M1 – g´ eom´ etrie TD 1 – Ann´ ee 2020–2021
Exercice 1. Dans l’espace affineQ4 de coordonn´ees (x1, x2, x3, x4), pourλ∈Q, consid´erons : D :
x1+x3−x4+ 1 = 0,
x2+x4−1 = 0. Dλ:
−x1+x2−x3+x4=−2, x1−x2−x3+λx4=λ.
Montrer que D et Dλ sont deux plan affines, dont on donnera les directions. Montrer que D∩Dλ est r´eduit `a un seul point. Que vaut aff(D∪Dλ) ?
Exercice 2. Soit (O,#—u1, . . . ,#—un) rep`ere d’un espace affineE surK et R= (P0, . . . , Pn)∈ En+1 points de E de coordonn´ees cart´esiennes (X0, . . . , Xn) avecXi=t(1, x1,i, . . . , xn,i)∈Kn+1.
1. Exprimer le fait queRest un rep`ere affine en fonction des (xi,j).
2. Dans ce cas, donner les coordonn´ees enRdes (n+ 1) points (O, O+#—u1, . . . , O+#—un).
Exercice 3. SoitR= (P0, P1, P2) rep`ere affine d’un plan affineE et (λ0, λ1, λ2) coordonn´ees barycentriques deP ∈ E. NotonsLila droite joignant les points de {Pj|j∈J0,2K\ {i}}.
1. Exprimer en lesλi le fait queP n’appartient pas `aL0∪L1∪L2. 2. Exprimer en lesλi le fait que (P Pi) n’est pas parall`ele `a Li.
3. Soit (P Pi) non parall`ele `a Li pour i= 0,1,2 et notons Qi = (P Pi)∩Li. Calculer les coordonn´ees barycentriques de (Q0, Q1, Q2) enRpuis celles deP en les rep`eres (Pi, Qi).
Exercice 4 (Th´eor`eme de Gergonne). Soit A, B, C, A0, B0, C0 comme dans le th´eor`eme de M´en´ela¨us, avec (AA0), (BB0), (CC0) concourantes enM. Montrer :
A0M
A0A +B0M
B0B +C0M C0C = 1.
Exercice 5. Consid´eronsRn muni de la topologie usuelle.
1. SoitAl’int´erieur deC⊂Rn convexe. SupposonsA6=∅. Montrer queAest dense dansC.
2. Montrer que l’enveloppe convexe d’une partie finie deRn est compacte.
Exercice 6. Soit (A0, . . . , An) un rep`ere affine deEespace affine surCet soitBi=Ai+1pouri= 0, . . . , n−1, Bn =A0. Justifier qu’il existe uniqueϕ:E → E affine avecϕ(Ai) =Bi,∀i= 0, . . . , n, puis :
1. donner la matrice deϕenR= (A0, . . . , An) puis enS = (A0,#—e0, . . . ,#—en) o`u #—ei=A# —0Ai; 2. montrer queϕest d’ordren+ 1 et poss`ede un unique point fixeO, que l’on trouvera ; 3. trouverndroitesO+ vect(uk) o`uϕse restreint `a ϕ(O+λuk) =O+λζkuk o`uζ=en+12πi. Exercice 7. Trouver, selonλ∈R, tous les points fixes deϕ:R3→R3 d´efinie par :
(1) ϕ(x1, x2, x3) = −x1−2, x1−x2−2x3, −x1+x3−λ .
Exercice 8. SoitO6=Qpoints d’un espace affineEde dimensionn <∞. SoitF,G ⊂ Esous espaces affines avec #—
E = #—
G ⊕#—
F. Soitϕ(resp.ψ) la sym´etrie d’axeF (resp.G) parall`ele `a #—
G (resp. `aF). On note aussiσO
(resp.σQ) la sym´etrie centrale par rapport `a O(resp.Q).
1. D´ecrire le sous groupehϕ, ψi ⊂GA(E).
2. SoitGle sous groupehσO, σQi ⊂GA(E). Montrer queG'ZoZ/2Z.
3. Dire siϕ◦σO poss`ede des points fixes puis en donner la d´ecomposition canonique.
4. D´ecrire le sous groupehσO, ϕi ⊂GA(E).
Exercice 9. Soitϕ:E → E affine avec Fix(ϕ) ={O}. Quelles translations commutent avecϕ? Exercice 10. Une sym´etrie-translation est la composition d’une sym´etrie et d’une translation.
1. Montrer queϕaffine est une sym´etrie-translation ssiϕ2 est une translation.
2. Que peut-on dire de la d´ecomposition canonique d’une sym´etrie-translation ?
3. Soit ϕ d´efinie par (1). Montrer que ϕ est une sym´etrie-translation puis trouver la d´ecomposition canonique deϕ.
