D20101. En plein dans la plaque
Une plaque homog`ene a la forme d’un quadrilat`ereABCD. Comment feriez- vous pour construire son centre de gravit´e ?
Solution 1 (th´eor`eme de Wittenbauer)
Construction : couper en 3 segments ´egaux chacun des cˆot´es, A00 et B0 partageant AB, etc. Les droites A0A00, B0B00, C0C00, D0D00 forment un pa- rall´elogramme dont le centre est le centre de gravit´e cherch´e.
Justification : soit K l’intersection des diagonales AC et BD, I et J les milieux de ces diagonales. Le triangleABD (resp. CBD) a pour centre de gravit´eG1(resp.G2), transform´e deA(resp.C) dans l’homoth´etie (J,1/3).
Le pointG cherch´e est le barycentre de G1 etG2 affect´es des poids KA et KC. C’est le transform´e par l’homoth´etie (J,1/3) du pointI0sym´etrique de K par rapport `aI. On en d´eduit facilement que Gest `a ´egale distance des droitesA0A00etC0C00. De mˆeme pour les droitesB0B00etD0D00en ´echangeant le rˆole des deux diagonales.
Solution 2
Soient I, J, K, L les centres de gravit´e des triangles ABC, BCD, CDA, DAB.
Le quadrilat`ere ´etant compos´e des triangles ABC et CDA, son centre de gravit´e est sur la droite IK; il est aussi compos´e des triangles DAB et BCD, et a son centre de gravit´e sur la droiteJ L. Cela reste vrai mˆeme si le quadrilat`ere n’est pas convexe, et s’obtient par exemple en ˆotant un triangle CDAd’un triangle ABC, auquel le pointD est int´erieur.
Le centre de gravit´e cherch´e est l’intersection des droites IK etJ L.
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