Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚22
Arithm´ etique dans Z et dans les espaces de polynˆ omes
Dans toute cette feuille, la lettreKd´esigneRouC.
Exercice 222 (Calcul des puissances d’une racine cinqui`eme de l’unit´e non triviale) 1. ´Ecrire en extension l’ensemble U5 des racines de l’unit´e dansC.
2. Soitζ∈U5\ {1}.
(a) Calculerζ0, ζ1, ζ2, ζ3, ζ4, puis montrer que ces cinq nombres complexes sont deux `a deux distincts.
(b) Calculerζn pour toutn∈Z.
Indication : On pourra distinguer plusieurs cas suivant le reste de la division euclidienne de npar 5.
Exercice 223 (Crit`ere de divisibilit´e par 5) 1. Soitn∈N≥2et soit
n=apap−1. . . a2a1a0
son ´ecriture en base 10. On a donc :
n=ap10p+ap−110p−1+ap−210p−2+. . .+a2102+a110 +a0= Xp
i=0
ai10i
o`up∈Net (ap, ap−1, ap−2, . . . , a2, a1, a0)∈J0,9Kp+1.
(a) Soiti∈N∗. Donner le quotientqi et le resteri de la division euclidienne de 10i par 5.
(b) Montrer que :
nest divisible par 5 ⇔ a0 est divisible par 5
⇔ a0∈ {0,5}.
2. Formuler le crit`ere de divisibilit´e par 5 d´emontr´e pr´ec´edemment `a l’aide d’une phrase en fran¸cais.
3. Le nombre 50505050501 est-il divisible par 5 ?
Exercice 224 (Crit`ere de divisibilit´e par 3) 1. Soitn∈N≥2et soit
n=apap−1. . . a2a1a0
son ´ecriture en base 10. On a donc :
n=ap10p+ap−110p−1+ap−210p−2+. . .+a2102+a110 +a0= Xp
i=0
ai10i
o`up∈Net (ap, ap−1, ap−2, . . . , a2, a1, a0)∈J0,9Kp+1.
(a) Soiti∈N. Donner le quotientqi et le resteri de la division euclidienne de 10i par 3.
(b) Montrer que :
nest divisible par 3 ⇔ Xp i=0
ai est divisible par 3
2. Formuler le crit`ere de divisibilit´e par 3 d´emontr´e pr´ec´edemment `a l’aide d’une phrase en fran¸cais.
3. Le nombre 123456789 est-il divisible par 3 ?
1
Exercice 225 (CNS pour que la racine carr´ee d’un entier soit un nombre irrationnel) 1. (a) D´ecomposer 91875 en produit de facteurs premiers.
(b) Montrer que√
91875 est un nombre irrationnel.
2. Soit n ∈ N≥2. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur la d´ecomposition de n en produit de facteurs premiers pour que√
nsoit un nombre irrationnel.
Exercice 226 (Crit`ere de divisibilit´e par 9)
En s’inspirant de la d´emarche de l’exercice 224, d´emontrer qu’un entier sup´erieur ou ´egal `a 2 est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres (dans son ´ecriture en base 10) est elle-mˆeme divisible par 9.
Exercice 227 (Crit`ere de divisibilit´e par 11) 1. Soitn∈N≥2et soit
n=apap−1. . . a2a1a0
son ´ecriture en base 10. On a donc :
n=ap10p+ap−110p−1+ap−210p−2+. . .+a2102+a110 +a0= Xp
i=0
ai10i
o`up∈Net (ap, ap−1, ap−2, . . . , a2, a1, a0)∈J0,9Kp+1.
(a) D´emontrer que pour touti∈N, il existeqi∈Ntel que : 10i= 11qi+ (−1)i. (b) Montrer que :
nest divisible par 11 ⇔ Xp i=0
(−1)iaiest divisible par 11
2. Formuler le crit`ere de divisibilit´e par 11 d´emontr´e pr´ec´edemment `a l’aide d’une phrase en fran¸cais.
3. Le nombre 13580111234525 est-il divisible par 11 ?
Exercice 228 (´Equations dans des espaces de polynˆomes) 1. Montrer que l’´equation :
P3=X7+X−3 d’inconnueP ∈K[X] n’admet aucune solution.
2. R´esoudre l’´equation
X3P′=P2 d’inconnueP ∈K[X].
Exercice 229 (Division euclidienne de polynˆomes)
1. D´eterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de X6+X3+ 1 parX2+ 1.
2. Donner une racine de−X11+ 2X10+X−2. En d´eduire le quotient et le reste de la division euclidienne de−X11+ 2X10+X−2 par
X9 i=0
Xi.
Exercice 230 (Reste de la division euclidienne d’un polynˆome par (X−α)(X−β), o`uα6=β) SoitP ∈K[X]. Soient (α, β)∈K2tel que α6=β.
Donner le reste de la division euclidienne deP par (X−α)(X−β) en fonction dePe(α) etPe(β).
2
Exercice 231 (Divisibilit´e, racine et multiplicit´e)
SoientP etQdeux polynˆomes deK[X]\ {0}tels que P diviseQ. Soitα∈Kune racine deP.
Montrer queαest racine de Qet que la multiplicit´e de αdans P est inf´erieure ou ´egal `a la multiplicit´e deα dansQ.
Exercice 232 (Le polynˆome d´eriv´e d’un polynˆome deR[X] scind´e sur Rest scind´e surR) SoitP ∈R[X] un polynˆome scind´e surR. Montrer queP′ est scind´e surR.
Exercice 233 (Exemple d’un polynˆome sans racine multiple) Soitn∈N∗. Montrer que le polynˆome
P = Xn k=0
1 k!Xk
n’a pas de racine multiple (i.e. n’a pas de racine de multiplicit´e sup´erieure ou ´egale `a 2).
Exercice 234 (´Equation alg´ebrique venant de la g´eom´etrie) Soit (−→i ,−→j ,−→
k) une base orthonorm´ee de l’espace. Soitλ∈R. Soient les vecteurs :
−
→u(1−λ,0,1) ; −→v(0,1−λ,1) ; −→w(1,1,1−λ).
D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante surλpour que (−→u ,−→v ,−→w) soit une base de l’espace.
Exercice 235 (Exemple de r´esolution d’une ´equation alg´ebrique de degr´e 8) 1. Soit le polynˆomeP ∈K[X] d´efini par :
X8+ 15X4+ 8X7−8X3+ 24X6−24X2+ 32X5−32X−16.
(a) D´emontrer que−2 est racine deP.
(b) D´eterminer l’ordre de multiplicit´e de−2 dans P.
2. R´esoudre l’´equation
(E) x8+ 15x4+ 8x7−8x3+ 24x6−24x2+ 32x5−32x−16 = 0 dansC, puis dansR.
Exercice 236 (Exemples de r´esolutions de syst`emes alg´ebriques)
1. R´esoudre le syst`eme
a+b = −3 ab = 3 +i d’inconnue (a, b)∈C2.
2. R´esoudre le syst`eme
a+b+c = 3 ab+ac+bc = −33
abc = −35
d’inconnue (a, b, c)∈R3.
Exercice 237 (D´ecomposition d’un polynˆome en produit de facteurs irr´eductibles) D´ecomposer en en produit de facteurs irr´eductibles les polynˆomes suivants dansR[X].
1. X2−5X+ 6 2. X3+ 8 3. X8+ 1
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