Percolation
Thomas Budzinski
Lycée Louis le Grand
18 Janvier 2012
Sommaire
1 Présentation du modèle Définitions
Préliminaires probabilistes Transition de phase
2 Cas des arbres Définition
Calcul de la probabilité critique Pourquoi les arbres ?
3 Cas du réseau carré
Théorèmes sur les régimes sous-critique et sur-critique Réseau dual
Calcul de la probabilité critique
Objectifs
Modéliser un milieu aléatoire : Solide poreux
Mélange conducteur-isolant Feux de forêt...
Etudier les transitions de phase : Changement d’états
Ferromagnétisme
Graphes
Définition
Un graphe (simple, non-orienté)Gest un couple(V,E), où V est un ensemble etE un ensemble de parties deV de cardinal 2.
Les éléments deV sont appelés sommets, les éléments deE sont appelés arêtes.
Si{x,y} ∈E,x ety sont dits voisins.
Le degré dex est le nombre de ses voisins.
On dit quex ety sont reliés si il existex0=x,x1, ...,xk =y tels que pour touti ∈[[0,k]],xi etxi+1sont voisins. On note alorsd(x,y)le plus petit entierk tel qu’il existe de telsxi. Six ∈v, on noteraCx la composante connexe du graphe contenantx : c’est l’ensemble des sommets reliés àx.
Quelques exemples typiques
Réseau carré Réseau triangulaire
Réseau cubique Un exemple plus exotique
Qu’est-ce-que la percolation ?
On considère un graphe infiniG= (V,E), localement fini, connexe (en général assez régulier)
On se fixep∈[0,1]
E0sous-ensemble aléatoire deE tel que chaque arête appartient àE avec probabilitép, sans dépendance entre les arêtes.
Les arêtes deE0 sont dites ouvertes, les autres sont dites fermées.
Il y a percolation si(V,E0)admet une composante connexe infinie.
On noteraψ(p)la probabilité qu’il y ait percolation et, si tous les sommets jouent le même rôle,θ(p)la probabilité que la composante connexe contenant l’origine soit infinie.
Exemple
Réseau carré,p= 12
Inégalité de Boole
Proposition
SoientA0,A1, ...,An, ...des évènements. Alors : P(∃n∈N,An)≤X
n∈N
P(An)
Démonstration.
P(∃n∈N,An) = P(A1) +P(A2\A1) +P(A3\(A1∪A2)) +...
≤ P(A1) +P(A2) +P(A3) +...
Loi du 0-1 de Kolmogorov
Théorème
Soit A un évènement invariant si on change l’état d’un nombre fini d’arêtes. Alors P(A)∈ {0,1}.
En théorie de la mesure, les évènements sont "engendrés"
par une certaine famille d’évènements, ici ceux qui ne dépendent que d’un nombre fini d’arêtes.
Or,Aest indépendant avec chacun de ces évènements.A est donc indépendant avec lui-même, soit :
P(A) =P(A∩A) =P(A)2
Inégalité FKG
Définition
Un évènement est dit croissant si pour toute configuration oùA se produit et toute arêteefermée dans cette configuration,A se produit toujours siedevient ouverte.
Proposition
SoientAetBdes évènements croissants. Alors : P(A∩B)≥P(A)P(B)
Démonstration : on le montre par récurrence pour des
évènements qui ne dépendent que d’un nombre finind’arêtes (par récurrence surn), puis un théorème de convergence permet de passer au cas général.
Transition de phase
Théorème
Il existe pc ∈[0,1]tel que : Si p<pc, alorsψ(p) =0 Si p>pc, alorsψ(p) =1
De plus, si tous les sommets jouent le même rôle, pc =inf{p∈[0,1], θ(p)>0}.
pc (qui dépend du graphe) est appelée probabilité critique.
Démonstration.
Siθ(p)>0,ψ(p)≥θ(p)>0 doncψ(p) =1 d’après la loi du 0-1.
Siθ(p) =0,ψ(p)≤P
x∈VP(|Cx|=∞) =0
La fonction θ
p θ(p)
0 1
pc 1
Proposition
Si les degrés des sommets sont bornés (parM),pc >0.
p
c> 0
Démonstration.
Soitn∈N: siC0est infinie, elle contient un chemin auto-évitant de longueurnissu de 0.
SoitP(n)l’ensemble de ces chemins etσ(n)leur nombre : θ(p) ≤ Pp(Il existec ∈P(n)ouvert)
≤ X
c∈P(n)
Pp(cest ouvert)
= σ(n)pn
≤ Mnpn
donc pourp< M1,θ(p) =0, d’oùpc ≥ M1.
Arbres
Définition
Un arbre est un graphe sans cycles.
L’arbre régulier de degréd, notéTd est l’arbre dont tous les sommets sont de degréd.
Exemple (d =3) :
Calcul de p
cThéorème pc(Td) = d−11 Démonstration.
On ne change pas la valeur depc en supprimant une "branche"
de l’arbre. On obtient ainsi l’arbreTd0 : 0
1 d −1
2 3 . . . . . . . . . .
Td0 Td0
Démonstration (suite)
Démonstration.
1 0
2
d-1 . . . . .
Td0 Td0 Td0
SiC ensemble de sommets,r(C) =maxx∈Cd(0,x).
Pour toutn, on poseun(p) =Pp(r(C0)<n).
(un(p))est croissante et majorée donc converge, et 1−θ(p) =limn→∞un(p).
r(C0)<nssi pour touti∈[[1,d−1]], l’arête{0,i}est fermée OU{0,i}est ouverte etri(Ci)<n−1, d’où :
un+1(p) = (1−p+pun(p))d−1 un(0) = 0
Démonstration (fin)
Démonstration.
On pose doncf(x) = (1−p+px)d−1, définie sur[0,1].
(un(p))converge vers le plus petit point fixe def, donc θ(p)>0 ssif admet un point fixe dans[0,1[.
0 1
1 0
1
1
f est convexe,f(0)>0 doncθ(p)>0 ssif0(1)>1.
f0(1) =p(d−1), doncθ(p)>0 ssip> d−11 .
Pourquoi étudier les arbres ?
Intérêt en soi : arbres généalogiques :
Probabilité d’extinction de la descendance d’un individu : 13%
Probabilité d’extinction de son nom de famille : 92%
Donne des informations sur la percolation sur d’autres graphes : en grande dimension, les réseaux se comportent souvent comme des arbres :
pc(Zd)∼ 2d1
Exposants critiques : pourd ≥6, ils prennent la même valeur pourZd que pour les arbres. (conjecture) Autres processus aléatoires (marches aléatoires...)
Décroissance exponentielle et unicité de la composante connexe infinie
Théorème
Si p<pc, il existeξ(p)>0tel que :
Pp(r(C0)≥n) =O(e−ξ(p)n) Conséquence :Pp(|C| ≥n) =O(e−ξ(p)
√
(n)) En particulier,P
n∈NnPp(|C|=n)<∞:
La taille moyenne des composantes connexes est finie.
Théorème
Si p>pc, la composante connexe infinie est presque sûrement unique.
Réseau dual
Etant donné un graphe planaireG, on peut définir son graphe dualG∗ :
Les sommets deG∗sont les "faces" délimitées par les arêtes deG.
Deux sommets deG∗ seront reliés si les faces correspondantes sont séparées par une arête.
Autodualité
Le réseau carréL2est autodual :
De plus, à chaque arêteedeL2, on peut associer une arêtee∗ du dualL∗. Chaque sous-grapheGdeL2induit donc un sous-grapheG∗deL∗, tel quee∗ est une arête deG∗ ssie n’est pas une arête deG.
p
c≤
12SiGest obtenu par percolation avec probabilitép,G∗est un graphe obtenu par percolation avec probabilité 1−p.
On poseS(n) =L2∩[0,n+1]∗[0,n]et S∗(n) =L∗∩[−12,n+12]∗[12,n−12].
On noteAnl’évènement : "Il existe un chemin ouvert traversantS(n)de haut en bas." etA∗nl’évènement : "Il existe un chemin ouvert dans le dual traversantS∗(n)de gauche à droite."
S(n)etS∗(n)sont isomorphes, doncP1−p(A∗n) =Pp(An) et, en particulier,P1
2
(A∗n) =P1 2
(An).
A∗nse produit ssiAnne se produit pas, d’où : P1
2(An) +P1
2(A∗n) =1
p
c≤
12(suite et fin)
On en déduitP1
2(An) = 12.
Cependant, pour toutk ∈[[0,n]], si(k,0)est relié à un sommet de la forme(l,n+1), alorsr(C(k,0))≥n+1, donc, sip<pc :
Pp(An) ≤
n
X
k=0
Pp(r(C(k,0))≥n+1)
≤ A(n+1)e−ξ(p)n
→ 0 d’oùpc ≤ 12
p
c≥
12(lemme)
On noteT(n) = [[0,n]]2\{(0,0),(0,n),(n,0),(n,n)}et on note Ah(n)l’évènement : "Il existe un chemin ouvert infini partant d’un sommet(k,n)avec 1≤k ≤n−1 et ne repassant pas dans T(n)."
Lemme
Sip>pc,Pp(Ah(n))→1 quandn→ ∞.
Démonstration.
On définit de mêmeAb(n),Ag(n)etAd(n): quandn→ ∞: Pp(Ah(n)∪Ab(n)∪Ag(n)∪Ad(n))→1
De plus,Pp(Ah(n)) =Pp(Ab(n)) =Pp(Ag(n)) =Pp(Ad(n))
p
c≥
12(preuve du lemme)
Démonstration.
(1−Pp(Ah(n)))4 = Y
i∈{h,b,g,d}
Pp(Aci(n))
≤ Pp( \
i∈{h,b,g,d}
Aci(n))
= 1−Pp(Ah(n)∪Ab(n)∪Ag(n)∪Ad(n))
→ 0 doncPp(Ah(n))→1.
On suppose maintenantpc < 12. Alors pourp= 12, il y a percolation surL2et surL∗.
p
c≥
12(suite)
On poseT∗(n) =T(n) + (12,12)et on définitA∗h(n)etc...
Pournassez grand : P1
2(Ah(n)∩Ab(n)∩A∗g(n)∩A∗d(n))≥ 1 2 Ch
Cb Cg∗
Cd∗
p
c≥
12(fin)
Par unicité de la composante connexe infinie dansL2,Ch est presque sûrement relié àCbet, par unicité dansL∗,Cg∗ est presque sûrement relié àCd∗.
Cependant, dans ce cas, les "raccords" se "croisent" dans T(n), ce qui est impossible, d’où la contradiction, donc pc ≥ 12.
Théorème pc(L2) = 12
Bibliographie
G. Grimmett.
Percolation.
Springer-Verlag, 1989.
A. Kolmogorov.
Foundations of the Theory of Probability.
AMS Chelsea Publishing, 1956.
W. Werner
Lacets et invariance conforme
Leçons de mathématiques d’aujourd’hui, volume 3, p.139-164, Cassini, 2007
P.G. de Gennes.
La percolation, un concept unificateur.
La Recherche, 7, 921-926, 2000.
