Fonctions composées (TS) (1) Définition Exemple : Pour , on pose La fonction h n’est ni une somme, ni une différence (car

Fonctions composées (TS) (1) Définition

Exemple :

Pour x



;2



, on pose h

 

x  63x

La fonction h n’est ni une somme, ni une différence (car ab n’est pas égal à a  b), ni un produit, ni un quotient de fonctions.

Pourtant, si on pose :

 pour ^{X }



^0;



^{, f}

 

^{X  X}

 pour xIR, g

 

x 63x

on peut écrire ^h

 

^{x  63x  f}



^63x



^{ f}



^g

 

^x



ou encore h

 

x  63x  g

 

x  f



g

 

x



Ainsi, h

 

x peut être vu comme l’image par la fonction f de l’image de x par la fonction g Ainsi, la fonction h s’obtient en appliquant successivement la fonction g puis la fonction f

x x

x x

x

h f g

3 6

3 6 3

6













On dit que la fonction h est la composée des fonctions f et g et on écrit h f g Le domaine de définition de la fonction h s’explique de la façon suivante :

 

^X

f existe lorsque X 0 donc ^h

 

^{x  f}



^g

 

^x



existe lorsque ^g

 

^x existe et ^g

 

^{x 0}

Or g

 

x existe toujours puisque g est une fonction affine définie sur IR.

Et g

 

x 0 équivaut à 63x0 c'est-à-dire à 3x6 puis à

3 6



 

x ou encore à x2 Par conséquent, h

 

x est défini lorsque x



;2



Définition

Soient f et g deux fonctions de domaines de définitions D_f et D_g

On définit la fonction h, composée de f et g et notée h f g par h

 

x  f



g

 

x



Le domaine de définition de h est alors caractérisé par :



g

 

f



h x D g x D

D

x   et 

Attention !

Dans la notation h f g, les fonctions f et g sont dans l’ordre d’écriture de ^h

 

^{x  f}



^g

 

^x



, mais lorsqu’on effectue le calcul de h

 

x , on calcule d’abord g

 

x puis l’image de g

 

x par la fonction f

(2) Composition des limites

Théorème

a, b et c désignent des nombres réels ou +∞ ou -∞

g désigne une fonction définie au moins sur un intervalle contenant a ou dont a est une borne.

f désigne une fonction définie au moins sur un intervalle contenant b ou dont b est une borne.

 

un _nIN désigne une suite [1] Si

xa

lim g

 

x b et

b X

lim f

 

X c alors

xa

lim f



g

 

x



c [2] Si





nlim u_n b et

b X

lim f

 

X c alors





nlim f

 

u_n c Principe de démonstration (non détaillé)

 

X

f est proche de c lorsque X est proche de b donc en remplaçant X par g

 

x (ou par u_n) qui est proche de b lorsque x est proche de a (ou lorsque n est proche de ), on obtient f



g

 

x



(ou f

 

u_n ) proche de c lorsque x est proche de a (ou lorsque n est proche de ).

Exemples : [a] Recherche de

7 25

3 lim 4







 x

x

x

Posons

 

7 25

3 4



  x x x

h . On a h f g avec f

 

X  X et

 

7 25

3 4



  x x x

g

On peut vérifier que le domaine de définition de la fonction h est  _^ _^

  ; 4 3 25

; 7  (exercice)

On a





xlim 



 7 25

3 4

x x





xlim 



 





0 25

0 4 25 7

4 3

x x

25

4 et

25

lim4

 X



 25 X 4

5 2

Donc, par composition des limites,





xlim 



 7 25

3 4

x x

5 2

[b] Recherche de

4

3 3 2

lim 









 



 









n

n

En posant

n

un 



 





 3

3 2 et f

 

X  X⁴ on a ⁿ  f

 

u_n









 



 





4

3 3 2

Comme 1

3 1 2 

 , on a





nlim    



 



 3 0

3 3 2

n

3 De plus,

3

limX X⁴ 3⁴ 81

Par composition des limites, on en déduit que :





nlim  









 



 





4

3 3 2

n

81

(3) Dérivation des fonctions composées (a) Cas général

Théorème de dérivation des fonctions composées [1] Soit xIR

Si u est une fonction dérivable en x f est une fonction dérivable en u

 

x

alors g  f u est une fonction dérivable en x avec ^g

 

^x ^u

 

^x  ^f



^u

 

^x



[2] Soit xIR

Si u est une fonction dérivable sur I f est une fonction dérivable sur J pour tout xI, u

 

x J

alors g  f u est une fonction dérivable sur I avec pour tout xI, g

 

x u

 

x  f



u

 

x



Principe de démonstration (non détaillé, en négligeant les problèmes d’existence des quotients) [1] On pose X u

 

x et

   

0

0









h

x u h x u

H (car g est dérivable en x donc continue en x) On a alors :

           

u

 

x f

 

X u

 

x f



u

 

x



H X f H X f h

x u h x u h

x u f h x u f

H h

 

 

 

 



 



 





 0 0





(b) Cas particuliers importants

f et u désignent deux fonctions ; a et b désignent des nombres réels et n désigne un entier relatif non nul

 

x

g g

 

x Conditions de validité



ax b



f

x  xa f



axb



axb appartient au domaine

de dérivabilité de f

un

1

uⁿ u

n u est dérivable

et si n<0, u ne s’annule pas

u

u u 2

 u est dérivable

u est strictement positive

 

^u

cos ^usin

 

^u u est dérivable

 

u

sin ucos

 

u u est dérivable

eu ue^u u est dérivable

 

u ln

u

u u est dérivable

u est strictement positive

(c) Exemples

Pour chacune des fonctions suivantes :

 déterminer son domaine de définition

 calculer la fonction dérivée

 dresser le tableau de variations en précisant les limites aux bornes du domaine de définition

 vérifier les résultats précédents en traçant la courbe avec la calculatrice

[1]

 





 



 



12 cos 3 4 x x

x h

[2] c

 

x  1x² [3]

 



^{2 71}



⁵



x x x i