Arithm´ etique dans Z

Universit´e de Reims Champagne-Ardennes Ma0304 Arithm´etique, 2013-2014

Feuille de TD n ^◦ 3

Arithm´ etique dans Z

Divisibilit´e et congruences

Exercice 1. Montrer que pour toutn∈N, 1. 8|n²−1,

2. 7|2³ⁿ−1, 3. 5|2²ⁿ⁺¹+ 3²ⁿ⁺¹, 4. 17|2⁶ⁿ⁺³+ 3⁴ⁿ⁺², 5. 676|27ⁿ⁺¹−26n−27,

6. pour touta, b∈Zetn∈N^∗,a−b|aⁿ−bⁿ. Exercice 2. Num´erotation en base b≥2

1. D´emontrer que tout entier a∈N^∗ s’´ecrit sous la forme

a=anbⁿ+an−1bⁿ⁻¹+· · ·+a1b+a0, o`u n∈N et 0≤a_i ≤b−1, a_n6= 0.

2. D´emontrer que la d´ecomposition pr´ec´edente est unique. On l’appellel’´ecriture de l’en- tier a dans la base b.

3. Applications.

(a) ´Ecrire 17 en base 10,9,8,7,6,5,4,3,2 respectivement.

(b) ´Ecrire 5435 en base hexad´ecimale.

(c) Trouver la basebdans laquelle on a 14×41 = 1224.

(d) Trouver en base 10 les entiers qui s’´ecrivent simultan´ement sous les formes suivantes : xyz en base 7 etzyxen base 11.

(e) b= 10. Trouver les entiers 0≤p, q≤9 tels que 356q2pest divisible par 35.

(f) b= 10. Trouver les entiers 0≤p, q≤9 tels queppqq est un carr´e.

4. En notant que 7×11×13 = 1001, d´eterminer un crit`ere de divisibilit´e d’un entier n= an· · ·a2a1a0 par 7,11 ou 13 faisant intervenir la sommea2a1a0−a5a4a3+· · ·.

5. ´Ecrire un algorithme de num´erotation en baseb.

PGCD et PPCM

Exercice 3. Calculer le pgcd dea= 9100 etb= 1848, puis dea=n³+ 2netb=n⁴+ 3n²+ 1 pour toutn∈N^∗. Dans les deux cas, trouver ensuite un couple de Bezout pour ces entiers.

Exercice 4. Montrer que si a∧b= 1, alors pour tout p, q∈N^∗,a^p∧b^q = 1.

En d´eduire que∀n∈N^∗,aⁿ∧bⁿ= (a∧b)ⁿ.

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Exercice 5. Soient a, b∈Z. Montrer que (a|b)⇔(a²|b²).

Exercice 6. 17 pirates s’emparent d’un navire. S’ils se partagent le butin, il reste 3 pi`eces d’or pour le cuisinier chinois. Les pirates se querellent et 6 d’entre eux sont tu´es. S’ils se partagent le butin, il reste 4 pi`eces d’or pour le cuisinier chinois. Le navire fait naufrage, et seuls 6 pirates survivent. Le partage laisserait alors 5 pi`eces d’or au cuisinier. Combien celui-ci aura-t-il au minimum lorsqu’il empoisonnera les pirates survivants ?

Exercice 7. R´esoudre dans Z² les ´equations suivantes :

56x+ 72y= 41, 56x+ 72y= 40.

Exercice 8. On cherche les couples (x, y)∈N² tels que x+y= 56 etx∨y= 105.

1. Soit (x, y) une solution, etδ =x∧y. Montrer queδ = 1 ou δ= 7.

2. D´eterminer les couples (x, y) dans chacun des cas propos´es.

Exercice 9. Chercher les couples d’entiers (a, b) tels que a∧b= 42 eta∨b= 1680.

Exercice 10. D´eterminer tous les couples d’entiers naturels (m, d) tels que 8m= 105d+ 30.

En d´eduire tous les couples (a, b) dontm est le PPCM et dest le PGCD.

Exercice 11. On consid`ere a, b, c, d ∈ Z et on cherche u, v, w ∈ Z v´erifiant la relation ua+ bv+cw=d.

1. `A quelle condition n´ecessaire et suffisante cette ´equation a-t-elle des solutions ? 2. Montrer que l’´equation est ´equivalente aux deux suivantes, avecy∈Z:

ua+bv=y(a∧b) et y(a∧b) +wc=d.

3. En d´eduire tous les triplets d’entiers (u, v, w) tels que 4u+ 6v+ 8w= 10.

Exercice 12. R´esoudre dansZ² les ´equations xy= 2x+ 3y, puisx²−y²−x+ 3y= 30.

Exercice 13. On consid`ere trois entiers naturelsn, p, q avec n≥2 et q >0.

1. On ´ecrit la division euclidienne depparq sous la formep=aq+r. Montrer que la division euclidienne den^p−1 par n^q−1 est

n^p−1 = (n^(a−1)q+r+· · ·+n^2q+r+n^q+r+n^r)(n^q−1) + (n^r−1).

2. En d´eduire (n^p−1)∧(n^q−1) en fonction de netp∧q.

Exercice 14. On consid`ere trois entiers naturelsa, b, c. Etablir la relation (a∨b∨c)×(bc∧ca∧ab) =|a| × |b| × |c|.

Exercice 15. Th´eor`eme des restes chinois

Soient p, q premiers entre eux et a, b des entiers tels que 0≤a < p, 0≤b < q. D´eterminer les solutions du syst`eme

n≡a [p],

n≡b [q]

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Anneau (Z/nZ,+,×)

Exercice 16. Ecrire les tables de l’addition et de la multiplication dans l’anneau´ Z/nZ pour n= 2,3,4,5. Lesquels de ces anneaux sont int`egres ? Montrer ensuite que l’´equationx²−10y²= 2 n’a pas de solution dansZ² [raisonner dansZ/5Z].

Exercice 17. Montrer que les ´el´ements inversibles dans Z/nZ sont les classes des ´el´ements qui sont premiers avecn, i.e.

(Z/nZ)^∗={x|x∧n= 1}.

Exercice 18. D´emontrer les ´equivalences entre les trois conditions suivantes : 1. nest premier,

2. (Z/nZ,+,×) est un anneau int`egre, 3. (Z/nZ,+,×) est un corps.

Exercice 19. R´esoudre la congruencea²+a≡2[p] pourp∈P. Exercice 20. Th´eor`eme des restes chinois

Montrer que si m∧n= 1, on a

Z/mZ×Z/nZ'Z/mnZ

Nombres premiers

Exercice 21. D´emontrer, pour touta, b∈Z^∗,a|b⇔a²|b². Exercice 22. Soit p∈P eta∈Z.

1. ´Etablir l’´equivalencep|a⇔p|a².

2. Soient x, y ∈ Z. Montrer que x² +y² ≡ 0[11] ⇒ x ≡ 0[11] ety ≡ 0[11]. En d´eduire l’ensemble des solutions enti`eres de l’´equation x²+y²= 11z².

Exercice 23. Petit th´eor`eme de Fermat Soit p∈P.

1. Montrer que pour toutk= 1,· · ·, p−1,p|C_p^k. 2. D´emontrer que pour tout n∈Z,n^p ≡n[p].

3. En d´eduire le petit th´eor`eme de Fermat : pour tout n ∈ Z, si p ne divise pas n, alors n^p−1 ≡1[p].

4. Quelques applications.

(a) Pour touta∈Z,a⁷ ≡a[42].

(b) Pour toutn∈Z, ⁿ₇⁷ +ⁿ₅⁵ +²³ⁿ₃₅ ∈Z Exercice 24.

1. Soit x ∈ Q^∗. D´emontrer que, parmi les repr´esentants ^p_q de x, il en existe un, et un seul, v´erifiantp∧q= 1 etq ∈N^∗. On l’appelle le repr´esentant irr´eductible de x.

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2. D´emontrer que√

2 est irrationnel.

3. G´en´eralisation : soitn∈N^∗ qui n’est pas un carr´e. Montrer que√ n /∈Q.

4. Montrer que√ 2 +√

3∈/ Q.

Exercice 25. Cryptographie asym´etrique - Syst`eme RSA

La probl´ematique de la cryptographie asym´etrique est la construction de deux fonctions Φ, σ:Z/nZ−→Z/nZ, n∈N,

appel´ees respectivement clefs de codage et de d´ecodage. Φ transforme (la classe d’´equivalenceM d’) un message fini M ∈[|1, n|], en (la classe d’´equivalence C d’) un message cod´e C∈[|1, n|], etσ est l’inverse `a gauche de Φ, i.e.

σ◦Φ = Id_Z/nZ.

En pratique, l’entier n est tr`es grand, la clef de codage est publique et celle de d´ecodage est priv´ee. Nous nous proposons ici de construire les applications Φ etσ utilis´ees en cryptographie RSA (cartes banquaires...).

Soient p, q ∈ P, p 6= q. On pose n = pq, et m = (p−1)(q −1). Soit ensuite e ∈ Z tel que e∧m= 1. On ae∈(Z/mZ)^∗, et on notedun repr´esentant de l’inverse dee dansZ/mZ.

1. Soient Φ :x7→ x^e etσ :x7→x^d. Montrer que Φ (resp. σ) d´efinit bien une application de Z/nZdans lui-mˆeme, enti`erement d´etermin´ee par le couple (n, e) (resp. (n, d)).

2. Montrer que pour tout M ∈ N,M^ed ≡M[p] et M^ed ≡M[q]. En d´eduire que pour tout M ∈N, M^ed ≡M[n].

3. En d´eduire queσest l’inverse `a gauche de Φ, puis commenter la fiabilit´e de cette proc´edure.

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