M1 EADM – G´ eom´ etrie

Universit´e Claude Bernard Lyon 1

M1 EADM – G´ eom´ etrie

Corrig´e du partiel du 25 novembre 2011

Les documents et les calculettes sont interdits. Il sera tenu compte de la qualit´e de la r´edaction pour l’attribution d’une note.

Les questions. – Les questions sont ind´ependantes les unes des autres.

Chaque question rapporte 2 points.

1.– Montrer que le produit t−→u ◦h_J,k, k 6= 1 est une homoth´etie dont on d´eterminera le rapport et le centre.

R´ep.– Puisque la partie lin´eaire de t−→u ◦h_J,k est une homoth´etie de rapport k, la transformationt−→u ◦h_J,k est une homoth´etie affine de rapportkdont il reste `a d´eterminer le centre K.On aK=t−→u ◦h_J,k(K) =t−→u(K⁰) avecK⁰ =h_J,k(K). Ainsi

−

→u =−−−→ K⁰K=−−→

K⁰J+−−→

J K= (1−k)−−→ J K, soit K=J+_1−k¹ −→u .

2.– Soitg une application affine. On suppose que g◦t−→u =t−→u ◦g. Montrer que −→u ∈Ker(−→g −id).

R´ep.– La relation de conjugaison s’´ecritg◦t−→u ◦g⁻¹=t−→g(−→u)d’o`ug◦t−→u =t−→g(−→u)◦g.

L’hypoth`eseg◦t−→u =t−→u ◦g implique donc−→g(−→u) =−→u i. e. −→u ∈Ker(−→g −id).

3.– Soient A, B, C, D quatre points distincts du plan d’affixes respectives a, b, c, det soienta⁰, b⁰, c⁰, d⁰ les affixes des images deA, B, C, D par une simili- tude directef quelconque. Montrer que [a⁰, b⁰, c⁰, d⁰] = [a, b, c, d].(On rappelle que [a, b, c, d] :=

a−c b−c a−d b−d

).

R´ep.– En notation complexe, on af(z) =αz+β et

[a⁰, b⁰, c⁰, d⁰] =

(αa+β)−(αc+β) (αb+β)−(αc+β) (αa+β)−(αd+β) (αb+β)−(αd+β)

=

α(a−c) α(b−c) α(a−d) α(b−d)

= a−c b−c a−d b−d

= [a, b, c, d].

1

4.– Soit T le t´etra`edre r´egulier dont les sommets ont pour coordonn´ees A = (1,1,1), B = (−1,1,−1), C = (−1,−1,1) et D= (1,−1,−1). Montrer que les retournements autour des bim´edianes sont des isom´etries de T.

R´ep.– Les bim´edianes sont donn´ees par les axes (Ox), (Oy) et (Oz).Le retournement d’axe (Oz) envoieAsurCetBsurD.Il permute donc les sommets deT et par cons´equent r´ealise une isom´etrie deT.Raisonnement analogue pour les deux autres retournements.

5.– Sif etg sont deux applications affines, montrer que −−→

f◦g =−→ f ◦ −→g .

R´ep.– On noteM⁰=g(M) etN⁰ =g(N).On a

−−−−−−−−−−−−→

f◦g(M)f◦g(N) =−−−−−−−−→

f(M⁰)f(N⁰) =−→ f(−−−→

M⁰N⁰) =−→

f(−−−−−−−→

g(M)g(N)) =−→

f(−→g(−−→

M N)).

Ainsi−−→

f◦g=−→ f ◦ −→g .

Le probl`eme. – (10 pts) Soit E un plan euclidien, O un point de E et k ∈R^∗. On appelle inversion de pˆoleO et de puissancek la transformation

I_O,k : E\ {O} −→ E\ {O}

M 7−→ M⁰ =O+_OM^k2

−−→OM

1) Montrer que les inversions sont des involutions. D´eterminer selon la valeur de k l’ensemble des points fixes de IO,k.

R´ep.– SoitM⁰⁰=I_O,k(M⁰) =I_O,k² (M). On a

−−−→OM⁰⁰= k OM⁰²

−−−→

OM⁰ et −−−→ OM⁰ = k

OM²

−−→OM d’o`u −−−→

OM⁰⁰= k² OM²OM⁰²

−−→OM .

Puisque OM⁰ = k.OM⁻¹, on en d´eduit −−−→

OM⁰⁰ = −−→

OM ce qui montre que I_O,k est une involution. On a aussi

−−−→ OM⁰=−−→

OM ⇐⇒ k OM² = 1.

Par cons´equent, sik <0,l’involutionI_O,kn’a pas de point de fixe et sik >0 son ensemble de points fixes est un cercle de centre Oet de rayon√

k.

2) Soient A et B deux points de E et A⁰, B⁰ leurs images par I_O,k, montrer que

A⁰B⁰ = |k|

OA.OBAB.

2

R´ep.– On a

−−−→ A⁰B⁰ =k

−−→OB⁰ OB²−

−−→OA⁰ OA²

!

d’o`u

k−−−→

A⁰B⁰k²=k² OB²

OB⁴ +OA²

OA⁴−2h−−→

OB⁰,−−→

OA⁰i OB²OA²

!

= k²

OA²OB²k−−→ ABk².

3) On note h_O,λ l’homoth´etie de centre O et de rapport λ. Montrer que I_O,k◦I_O,k⁰ =h_O,^k

k0.En d´eduire que h_O,λ =I_O,λk◦I_O,k puis que h_O,λ◦I_O,k = I_O,λk.

R´ep.– SoitM⁰ =I_O,k⁰(M) et M⁰⁰=I_O,k(M⁰).On a

−−−→OM⁰⁰= k OM⁰²

−−−→

OM⁰ et −−−→ OM⁰ = k⁰

OM²

−−→OM d’o`u −−−→

OM⁰⁰= kk⁰ OM²OM⁰²

−−→OM .

OrOM⁰²=k⁰²OM⁻² d’o`u−−−→

OM⁰⁰= _k^k0

−−→OM .AinsiIO,k◦IO,k⁰ =h_O,k

k0 que l’on peut ´ecrire hO,λ=IO,λk◦IO,k.En composant `a droite des deux cˆot´es parIO,k et en remarquant que les inversions sont des involutions on obtienth_O,λ◦I_O,k =I_O,λk.

4) Soit D une droite ne passant parO et H ∈Dle projet´e orthogonal de O sur D.Montrer que

M ∈D ⇐⇒ h−−→

OM⁰,−−−→

HM⁰i= 0

o`u M<sup>0</sup> = I<sub>O,OH</sub><sup>2</sup>(M). En d´eduire que l’image de D par I<sub>O,OH</sub><sup>2</sup> est incluse dans un cercle de diam`etre [OH].

R´ep.– On a

M ∈D ⇐⇒ h−−→

OM ,−−→

OHi=OH² or −−−→

OM⁰=_OM^OH22

−−→OM d’o`u

M ∈D ⇐⇒ hOM² OH²

−−−→ OM⁰,−−→

OHi=OH². Or OM⁰=k.OM⁻¹=OH².OM⁻¹(cf.1) doncOM =OH²OM⁰⁻¹et

M ∈D ⇐⇒ hOH² OM⁰²

−−−→ OM⁰,−−→

OHi=OH²

⇐⇒ h−−−→ OM⁰,−−→

OHi=OM⁰²

⇐⇒ h−−−→ OM⁰,−−→

OH−−−−→ OM⁰i= 0

⇐⇒ h−−−→ OM⁰,−−−→

M⁰Hi= 0.

3

Par cons´equent, siM ∈D alorsM⁰=I_O,OH2(M) est dans un cercle de diam`etre [OH].

5) Soit IO,k une inversion de puissance quelconquek∈R^∗.D´eduire des ques- tions pr´ec´edentes que l’image I_O,k(D) est incluse dans un cercle.

R´ep.– D’apr`es la question 3, on ahO,λ◦IO,k=IO,λk.En particulier,hO,λ◦IO,OH²=IO,k

avecλ=k.OH⁻².On conclut en remarquant que l’image d’un cercle par une homoth´etie est un cercle.

6) Soient C un cercle de centre Ω et de rayon R, et A un point de E. La puissance PC(A) de A par rapport `a C est le nombre AΩ² −R². Soit D une droite passant par A et coupant C en deux points (distincts ou confondus) M etM⁰.Montrer que h−−→

AM ,−−→

AM⁰i=PC(A).

R´ep.– SoitM⁰⁰ le point deC diam´etralement oppos´e `aM⁰.On a h−−→

AM ,−−→

AM⁰i = h−−−→

AM⁰⁰,−−→

AM⁰i = h−→

AΩ +−−−→

ΩM⁰⁰,−→

AΩ +−−→

ΩM⁰i

= h−→

AΩ−−−→

ΩM⁰,−→

AΩ +−−→

ΩM⁰i = AΩ²−R².

7) Soient I_O,k une inversion, M un point quelconque et M⁰ = I_O,k(M). On note C un cercle quelconque passant par M etM⁰. Que vaut PC(O) ?

R´ep.– On a

P_C(O) =h−−→

OM ,−−−→

OM⁰i=h−−→

OM , k OM²

−−→OMi=k.

8) On suppose que k > 0 et on note S le cercle de centre O et de rayon √ k.

Montrer que S et C sont orthogonaux. Rappelons que l’on dit que deux cer- cles sont orthogonauxquand ils sont s´ecants et que les tangentes aux points d’intersection sont orthogonales.

R´ep.– Notons Ω le centre de C et R son rayon. Une simple application du th´eor`eme de Pythagore montre que S et C sont orthogonaux si et seulement si OΩ² = R² +k.

Autrement dit

S ⊥ C ⇐⇒ P_C(O) =k.

Et cette derni`ere ´egalit´e a ´et´e ´etablie en 7.

4