M1 MEEF – G´ eom´ etrie

Universit´e Claude Bernard Lyon 1

M1 MEEF – G´ eom´ etrie

Examen du 16 novembre 2017 - Dur´ee 2h

Les documents et les calculettes sont interdits. Il sera tenu compte de la qualit´e de la r´edaction pour l’attribution d’une note.

Les questions. – Les questions sont ind´ependantes les unes des autres.

Chaque question rapporte 2 points.

1.– Soit −→

f l’endomorphisme de R² dont la matrice dans la base canonique (−→e₁,−→e₂) de R² est

A=

cosθ sinθ sinθ −cosθ

avec θ6=kπ, k ∈Z.D´eterminer les valeurs propres et les espaces propres de

−

→f.

2.– Montrer que les valeurs propres d’une matrice orthogonale sont de mo- dule 1.

3.– Donner la d´efinition exacte d’un angle orient´e de vecteurs.

4.– Soit ABCD un t´etra`edre r´egulier.

i) ´Ecrire la permutation sur les sommets A, B, C, D induite le retourne- ment autour de la bim´ediane des arˆetes AC et BD.

ii) La connaissance de cette seule permutation permet-elle de retrouver l’isom´etrie ? On justifiera la r´eponse.

5.– Soitf une isom´etrie de forme complexez 7→e^2iϕz+bo`uϕ∈Retb∈C. Montrer que si b+e^2iϕb6= 0 alors f n’a pas de point fixe.

Le probl`eme. – (10 pts) On noteE = (R<sup>3</sup>,h., .i) l’espace affine euclidien et R= (O,−→e<sub>1</sub>,−→e <sub>2</sub>,−→e<sub>3</sub>) un rep`ere orthonorm´ee deE. Soitn ∈N^∗ eth >0.On consid`ere les 2n points P₀, ..., Pn−1, Q₀, ..., Qn−1 de E dont les coordonn´ees

1

dans R sont

P_k := (Rcos2kπ

n , Rsin2kπ n ,0) Qk := (Rcos(2k+ 1)π

n , Rsin(2k+ 1)π n , h)

pour k ∈ {0, ..., n−1}. On convient d’une convention circulaire pour les in- dices P_n=P₀, P_n+1 =P₁, Q_n=Q₀, etc.

Le but de ce probl`eme est l’´etude du Lampion de Schwarz (illustration ci- dessus). Un formulaire trigonom´etrique est disponible en fin de sujet.

1) i) Montrer que les points Pk (resp. les pointsQk) sont coplanaires et que les deux plans qui les contiennent sont parall`eles.

ii) Montrer que les points P_k etQ_k sont contenus dans un cylindre que l’on d´eterminera.

2) i) Soit −→

Π = V ect(−→e₁,−→e ₂) et −→

D =V ect(−→e₃). On note −→s−→

Π la r´eflexion par rapport `a −→

Π et −−→ Rot−→

D,θ la rotation d’axe −→

D et d’angle θ. Ecrire la ma-´ trice de l’anti-rotation vectorielle −→

A−→ Π,−→

D,θ = −→s−→ Π ◦−−→

Rot−→

D,θ dans la base (−→e1,−→e2,−→e3).

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ii) Soient z ∈ R et Ω_z le point de coordonn´ees (0,0, z). On pose Π_z = Ω_z +V ect(−→e₁,−→e₂) et D = Ω_z +V ect(−→e₃) et on consid`ere l’anti-rotation affine f =sΠz ◦RotD,θ =RotD,θ◦sΠz de plan Πz, d’axe D et d’angle θ.En admettant que −→

f est l’anti-rotation vectorielle −→ A−→

Π,−→

D,θ. Montrer que

∀M ∈E, −−−→

Ω_zM⁰ =−→ A−→

Π,−→

D,θ(−−−→ Ω_zM) o`u M⁰ =f(M).

3) Soient P_k⁰ =f(Pk) et Q⁰_k =f(Qk).

i) Montrer que

−−−→ Ω_zP_k⁰ =

Rcos(θ+ 2kπ

n ), Rsin(θ+2kπ n ), z

. ii) D´eterminer θ etz pour que P_k⁰ =Q_k.

iii) Montrer qu’alors Q⁰_k=P_k+1.

4) On suppose d´esormais que l’anti-rotation f est choisie telle que f(P_k) = Q_k et f(Q_k) = P_k+1. On note T_k le triangle P_kQ_kP_k+1 et T_k⁰ le triangle QkPk+1Qk+1.

i) Montrer que f(T_k) = T_k⁰ et f(T_k⁰) = T_k+1.

ii) En d´eduire que les triangles T₀, ..., Tn−1, T₀⁰, ..., T_n−1⁰ sont isom´etriques¹ entre eux.

5) SoitHle plan affine passant par l’origine et de direction−→

H =V ect(−→e₁,−→e₃).

On note sH la r´eflexion affine par rapport `a H.

i) Montrer que si M =O+X−→e₁+Y−→e₂+Z−→e₃ alors s_H(M) = O+X−→e₁−Y−→e₂+Z−→e₃. ii) Quels sont les images des points Q0, P0 et Qn−1 par sH?

iii) Montrer que tous les triangles T₀, ..., Tn−1, T₀⁰, ..., T_n−1⁰ sont isoc`eles.

6) Soit Ik le point milieu du segment [PkPk+1].

i) Montrer que

−→ OI_k = 1

2(−→

OP_k+−→

OP_k+1)

1. On rappelle que deux triangles sontisom´etriquess’il existe une isom´etrie qui envoie l’un sur l’autre.

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ii) D´eterminer les coordonn´ees de I_k dans le rep`ere R.

iii) Montrer que Q_kI_k =p

R²(1−cos^π_n)²+h².

7) i) En consid´erant le triangle isoc`ele OP_kP_k+1, d´eterminer la longueur P_kP_k+1 en fonction de n et de R.

ii) Montrer que

Aire(T_k) = Rsinπ n

r

R²(1−cosπ

n)²+h²

8) Soit t la translation de vecteur 2h−→e₃. On note P_k,1 = t(P_k) et T_k⁰⁰ (resp.

T_k⁰⁰⁰) le triangleQk−1P_k,1Q_k(resp P_k,1Q_kP_k+1,1). Montrer que les triangles T_k⁰⁰ et T_k⁰⁰⁰ sont isom´etriques au triangle T₀.

9) On choisit d´esormais h = _2N¹ avec N ∈ N^∗. Pour tout j ∈ {0, ..., N −1}

on note t^j la translation de vecteur 2jh−→e₃ et on pose

T_k,j =t^j(T_k), T_k,j⁰ =t^j(T_k⁰), T_k,j⁰⁰ =t^j(T_k⁰⁰), T_k,j⁰⁰⁰ =t^j(T_k⁰⁰⁰)

(en particulier Tk,0 =Tk, T_k,0⁰ =T_k⁰, etc.) On appelle lampion de Schwarz L la r´eunion de tous les triangles

L= [

k∈{0,...,n−1}, j∈{0,...,N−1}

(T_k,j∪T_k,j⁰ ∪T_k,j⁰⁰ ∪T_k,j⁰⁰⁰).

i) D´eterminer l’aire A(n, N) de L en fonction deN et de n.

ii) D´eterminer limn−→∞A(n, n) et comparer avec l’aire du cylindre de hau- teur 1.

iii) Que vaut limn−→∞A(n, n³) ? Formulaire.–

cos(a+b) = cosacosb−sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa cosa−cosb = −2 sin^a+b₂ sin^a−b₂ cosa+ cosb = 2 cos^a+b₂ cos^a−b₂ sina−sinb = 2 cos^a+b₂ sin^a−b₂ sina+ sinb = 2 cos^a−b₂ sin^a+b₂

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