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Chapitre IV : FONCTIONS DÉRIVÉES
1) Nombre dérivé et tangente
Définition 1 : Soit une fonction définie sur un intervalle et un réel appartenant à .
Soit la courbe représentative de et A le point de d’abscisse .
Le nombre dérivé de en est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A, on le note ′.
2) Fonction dérivée Définition 2 :
Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle .
La fonction définie sur qui à tout nombre réel ∈ associe le nombre dérivé ′ est appelée fonction dérivée de et notée ′.
3) Formulaires
Ensemble de
définition de Si alors ′
2
3
∞; 0 ou 0; ∞
1
1
0; ∞ √ 1
2√ si 0
Propriété 1 : Soit et deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle . 1) ! ′ ! ′ (avec une constante réelle)
2) ′ ′ ′
3) ′ ′ ′
2
4) Étude des variations d’une fonction
Théorème 1 :
Soit une fonction dérivable sur un intervalle .
1) Si ′() ≤ 0 pour tout réel de , alors la fonction est décroissante sur . 2) Si ′() ≥ 0 pour tout réel de , alors la fonction est croissante sur .
5) Extremum d’une fonction Théorème 2 :
Soit une fonction dérivable sur un intervalle .
Si pour une valeur $ de , ’ s’annule et change de signe, alors admet un extremum (minimum ou maximum) en $ de valeur ($).
$ &() − 0 +
()
($)
Dans le cas ci-dessus, la fonction admet un minimum en $ de valeur ($).
$ &() + 0 −
()
($)
Dans le cas ci-dessus, la fonction admet un maximum en $ de valeur ($).
Exemple : Soit la fonction définie sur ℝ par () = 3− 2 + 3 1) Calculer sa fonction dérivée.
2) Etudier les variations de puis dresser son tableau de variations.
3) admet-elle un extremum ? Donner le plus de précisions possibles.
