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Submitted on 1 Jan 1979
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Majorant et minorant du seuil de percolation de lien du kagomé
H. Ottavi
To cite this version:
H. Ottavi. Majorant et minorant du seuil de percolation de lien du kagomé. Journal de Physique,
1979, 40 (3), pp.233-237. �10.1051/jphys:01979004003023300�. �jpa-00208903�
Majorant et minorant du seuil de percolation de lien du kagomé
H. Ottavi
Université de Provence, Centre de St-Jérôme, 13397 Marseille Cedex 4, France (Reçu le 13 juillet 1978, révisé le 2 novembre 1978, accepté le 6 novembre 1978)
Résumé.
2014Par une transformation étoile-triangle on passe d’une variante du réseau en nid d’abeille au réseau
kagomé. Ceci permet d’encadrer à quelques millièmes près le seuil de percolation de lien du kagomé. Cette méthode de substitution est étendue à quelques autres réseaux plans.
Abstract.
2014Using a star-triangle substitution we derive the kagomé lattice from a modified honeycomb lattice.
We give very close upper bound and lower bound for the critical bond percolation probability of the kagomé.
The method is applied to a few other two-dimensional site or bond problems.
Classification
Physics Abstracts
05.50
1. Introduction.
-En percolation on connaît très peu de valeurs exactes de seuils. En fait, en dehors des systèmes à une seule dimension et des systèmes à
une infinité de dimensions, on ne connaît que deux valeurs remarquables, toutes deux relatives à des
problèmes plans.
1) La valeur 1/2. Elle apparaît lorsque le processus
présente une certaine symétrie, en particulier lorsque
le réseau est identique à son réseau rival (nous tra-
duisons ainsi l’expression anglaise : matching
lattice [1]) ; en effet la somme des seuils de deux réseaux rivaux est égale à un. C’est le cas pour le réseau carré, en percolation de lien, ou pour le réseau
triangulaire en percolation de site.
2) La valeur
po = 1
-2 sin (Jt/18) = 0,652 704
et son complément à l’unité : 0,347 296. Ces valeurs correspondent respectivement à la percolation de
lien du réseau nid d’abeille et de son rival (en lien),
le réseau triangulaire. Elles furent trouvées en 1963
par Sykes et Essam [1] qui exploitèrent le fait qu’on peut passer d’un réseau à l’autre par une transfor- mation étoile-triangle (Fig. 1).
Nous avons adapté ce procédé de substitution
au réseau kagomé, en percolation de lien. (Le seuil
de percolation de site du kagomé est lui déjà connu :
on peut montrer qu’il est égal à po.) Montrons d’abord
comment on peut obtenir le kagomé à partir d’une
variante du nid d’abeille, par une transformation
étoile-triangle.
2. Passage du nid d’abeifie au kagomé.
-Partant
du nid d’abeille de la figure 2a, nous intercalons un
Fig. 1. - On passe du réseau triangulaire (la) au réseau en nid d’abeille (lb) en remplaçant les éléments triangulaires ABC, DEF...
par des étoiles à trois pointes A’B’C’, D’E’F’...
Nota : Certains éléments ont été dessinés séparés les uns des autres
par souci de clarté, mais doivent être considérés comme jointifs.
Cette remarque est valable pour les autres figures.
[One obtains the honeycomb lattice (1b) from the triangular
lattice (la) by replacing the triangular components ABC, DEF...
by star-shaped components A’B’C’, D’E’F’...
Remark : For clarity some components are separate on the diagram,
but one must hold them to be touching. This remark is valid for the other figures.]
site intermédiaire sur chaque lien (Fig. 2b). Ce réseau
à sites intercalaires est équivalent, du point de vue
de la percolation, au réseau initial, à condition que
la probabilité de conduction, a, affectée aux liens du réseau à sites intercalaires soit liée à la proba-
bilité p des liens du réseau initial par la relation :
En particulier, le seuil du réseau initial étant po le seuil du réseau à sites intercalaires est :
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01979004003023300
234
Fig. 2.
-Passage du nid d’abeille au kagomé. Le nid d’abeille (2a)
où la probabilité des liens est p est équivalent au nid d’abeille à sites intercalaires (2b) où la probabilité est a = /P-. La figure 2c
montre que ce dernier peut être construit à l’aide d’éléments en
forme d’étoiles se touchant par les pointes. Par une transformation
étoile-triangle de ces éléments on obtient la figure 2d qui est le
réseau kagomé.
[Transition from the honeycomb to the kagomé. The honeycomb
lattice (2a), where the bond probability is p, is equivalent to the honeycomb with intermediate sites lattice (2b), where the bond
probability is a = j. The figure 2c shows that the latter can be built with star-shaped components touching each other by their points. By a star-triangle substitution, one then obtains the figure 2d
which is the kagomé lattice.]
La figure 2c montre que ce réseau peut être considéré
comme la juxtaposition d’éléments en forme d’étoile ABC, DEF... se touchant par leurs pointes. Si l’on remplace chaque étoile par un triangle, on obtient la figure 2d qui est le kagomé.
3. Première évaluation du seuil du kagomé.
-On se
pose la question suivante : peut-on remplacer des
éléments en forme d’étoile
-où chaque bras conduit
avec une probabilité a donnée
-par des éléments
triangulaires
-où chaque côté conduit avec une probabilité b, à définir -, et ceci sans que les pro-
priétés de connectivité de l’ensemble changent ? Il
suffirait pour cela que les différentes éventualités
possibles de communication entre les sommets ABC d’un élément aient les mêmes probabilités d’appa-
raître dans le triangle que dans l’étoile. A priori
on peut établir la liste d’éventualités suivante :
1) Les trois sommets sont isolés l’un de l’autre.
2) Les sommets B et C sont liés, mais A est isolé,
et deux autres situations similaires obtenues par
permutations des sommets.
3) Les trois sommets sont reliés entre eux.
Calculons les probabilités de ces trois cas, en fonction de a pour l’étoile, en fonction de b pour le
triangle. Il vient :
Remarque : On constate que l’on a la relation :
ce qui montre que notre liste est bien complète.
Un élément étoile, où la probabilité de conduction de chaque bras vaut a, pourrait être indifféremment
remplacé par un élément en triangle s’il existait
une valeur b satisfaisant les trois équations :
Il suffirait d’ailleurs que deux de ces équations en
b soient satisfaites d’après la remarque qui précède.
Malheureusement, pour une valeur arbitraire de a, il n’existe en général pas de valeur de b satisfaisant le système (S). (Il y a une exception : pour a = po le système est compatible ; sa solution est b = 1 - po et cette remarque constitue la base de la démonstra- tion de Sykes et Essam [1].)
En particulier si a vaut ao, valeur seuil du réseau 2c, les trois équations (S) fournissent trois valeurs diffé- rentes pour b, qui sont respectivement :
On peut supposer que ces trois valeurs constituent des approximations du seuil bo de la percolation
de lien de kagomé, mais sans pouvoir affirmer qu’elles
encadrent le résultat exact.
4. Recherche d’un majorant.
-Supposons qu’on
connaisse une valeur bM de b pour laquelle un élément triangulaire remplace avantageusement, du point de
vue de la connectivité, un élément en étoile dont les bras ont la probabilité ao de conduire ; bM consti-
tuerait visiblement un majorant du seuil bo. Il nous
faut préciser cette notion de remplacement avantageux.
Pour cela considérons une réalisation du réseau de départ 2c, c’est-à-dire un échantillon infini où
chaque bras d’étoile a été déclaré conducteur, ou
au contraire coupé, par un tirage au sort. Par hypo-
thèse on a choisi une probabilité supérieure ou égale
à ao ; l’échantillon contient donc un amas infini.
Supposons qu’on remplace un seul élément étoile ABC par un triangle. On peut envisager trois cas possibles,
illustrés par la figure 3.
Fig. 3.
-Contribution d’un élément donné à l’existence de l’amas infini. En 3a, l’état (conducteur ou non-conducteur) des liaisons à l’intérieur de l’élément ABC n’influe pas sur l’existence de l’amas infini, symbolisé par un chemin tortueux traversant la figure.
En 3b, il est nécessaire qu’à l’intérieur de l’élément, A soit uni à B, le sort de C étant sans importance. En 3c, il n’est pas nécessaire que A soit uni à B et à C ; compte tenu de la bifurcation M, il est suffisant que A soit uni à B ou à C.
[Part played by a given component in the occurrence of the infinite cluster. In 3a, the state (conducting or not conducting) of the bonds of the component does not affect the existence of the infinite cluster, symbolically represented by a twisting path. In 3b, it is necessary for A to be connected to B inside the component, whether C is connected or not is unimportant. In 3c, it is not necessary that A should be connected to B and to C. Because the existence of the bifurcation M, it is sufficient for A to be connected to B or to C.]
a) L’élément ABC ne fait pas partie de l’amas infini, ou bien n’est connecté à cet amas que par un sommet; alors son remplacement par un triangle quel qu’il soit ne porte aucun préjudice à la connec-
tivité d’ensemble de l’échantillon (Fig. 3a).
b) L’élément ABC touche l’amas infini par deux sommets (A et B sur la figure 3b), formant un maillon
de la chaîne de conduction. Un élément triangulaire
sera tout aussi avantageux que lui, à condition que dans ce triangle on encontre, avec au moins la même probabilité que dans l’étoile, la circonstance suivante : A réuni à B, le sort de C étant indifférent. Ceci peut s’écrire : 1
avec
et
La résolution de (1) donne :
c) L’élément ABC touche l’amas infini par ses
trois sommets, constituant une bifurcation dans l’amas. A première vue il semblerait que la pro- babilité à préserver, ou à améliorer, lors de la substi- tution, soit celle de l’événement : A, B et C reliés
tous les trois à l’intérieur de l’élément. C’est la pro- babilité appelée P3 dans la section 3. On arriverait
donc à l’inégalité :
Mais l’amas infini étant unique, la présence de la
bifurcation ABC entraîne nécessairement celle d’au moins une autre bifurcation, telle que M dans la figure 3c. On voit sur cette figure que pour assurer, lors de la substitution, l’existence de l’amas infini
-mais pas forcément celle de la maille BCM - il suffit de préserver à l’intérieur de l’élément, l’événe-
ment : A uni à B ou à C. La probabilité de cet événe-
ment s’écrit, pour l’étoile et le triangle respective-
ment :
La résolution de l’inéquation :
donne :
Pour satisfaire aux trois relations (2), (3), (4), il
suffit de donner à bM la plus grande des trois valeurs, c’est-à-dire b2. On a donc :
Remarque : Les probabilités nt et 71:2 définies dans cette section s’expriment simplement en fonction
de deux quelconques des quantités Pi de la section 3.
5. Recherche d’un minorant.
-Il suffit de trouver
un majorant du seuil du réseau rival du kagomé
c’est-à-dire du réseau dés à jouer. Comme le montre
la figure 4 il s’obtient par une transformation triangle-
étoile à partir du réseau triangulaire à doubles liaisons
(ce dernier est le rival du réseau nid d’abeille à sites
intercalaires). Appelons a’ la probabilité des liens du triangulaire à doubles liaisons. Sa valeur critique est :
Appelons b’ la probabilité de conduction des liens du réseau dés. Nous allons chercher un majorant
de la valeur seuil bô, en suivant exactement la même méthode que dans la section 4. Nous définirons ainsi trois valeurs remarquables de b’ :
b[ = 0,471 077 valeur pour laquelle la probabilité qu’il y ait un chemin entre A et B (le sort de C étant indifférent) soit la même dans l’étoile que dans un
triangle où la probabilité de conduction de chaque
côté vaut a’
b3 N 0,469 690 valeur pour laquelle l’événement :
A uni à B et à C est aussi fréquent dans l’étoile que
dans un triangle où la probabilité des côtés est a’
236
Fig. 4.
-4a : Réseau triangulaire à doubles liaisons, rival du nid
d’abeille à sites intercalaires de la figure 2b. 4b : Autre représentation
du même réseau, montrant qu’il est formé d’éléments triangulaires ABC, DEF, se touchant par les sommets uniquement. 4c : En
substituant aux triangles des étoiles à trois pointes on obtient le réseau de dés-à-jouer, rival du kagomé.
[4a : Triangular lattice with double bonds, matching lattice of the
honeycomb with intermediate sites (2b). 4b : The same lattice, looked as a set of triangular components touching each other
by their vortex only. 4c : By a triangle-star substitution, one obtains the dice lattice, matching lattice of the kagomé.]
b 2 1 ;:t 0,477 628 valeur correspondant à l’événe-
ment : A réuni à B ou à C.
Le majorant cherché est le plus grand de ces trois nombres, c’est-à-dire b2. Son complément à l’unité
est un minorant pour bo. On a donc :
Remarque : On constate que l’on a :
et aussi
Ceci, qui s’interprète aisément par des considé- rations sur les réseaux rivaux, nous permet de réécrire les résultats (5) et (6) sous la forme :
D’une façon symétrique on pourrait donner les bornes du réseau dés squs la forme :
L’expression (7), comme l’expression (8), montre
que pour encadrer le seuil
1) il était inutile de faire appel au réseau rival ; 2) il était inutile de prendre en compte l’événement : A uni à B et à C.
Les deux seules circonstances à examiner étaient :
1) A uni à B, C étant quelconque ; 2) A uni à B ou à C.
Nous conviendrons de qualifier d’essentielles ces
circonstances et les probabilités n, et 1C2 qui leur correspondent.
Les considérations ci-dessus sont très vraisem- blables, mais nous ne pouvons en donner une preuve
rigoureuse. Sous cette réserve, on obtient en résumé,
comme encadrement du seuil du kagomé :
Ce résultat est en désaccord avec la valeur obtenue par Dean par méthode de Monte Carlo [2] : 0,449.
Il confirme bien par contre le résultat de Neal [4]
obtenu aussi par Monte Carlo : 0,526.
6. Généralisation de la méthode de substitution.
-6.1 PERCOLATION DE SITE.
-Si dans la figure 2c
on suppose que les probabilités affectées aux trois
bras d’une étoile ne sont pas indépendantes, mais au
contraire que l’élément tout entier est conducteur
(avec la probabilité s) ou isolant (avec la probabilité
1
-s), on obtient le processus de percolation de
site du réseau nid d’abeille. Autrement dit, on passe de la percolation de lien du nid d’abeille à sites inter-
calaires, à la percolation de site du nid d’abeille en remplaçant les étoiles à bras indépendants par des étoiles où les trois bras sont conducteurs ou isolants
en même temps.
Supposons que, de nouveau, seuls comptent dans la substitution les deux événements essentiels :
1) A uni à B, C étant indifférent ; 2) A uni à B ou à C.
Nous sommes amenés à définir deux valeurs
remarquables de s :
Selon notre conjecture, ces deux valeurs encadrent le seuil de la percolation de site du nid d’abeille.
Ce résultat est d’une précision moindre que le précé-
dent. Il est en bon accord avec les valeurs publiées, qui varient de 0,68 à 0,70 [2, 3].
6.2. ELÉMENTS QUADRIPOLAIRES (percolation de lien).
-1 ) Réseau « carré-octogone ». Il est repré-
senté sur la figure 5, qui montre qu’on peut l’obtenir par substitution à partir du réseau carré à sites inter- calaires (dont le seuil xo vaut ..,10,5). Il suffit de rem-
placer les éléments en forme de croix simples par des losanges à quatre pointes. Pour ces éléments quadripolaires, nous avons dénombré sept événe-
ments essentiels, dont voici la liste :
-
A uni à B (C et D indifférents)
-
A uni à C (B et D indifférents)
-
A uni à B ou à C (D indifférent)
-
A uni à B ou à D (C indifférent)
-
A uni à B ou à C ou à D
-
A ou B, unis à C ou D
-
A uni à B, ou bien (A uni à D et C uni à B).
Fig. 5.
-On passe du réseau carré à sites intercalaires (dont le
seuil est xo = 0,5) au réseau carré-octogone en remplaçant les
croix simples ABCD par des losanges à quatre antennes abcd.
On affecte la probabilité t aux côtés des losanges, et la probabilité
-Jï aux antennes, de façon qu’après suppression des sites inter- calaires tous les liens aient la même probabilité t.
[From the quadratic lattice with intermediate sites (left), one obtains the fbur-eight lattice (right), by replacing the simple crosses
ABCD by lozenges with four limbs abcd. The probability t is affected
to the sides of the lozenges, whereas the value -Jï is affected to the
limbs, so as to obtain the same probability t for all the bonds of the four-eight lattice, after deleting the intermediate sites (circles).]
Ceci permet de calculer sept valeurs remarquables
de la probabilité t de conduction des liens du carré- octogone. La plus petite et la plus grande sont :
Nous admettons qu’elles encadrent le seuil.
Ce résultat est compatible avec celui de Dean (0,675, [2]) et aussi avec celui de Neal (0,684, [4])
obtenus tous deux par Monte Carlo.
2) A titre de vérification, nous avons essayé la
méthode pour le seuil du réseau nid d’abeille lui-même,
qu’on peut obtenir à partir d’un réseau carré aniso- trope comme le montre la figure 6 : on substitue
aux éléments carrés (ou si l’on veut rectangulaires)
des éléments en forme de « doubles-Y ». Les éléments
quadripolaires n’ayant plus toutes les symétries du
carré isotrope, le nombre des événements essentiels s’est montré plus élevé que pour le carré-octogone :
onze cas.
La condition de seuil du carré anisotrope est :
En faisant varier l’anisotropie du réseau de départ,
nous avons obtenu comme meilleurs minorant et
majorant du seuil du nid d’abeille :
Fig. 6.
-On passe du réseau carré anisotrope (où la condition de seuil est px + py = 1) au réseau nid d’abeille en remplaçant
les éléments rectangulaires ABCD par des « doubles-Y », abcd, où les probabilités des diverses branches valent p ou /Pl comme
indiqué.
[Starting from the simple quadratic lattice (with two different probabilities px and py), one obtains the honeycomb, by replacing
the rectangular components, ABCD, by « double-Y » components, where the probabilities of the different bonds are p and JP, as
indicated.]
ce qui est en bon accord avec la valeur exacte
(po N 0,652 704).
7. Conclusion.
-Le procédé de substitution que
nous avons décrit a mis en évidence des propriétés
de connexité à l’intérieur des éléments qui semblent privilégiées du point de vue de la percolation, sans
que nous ayons pu le démontrer rigoureusement.
Pour un tripole symétrique, on a trouvé ainsi deux
probabilités essentielles. Pour un tripole asymétrique,
on en trouverait six :
-
nAB : probabilité que A soit uni à B, C étant quelconque ;
-
n’ : probabilité que A soit uni à B ou à C ;
-
