plus difficile dans ce chapitre :

…

…

Pour revoir les notions concernant le chapitre Suites de 1^ère spécialité Maths, c’est par ici :

Partie 1 : suites majorée, minorée, bornée

Définitions : majorant et minorant Soit (𝑢_#) une suite.

𝑀 est un majorant de (𝑢_#) si pour tout 𝑛, 𝑢# ≤ 𝑀.

𝑚 est un minorant de (𝑢_#) si pour tout n, 𝑢_# ≥ 𝑚.

Remarques :

1) Ne pas confondre majorant et maximum, ni minorant et minimum.

Majorant et minorant sont des réels quelconques, alors que maximum et minimum sont des termes de la suite considérée.

• si M est un maximum alors c’est un majorant mais la réciproque n’est pas vraie.

• si m est un minimum alors c’est un minorant mais la réciproque n’est pas vraie.

2) Une suite admettant un majorant et minorant est dite bornée.

3) Ces notions sont souvent importantes lorsqu’on recherche des limites. A suivre donc…

Méthode : pour déterminer ou justifier l’existence d’un minorant ou majorant d’une suite, on peut : - Trouver une valeur évidente.

- Utiliser les variations de 𝑓 dans le cas où 𝑢_# = 𝑓(𝑛).

- Étudier le signe de la différence 𝑢_#− 𝑚 lorsqu’on a une idée du minorant/majorant 𝑚.

- Utiliser un raisonnement par récurrence…

Partie 2 : le raisonnement par récurrence

a) Principe :

Exemple : on considère une file illimitée de dominos placés les uns devant les autres. La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file.

Si le premier domino tombe, on est donc assuré que tous les dominos de la file tombent.

Définition : hérédité

Une propriété est dite héréditaire à partir du rang 𝑛- si lorsque pour un entier 𝑘 ≥ 𝑛-, la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier 𝑘 + 1.

Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (𝑘) tombe alors le domino suivant (𝑘 + 1) tombe également.

Principe du raisonnement par récurrence :

Si la propriété 𝑃 est : - vraie au rang 𝑛_- (Initialisation),

- héréditaire à partir du rang 𝑛_-(Hérédité), alors la propriété 𝑃 est vraie pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑛-.

Dans l'exemple, le 1^er domino tombe (initialisation). Ici 𝑛_- = 1. L'hérédité est vérifiée.

On en déduit que tous les dominos tombent.

Remarque : une démonstration par récurrence sur les entiers est mise en œuvre lorsque toute démonstration

"classique" est difficile.

Modèle de rédaction :

Pour tout 𝑛... , je pose 𝑃(𝑛) : « ... ».

- Initialisation : 𝑛_-est le premier rang.

Pour 𝑛 = 𝑛_-, 𝑃(𝑛_-) : « ... ».

...

Cette propriété est vraie au rang 𝑛-.

- Hérédité : considérons un entier 𝑘 ≥ 𝑛_- tel que 𝑃(𝑘) est vraie (c’est l’hypothèse de récurrence) Écrire au brouillon ce que l’on cherche

Alors...

Donc 𝑃(𝑘 + 1) est vraie.

- Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout 𝑛 ≥ 𝑛_-, 𝑃(𝑛) est vraie.

b) Exemples :

Exemple 1 : montrer que pour tout 𝒏 ∈ ℕ^∗, 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯ + 𝒏 =^{𝒏(𝒏:𝟏)}_𝟐

Appelons, pour tout 𝑛 entier non-nul, 𝑃(𝑛) la propriété : « 1 + 2 + 3 + ⋯ . +𝑛 =^#(#:>)_? » Initialisation : pour 𝑛 = 1.

>×(>:>)

? =^>×?_? =^?_? = 1 donc 𝑃(1) est vraie.

Hérédité : supposons qu’il existe un rang 𝑘 non-nul tel que 𝑃(𝑘) soit vraie, autrement dit : 1 + 2 + 3 + ⋯ . +𝑘 =^A(A:>)_? (hypothèse de récurrence)

Alors 1 + 2 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =^A(A:>)_? + (𝑘 + 1) =^A(A:>)_? +^?(A:>)_? = (A:>)(A:?)

?

Donc 𝑃(𝑘 + 1) est vraie.

Conclusion : la propriété a été initialisée en 1, est héréditaire à partir de 1 donc par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout 𝑛 entier supérieur ou égal à 1 : 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =^#(#:>)_? .

Exemple 2 : montrer que la suite (𝒖_𝒏) définie pour tout entier 𝒏 par C 𝒖_𝟎= 𝟐

𝒖_𝒏:𝟏 = 𝟐𝒖_𝒏− 𝟔 est décroissante.

Appelons, pour tout 𝑛 entier, 𝑃(𝑛) la propriété : « 𝑢#:> < 𝑢_# » Initialisation : pour 𝑛 = 0.

𝑢_- = 2 et 𝑢_> = 2𝑢_-− 6 = 2 × 2 − 6 = −2. Comme −2 < 2, alors 𝑢_> < 𝑢_- donc 𝑃(0) est vraie.

Hérédité : supposons qu’il existe un rang 𝑘 tel que 𝑃(𝑘) soit vraie, autrement dit : 𝑢_A:> < 𝑢_A (hypothèse de récurrence)

On a donc 𝑢_A:> < 𝑢_A donc 2𝑢_A:>< 2𝑢_A (on ne change pas l’ordre car on multiplie par 2 > 0).

D’où 2𝑢_A:>− 6 < 2𝑢_A− 6 (on ne change pas l’ordre car on soustrait un nombre).

Autrement dit 𝑢_A:?< 𝑢_A:> donc 𝑃(𝑘 + 1) est vraie.

Conclusion : la propriété a été initialisée en 0, est héréditaire à partir de 0 donc par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout 𝑛 entier : (𝑢#) est décroissante.

Exemple 3 : soit (𝒖_𝒏) la suite définie sur ℕ par 𝒖𝟎= 𝟎 et 𝒖𝒏:𝟏 = J𝟒 + 𝒖𝒏. Montrer que pour tout entier 𝒏 ≥ 𝟏, (𝒖_𝒏) est minorée par 𝟐.

Appelons, pour tout 𝑛 entier (𝑛 ≥ 1), 𝑃(𝑛) la propriété : « 𝑢_# ≥ 2 » Initialisation : pour 𝑛 = 1.

𝑢_- = 0, 𝑢_> = √4 = 2 ≥ 2 donc 𝑃(1) est vraie.

Hérédité : supposons qu’il existe un rang 𝑘 non-nul tel que 𝑃(𝑘) soit vraie, autrement dit : 𝑢_A ≥ 2 (hypothèse de récurrence)

Alors 4 + 𝑢_A≥ 4 + 2 = 6 (on ne change pas l’ordre car on ajoute un nombre).

Donc J4 + 𝑢_A ≥ √6 (on ne change pas l’ordre car la fonction racine carrée est croissante sur ℝ^:) Or √6 ≥ 2 donc 𝑢_A:> ≥ 2 donc 𝑃(𝑘 + 1) est vraie.

Conclusion : la propriété a été initialisée en 1, est héréditaire à partir de 1 donc par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout 𝑛 entier supérieur ou égal à 1 : 𝑢_# ≥ 2.

Autrement dit (𝑢_#) est minorée par 2 à partir du rang 1.

c) Un exemple important : l’inégalité de Bernoulli Propriété : inégalité de Bernoulli

Soit un nombre réel 𝑎 strictement positif. Alors, pour tout entier naturel 𝑛, on a : (1 + 𝑎)^# ≥ 1 + 𝑛𝑎.

Démonstration : fixons 𝑎 ∈ ℝ_:^∗ et appelons 𝑃(𝑛) la propriété : « (1 + 𝑎)^# ≥ 1 + 𝑛𝑎 »

- Initialisation : (1 + 𝑎)^- = 1 et 1 + 0 × 𝑎 = 1 donc 𝑃(0) est vraie. Le premier domino tombe.

- Hérédité : supposons qu'il existe un entier 𝑘 tel que 𝑃(𝑘) soit vraie : autrement dit,

(1 + 𝑎)^A ≥ 1 + 𝑘𝑎 C’est l’hypothèse de récurrence, on suppose que le k^ème domino tombe.

On se demande si la propriété est-elle vraie au rang k+1, c’est-à-dire si le k+1-ième domino tombe.

Écrire ce qu’on cherche au brouillon : (1 + 𝑎)^A:>≥ 1 + (𝑘 + 1)𝑎

Alors (1 + 𝑎)^A:>= (1 + 𝑎)(𝟏 + 𝒂)^𝒌≥ (1 + 𝑎)(𝟏 + 𝒌𝒂) d'après l'hypothèse de récurrence.

Donc : (1 + 𝑎)^A:>≥ 1 + 𝑘𝑎 + 𝑎 + 𝑘𝑎^?

Au brouillon, en partant de la réponse, on sait que 1 + (𝑘 + 1)𝑎 = 1 + 𝑘𝑎 + 𝑎

Or 1 + 𝑘𝑎 + 𝑎 + 𝑘𝑎^? ≥ 1 + 𝑘𝑎 + 𝑎 car 𝑘𝑎^? ≥ 0 autrement dit : 1 + 𝑘𝑎 + 𝑎 + 𝑘𝑎^? ≥ 1 + 𝑎(𝑘 + 1) Donc : (1 + 𝑎)^A:>≥ 1 + 𝑎(𝑘 + 1) ^{Le (k+1)ème} domino tombe.

Ainsi 𝑃(𝑘 + 1) est alors vraie.

- Conclusion : la propriété a été initialisée au rang 0, elle est héréditaire à partir de 0 donc elle est donc vraie pour tout entier naturel 𝑛 par le principe de récurrence : pour tout 𝑛 ∈ ℕ, on a : (1 + 𝑎)^# ≥ 1 + 𝑛𝑎.

Tous les dominos tombent.

Remarque : cette propriété sert à montrer les limites d’une suite géométrique.

Remarque importante : l'initialisation est indispensable !

En effet, démontrons par exemple que la propriété « 2^# est divisible par 3 » est héréditaire sans vérifier l'initialisation.

Supposons qu'il existe un entier 𝑘 tel que 2^A est divisible par 3 : alors 2^A = 3𝑝 avec 𝑝 entier Donc 2^A:> = 2^A× 2^> = 𝟐^𝒌× 2

= 𝟑𝒑 × 2 par hypothèse de récurrence = 6𝑝 = 3 × (2𝑝)

Donc 2^A:>est divisible par 3.

L'hérédité est vérifiée et pourtant la propriété n'est jamais vraie ! Quelques contre-exemples :

§ pour 𝑘 = 1 : 2^> = 2 n’est pas divisible par 3.

§ pour 𝑘 = 2 : 2^? = 4 n’est pas divisible par 3.

§ pour 𝑘 = 3 : 2^U = 8 n’est pas divisible par 3.