Enonc´e noD255 (Diophante) Vrais ou faux ?
Q1– Dans ce quadrilat`ere convexeABCD, on aAB=CD et les angles enAetCsont ´egaux.ABCDest n´ecessairement un parall´elogramme : vrai ou faux ?
Q2– Deux quadrilat`eres convexes ABCD et P QRS sont tels que les dimensions des quatre cˆot´es et des deux diagonales class´ees par ordre croissant sont identiques. Ces deux quadrilat`eres ne sont pas n´ecessairement identiques : vrai ou faux ?
Dans les deux cas, justifier votre r´eponse.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1 : faux
L’´egalit´e d’angles (AB, AD) = (CD, CB) entraˆıne que les cercles cir- conscrits aux triangles ABD etBCD sont sym´etriques par rapport `a BD(arcs capables).
SoitC0 le sym´etrique deC par rapport `a la m´ediatrice deBD;C0 etA sont de part et d’autre deBD, commeC etA. En outreBC0 =DC = BA, donc C0 etA appartiennent au mˆeme cercle de centreB dontBD est axe de sym´etrie.
Cas 1 :BA≤BD
Le cercle de centre B ne rencontre l’arc capable auquel appartient C qu’en un point,C0, sym´etrique deA par rapport `a BD.
Le produit des sym´etries par rapport `a BD et par rapport `a la m´ediatrice de BD est la sym´etrie par rapporr au milieu M de BD.
C est le transform´e de A par ce produit, donc le sym´etrique de A par rapport `a M.
Les diagonalesAC etBDdu quadrilat`ere se coupent en leur milieuM, ce qui est une propri´et´e caract´eristique du parall´elogramme.
Cas 2 :BA > BD
L’une des intersections du cercle de centre B et de l’arc capable au- quel appartientC est un pointC0, diff´erent du sym´etriqueX0 de Apar rapport `a BD. Alors ABCD diff`ere du quadrilat`ereABXD construit comme dans le cas 1, et qui est un parall´elogramme, le seul ayant A comme sommet et BD comme diagonale. ABCD n’est pas un pa- rall´elogramme bien que remplissant les conditions de l’´enonc´e.
Question 2 : vrai
Si l’on admet que seules sont identiques des figures superposables par d´eplacement, sans retournement, il est facile de r´epondre vrai : un qua- drilat`ere sans axe de sym´etrie et son sym´etrique par rapport `a un axe donnent la mˆeme liste de longueurs.
Si l’identit´e au sens de l’´enonc´e englobe des figures sym´etriques par rapport `a un axe, il faut pousser plus loin l’analyse pour voir si des quadrilat`eres non sym´etriques l’un de l’autre peuvent avoir la mˆeme liste de longueurs.
SoitABCDun quadrilat`ere convexe, etC0 le point tel que BCAC0 est un parall´elogramme. Le quadrilat`ere convexeBDAC0 a pour cˆot´esBD (diagonale de ABCD),DA,AC0=CB (cˆot´es deABCD),C0B =AC (seconde diagonale deABCD), et pour diagonalesAB(cˆot´e deABCD) etDC0. Pour garder la mˆeme liste de longueurs, il faut queDC0 =CD, c’est `a dire queD soit pris sur la m´ediatrice de CC0. Cela n’implique aucune sym´etrie entre les deux quadrilat`eres, car on a le libre choix du triangle ABC, puis de D sur la m´ediatrice, pour obtenir que dans le quadrilat`ereABCD il n’y ait pas d’´egalit´e entre cˆot´e et diagonale.
1