D1890. De sym´ etrie en sym´ etrie
Premi`ere partie
D est le milieu deBC. Gd´ecrit le cercleγ image deΓpar l’homoth´etie (D, 1/3). γ a pour centreJ : −→
DJ =
−−→ DO
3 , et d´ecoupe BC en 3 segments de mˆeme longueurBE, EF,F C.
G1Gpasse par le point fixeHdiam´etralement oppos´e `aEsurγ, de mˆeme que la perpendiculaire en A `a AB passe par le point diam´etralement oppos´e `a B surΓ.
La m´ediatrice de GH passe par J, donc celle de HG1 coupe la parall`ele `a BC passant par J au point fixeK ⇒ G1d´ecrit le cercle (K,KH).
−−→ BK =
−→BO
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G2d´ecrit le cercle (L,LE) sym´etrique du pr´ec´edent par rapport `a la m´ediatrice deBC.
G3 d´ecrit le cercle sym´etrique deγ par rapport `aBC.
Lorsque BOC\ = 2π
3 , les 3 lieux passent par M qui est alors sym´etrique de Opar rapport `a BC.
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Deuxi`eme partie : BAC < π/2\
E est l’intersection de la bissectrice interne issue deA du triangleABC avec Γ, etS le sym´etrique deQpar rapport `a AE.
La sym´etrie autour deAC montre queS est le sym´etrique deOpar rapport `a AC, et queRest le sym´etrique deOpar rapport `aAG, elle-mˆeme sym´etrique deAE par rapport `a AC.
O,P,Q,RetS appartiennent au cercle (A, OA).
Les quadrilat`eresAOP E, AOSC et AORGsont des losanges etP,R et S d´ecrivent les cerclesΓp (E,OE),Γr (G, OG) etΓs (C, OC).
QAO\ =BAC\ : Qd´ecrit le cercleΓq O,2OA sin(BAC\ 2 )
.
Avec la restriction que A doit rester sur l’arc BC du mˆeme cˆot´e que O, les lieux sont limit´es par les positions des pointsP,Q,RetSlorsqueAtend vers B ou versC.
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Deuxi`eme partie : BAC > π/2\
Ce qui a ´et´e montr´e dans le casBAC < π/2\ reste valable, en rempla¸cantE parE0 etGparG0.
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