Surface du quadrilat`ere
Dans un quadrilat`ere convexeABCDd’aireS, on place sur chaque cot´e 4 points qui divisent le cot´e en 5 intervalles de mˆeme longueur. On obtient une grille en joignant les points homologues de deux cot´es oppos´es (voir figure ci-dessous).
Montrer que le sous-quadrilat`ere central (en rouge) a une aire ´egale `aS/25.
A
B C
D
a) Montrons que les points d’un segment int´erieur de la grille sont ´equidistants.
Consid´erons un pointP0:=p D+(1−p)Asur le cot´eADet un pointP00 :=p C+(1−p)B selon les mˆemes proportions sur le cot´e oppos´eBC. De mˆeme pla¸cons un pointQ0 :=qB+ (1−q)A sur le cot´eAB et un pointQ00 :=q C+ (1−q)D selon les mˆemes proportions sur le cot´e oppos´e DC.
A
B C
D
P0
P00
Q0 Q00
Le pointP :=qP00+ (1−q)P0 se trouve sur P0P00 dans les mˆemes proportions queQ0 surAB et que Q00 sur DC. On peut l’´ecrire :
P =q[pC+ (1−p)B] + (1−q)[pD+ (1−p)A] =qpC+q(1−p)B+ (1−q)pD+ (1−q)(1−p)A.
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Le pointQ:=p Q00+ (1−p)Q0 se trouve surQ0Q00 dans les mˆemes proportions que P0 surAD et que P00 sur BC. On peut l’´ecrire :
Q=p[qC+ (1−q)D] + (1−p)[qB+ (1−q)A] =pqC+p(1−q)D+ (1−p)qB+ (1−p)(1−q)A.
On voit que P et Q sont confondus. C’est l’intersection de P0P00 et de Q0Q00.
b) Si l’on joint des points ´equidistants sur deux cot´es oppos´es du quadrilat`ere, les quadrilat`eres ainsi d´elimit´es ont des aires en progression arithm´etique.
On d´ecompose chaque quadrilat`ere en deux triangles (voir figure ci-dessous).
A
B C
D
Les triangles jaunes ont mˆeme base et des hauteurs en progression arithm´etique. Leurs aires sont donc en progression arithm´etique. Il en est de mˆeme pour les triangles compl´ementaires des triangles jaunes. D’o`u le r´esultat pour la suite des quadrilat`eres.
c) L’aire du quadrilat`ere A0B0C0D0 (en rouge ; figure ci-dessous) est ´egale `a S/5.
A
B C
D
A0 B0 C0
D0
Appelons Q1, Q2, Q3 (en rouge) Q4, Q5 les 5 quadrilat`eres et A1, A2, A3, A4, A5 leurs aires.
Celles-ci ´etant en progression arithm´etique, on a 2A3 = A2 + A4 = A1+ A5. On a donc S=A3+ (A2+A4) + (A1+A5) = 5A3.
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d) L’aire du quadrilat`ere central (en rouge ; figure ci-dessous) est ´egale `a S/25.
A
B C
D
A0 B0 C0
D0
On applique le r´esultat obtenu en c) au quadrilat`ere A0B0C0D0. On utilise ici le fait [montr´e en a) ] que les points d’un segment int´erieur sont ´equidistants. L’aire du quadrilat`ere central est donc ´egale au cinqui`eme de l’aire du quadrilat`ere A0B0C0D0, donc ´egale `aS/25.
Remarque :
Plus g´en´eralement, si l’on partage chaque cot´e en n intervalles de mˆeme longueur (o`u n est impair), l’aire du quadrilat`ere central sera ´egale `aS/n2.
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