On note A ,b B ,b C ,b Db les angles2 d’un quadrilat`ere de sommets A, B, C, D

COMPL´EMENTS SUR LE PROBL `EME DE L’OVAI

CLAUDIO BAIOCCHI

1. Notations

Par rapport au probl`eme de d´epart<sup>1</sup>, d’un cˆot´e on ne s’int´eresse pas `a la solution minimale ; d’autre cˆot´e on va travailler sur des classes d’´equivalence (voir : de similitude) de quadrilat`eres ; de fa¸con que la condition “neuf mesures enti`eres”

devient “neuf grandeurs commensurables”.

On note A ,b B ,b C ,b Db les angles² d’un quadrilat`ere de sommets A, B, C, D.

Lorsqu’il existe un cercle circonscrit (resp. inscrit) on note R, O(resp.r, o) le rayon et le centre du cercle ; dans le cadre des quadrilat`eres bicentriques³ on note x la distance |Oo|entre les centres.

On va d’abord d´egager quelques propri´et´es des quadrilat`eres convexes ; la plupart des r´esultats est connue et/ou facile. Le r´esultat le moins attendu est probablement un compl´ement au th´eor`eme de Fuss⁴ : on montrera que siα, β sont deux angles non oppos´es du quadrilat`ere, on a

(1.1) R²=r²1 + sin(α)∙sin(β)

(sin(α)∙sin(β))² ; x²=r²1−sin(α)∙sin(β) (sin(α)∙sin(β))² .

On aura souvent `a travailler avec angles dont les fonctions trigonom´etriques prennent des valeurs rationnels ; on faira usage de la d´efinition suivante :

D´efinition. On dit rationnel tout angle θ dont sinus et cosinus sont rationnels ; ou, ce qui revient au mˆeme, tel que tan(θ/2) est rationnel.

2. Quadrilat`eres inscriptibles

La bien connue condition n´ecessaire et suffisante pour l’existence d’un cercle circonscrit est que

(2.1) Ab+Cb=Bb+Db =π .

Si les diagonales et le rayon R sont commensurables, le sinus des angles est rationnel d’apr`es le th´eor`eme des sinus ; si cˆot´es et diagonales sont commensurables, le cosinus des angles est rationnel d’apr`es le th´eor`eme de Carnot.

La r´eciproque est inexacte : lorsque les angles sont rationnels on peut avoir des

´el´ements incommensurables, comme l’exemple du carr´e montre bien.

On remarqera aussi que, si quatre segments peuvent former un quadrilat`ere, ces quatre segment peuvent aussi former un quadrilat`ere inscriptible⁵; si a, b, c, dsont

Date: 17 janvier 2009.

1http ://www.diophante.fr/A4.-Equations-diophantiennes/A438.-L-OVAI.html

2tous les angles qu’on consid`ere ici, en particulier ceux des quadrilat`eres, sont suppos´es convexes 3`a savoir poss´edant `a la fois cercle inscrit et cercle circonscrit

4voir par ex. http ://mathworld.wolfram.com/BicentricQuadrilateral.html ; il s’ˆagit d’un th´eor`eme qui, pour un quadrilat`ere bicentrique, relieR , r etx

5th´eor`eme de Huygens-Cramer ; parmi les quadrilat`eres ayant ces segments comme cˆot´es, il s’agit de celui qui a l’aire la plus grande.

1

2 CLAUDIO BAIOCCHI

les mesures des segments et pest le s´emi–p´erim`etre, on a⁶: (2.2) R²= (a∙c+b∙d)∙(a∙d+b∙c)∙(a∙b+c∙d)

16∙(p−a)∙(p−b)∙(p−c)∙(p−d) 3. Quadrilat`eres circonscrits

La situation est en un certain sense duale. La condition n´ecessaire et suffisante pour l’existence d’un cercle inscrit s’´ecrit|AB|+|CD|=|BC|+|DA| ; par rapport

`

a 2.1 on a ´egalit´e entre sommes decˆot´es(au lieu que de angles) oppos´es ; et, comme on va montrer, c’est la rationalit´e des angles qui entraˆıne la commensurabilit´e des cˆot´es et du rayonr⁷.

Par exemple on va fixer l’attention sur le triangle ABo : les bissectrices du quadrilat`ere se croisant dans l’incentre o, la hauteuroH du triangle est en fait un rayon inscrit ; de sorte que|AH|=r/tan(A/2) etb |HB|=r/tan(B/2) ; doncb

(3.1) |AB|=r



 1 tan

A/2b + 1 tan

B/2b





`a savoir ABet rsont commensurables. R´ep´etant sur les autres cˆot´es, on a que les cˆot´es et le rayon inscrit sont commensurables lorsque les angles sont rationnels.

Remarque. En particulier la donn´ee des quatre angles⁸est suffisante `a fixer la classe de similitude du quadrilat`ere.

4. Quadrilat`eres bicentriques SoitABCD un quadrilat`ere bicentrique. On posera :

(4.1) α:=A , sb := tan(α/2) ; β:=B , tb := tan(β/2).

Pour un peu simplifier quelques formules on va choisir le rayon inscrit r comme unit´e de mesure; les probl`emes de commensurabilit´e des grandeurs deviennent ainsi probl`emes de rationalit´e pour les mesures correspondantes.

Th´eor`eme 4.1. Avec les notations 4.1 on a :

(4.2) |AB|= 1/s+ 1/t, |BC|= 1/t+s, |CD|=s+t, |DA|=t+ 1/s; en particulier pour un quadrilat`ere bicentrique les mesures des cˆot´es sont ration- nelles si et seulement si deux angles adjacents sont rationnels.

D´emonstration. Pour ce qui concerne 4.2, la formule pour|AB|est donn´ee en 3.1 ; les autres s’obtiennent de fa¸con semblable, en utilisant aussi 2.1.

De 4.2 on d´eduit que angles rationnels engendrent cˆot´es rationnels ; invers´ement, si les cˆot´es sont rationnels, aussi rationnel est 1 +s∙t(rapport entre|CD|et|AB|) doncs(rapport entre 1 +s∙tet |BC|) ; et finalementt,1/set 1/t.

Pour ce qui concerne le rayon circonscritR, la formule 2.2 devient : (4.3) R²=(1 +s²)∙(1 +t²)∙ (1 +s∙t)²+ (s+t)²

16∙s²∙t²

6voir p.ex. la formule (4) dans http ://mathworld.wolfram.com/CiclicQuadrilateral.html 7les contrexemples sont plus compliqu´es, mais aussi ici la r´eciproque est inexacte 8`a sommeπ; ou bien de trois angles `a somme inf´erieure `aπ

COMPL ´EMENTS SUR LE PROBL `EME DE L’OVAI 3

qui toutefois semble mal adapt´ee au probl`eme de la rationalit´e. Par ailleurs quelques petites manipulations trigonom´etriques<sup>9</sup>permettent de passer de la formule 4.3 `a : (4.4) R²= 1 + sin(A)b ∙sin(B)b

sin(A)b ∙sin(B)b 2 ;

la rationalit´e des diagonales suivant de celle deR, comme on a vˆu au§2, on a donc : Corollaire 4.2. Prenant le rayon inscrit comme unit´e de mesure, les mesures des quatre cˆot´es, des diagonales et du rayon circonscrit sont rationnelles si et seulement si deux angles adjacents Ab et Bb sont rationnels et tels que

q

1 + sin(A)b ∙sin(B)b

est aussi rationnel.

Le dernier point `a traiter concerne la rationalit´e de la distance x:=|oO| entre les deux centres ; toujours d’apr`es le choix du rayon inscrit comme unit´e de mesure, le ainsi-dit “probl`eme de Fuss” donne l’existence d’un angle θtel que :

(4.5) 0< θ≤π/4¹⁰; R−xetR+xsont s´ecante et cos´ecante deθ , et naturellement R etxseront tous deux rationnels si et seulement si l’angleθest rationnel.

On remarque maintenant que, les valeurs deR etx´etant donn´ees par : R= 1

2∙ 1

sin(θ)+ 1 cos(θ)

, x= 1 2∙ 1

sin(θ)− 1 cos(θ)

,

pour les correspondants carr´es R² et x² on a : R²=1 + 2 sin(θ) cos(θ)

(2 sin(θ) cos(θ))² , x²= 1−2 sin(θ) cos(θ) (2 sin(θ) cos(θ))² de sorte que la comparaison avec 4.4 donne :

(4.6) sin(2θ) = sin(α)∙sin(β).

On a donc montr´e 1.1 ; et on va conclure par une d´efinition et un th´eor`eme : D´efinition. Un quadrilat`ere bicentrique sera dit rationnel si les neuf segments :

4 cˆot´es, 2 diagonales, 2 rayons, segmentOo

sont commensurables. Un triplet d’angles rationnels {θ, α, β} sera ditrationnel si

0< θ < π/4 et 4.6 est v´erifi´ee.

Th´eor`eme 4.3. Soyentα, β deux angles cons´ecutifs d’un quadrilat`ere bicentrique.

Le quadrilat`ere est rationnel si et seulement si il existe θ tel que le triplet{θ, α, β} est rationnel. Invers´ement, pour tout triplet rationnel {θ, α, β} il existe un quadri- lat`ere rationnel dont αetβ sont deux angles cons´ecutifs.

5. Consid´erations finales

On revient `a la formule 1.1 et on remarque que, si α est rationnel et β = α, la distance|Oo|est automatiquement rationnelle. Le quadrilat`ere correspondant `a α=β ´etant un trap`eze isosc`ele, on peut se demander pour quels αce trap`eze est rationnel. La r´eponse est d´ec´evante : il n’existe pas de tels trap`ezes.

Il s’agit, ´evidemment, de montrer queRne peut pas ˆetre rationnel ; `a savoir que (voir 4.3 avect=s) l’expression 1 + 6s²+s⁴n’est jamais un carr´e poursrationnel.

Ne sachant pas montrer cette propriet´e, on va attaquer la question sous un point de vue diff´erent, en faisant usage de 4.6 : on va montrer qu’il n’existe pas de triplets rationnels avecα=β.

9l`a on triche : sans savoir quoi chercher, arriver `a la formule 4.4 semble miraculeux ! 10puisqueR−x≤R+xla s´ecante deθdoit ˆetre au moins ´egale `a la cos´ecante.

4 CLAUDIO BAIOCCHI

Soit en fait τ := tan(θ/2) = N/D avec N, D co–primes ; d’apr`es 1.1 et 4.6 il faudraˆıt que la quantit´e :

2 2τ 1 +τ²

1−τ²

1 +τ² = 4N D(D²−N²) D⁴

soit un carr´e ; donc N D(D² −N²) doit ˆetre un carr´e. La co–primalit´e de N, D entraˆıne N = ν² et D = δ² pour ν, δ conv´enables. On doit donc imposer que D²−N²=δ⁴−ν⁴ soit un carr´e ; ce qui est impossible¹¹.

Si, au lieu d’imposer α = β, on impose |AB| = |BC|, on tombe sur un’autre famille int´eressante de quadrilat`eres bicentriques : celle des cerfs-volants.

De notre point de vue (fixer les angles au lieu que les cˆot´es) il s’agit d’imposer qu’un des angles est droit ; par exemple on va choisir β =π/2. La condition 4.6 devient sin(2θ) = sin(α), soitα= 2θ¹²; et le triplet correspondant{θ,2θ, π/2}est rationnel si et seulement si θ < π/4 est un angle rationnel.

Naturellement on va travailler avec “moiti´e” cerf-volant, voir un triangle rec- tangle dont le plus petit des angles est θ. Pas la peine d’appliquer la th´eorie g´en´erale : gardant les notations usuelles, soit ABC un triangle rectangle de cˆot´es a, b, c, o`ucest l’hypoth`enuse ; on va supposerprimitif le triangle¹³et on cherche le facteur d’´echelle minimum tel que le cerf-volant correspondant est un quadrilat`ere

`a longueurs enti`eres. On remarquera que : – les cˆot´es du cerf-volant sonta, b, b, a;

– les mesures des diagonales sont |AB| = c et |CC⁰| = 2h o`u h, hauteur du triangle par rapport `a l’hypothenuse, vaut (a∙b)/c;

– on a R=c/2, etO est le point-milieu de l’hypothenuse ;

– le pointoest le pied de la bissectrice de l’angle droit ; une bien connue propri´et´e des bissectrices entraˆıne que ce point partageABen parties proportionnelles `a a, b; donc ces parties sont _a+b^a∙c et _a+b^b∙c . La distance|Oo|´etant la s´emi-diff´erence de ces quantit´es, on a :

|Oo|= |a−b| ∙c 2(a+b)

– le rayon r est le cˆot´e du carr´e dont la diagonale est la bissectrice de l’angle droit ; des similitudes ´evidentes donnent alors r= _a+b^a∙b .

Compte tenu de la co–primalit´e dea, b, c,le facteur d’´echelle minimum pour passer du triangle rectangle primitif{a, b, c}`a un cerf-volant entier est 2c(a+b).

Remarque. On remarquera que `a tout quadrilat`ere rationnel on peut associer un cerf-volant qui a le meme angle θ: quel que soit le triplet rationnel{θ, α, β}, aussi rationnel est le triplet{θ,2θ, π/2}.

Probl`eme 5.1. Existe-t-il des quadrilat`eres rationnels qui ne sont pas des cerf-

volants ?

11voirW. Sierpinski,Elementary Theory of Numbers, Ch.2,6, Corollary 1 12ouπ−2θ, ce qui correspond `a l’angle opos´e

13`a savoir :a, b, csont entiers positifs sans facteurs communs. On rappelle que ¸ca ´equivaut `a choisirp < q entiers positifs, sans facteurs communs, et tels quep+qest impair ; on pose alors a:= 2pq, b:=q²−p²(doncc=p²+q²) . Attention `a une petite variante par rapport aux notations pr´ec´edentes : les sommets du cerf-volant correspondant serontA, C, B, C<sup>0</sup> avecC<sup>0</sup> symm´etrique deC par rapport `a l’hypoth´enuseAB.