Étude de la fonction bénéfice

Problèmes plus ou moins affines - 2

6 & 9

Exercice 1

Enjanvier2000,M.Chaprotarééuneentreprisequifabriquedesépilateursdepoilsdenezàondensateurs

mégathermiosensorielhyropropulsés fontionnant à l'énergie éolienne. Comme il a du mal a trouver des

employésassez qualiéspourunetelle besogne, ilne peutpasfabriquer plus de35 épilateurs parmois.

Onsaitquel'entrepriseparvientàvendretoutesaprodutionenSyldavie,quelquesoitlenombred'épilateurs

fabriqués, ar M. Chaprot est le ousin par alliane du beau-frère de la femme de hambre de la nouvelle

maîtresse italienne du Guide Suprême de e buolique pays et bénéie d'un ontrat exlusif de vente

obligatoire auxministres syldaves.

Lectures graphiques

O 1 1

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

C

R

Sur legraphique, on areprésenté:

leoûttotal deprodution(harges,salaires, matériel,potsdevin,et.) enentainesd'euros,enfontion

du nombre d'épilateursproduits(ourbeC);

la reette totale, en entaines d'euros,engendrée par la vente de es x épilateurs (droite R passant par

O.)

Par exemple, 450 sur l'axedesordonnées selit 45000 euros.

1. a) Est-e quela reetteest proportionnelle aunombred'épilateurs vendus?

b) Quelestle montant des oûtsxes?

2. a) Donnez leoûttotal de prodution de 10 épilateurs etfaites apparaître letraé surle graphique.

3. a) Donnez, en justiant votre réponse, le bénée réalisé par l'entreprise suite à la prodution et à la

vente de 10 épilateurs.

b) L'entreprise réalise-t-elle desbénéesquelque soit lenombred'épilateurs fabriqués?

Étude de la fonction bénéfice

Les ourbesRetC représentent en fait les fontionsr et déniessur [0;35℄par:

r(x)=35x et (x)=x 2

+5x+125

1. CalulezB(x) en fontiondu nombrex d'épilateurs vendus,ave Bla fontion bénée.

2. a) Montrez que B(x)= (x 5)(x 25).

b) Dressezuntableau donnant lesigne de Bsur [0;35℄.

) Combiend'épilateurs M. Chaprotdoit-il produire(ou pluttses ouvriers) pour gagnerde l'argent?

3. a) Montrez que B(x)= (x 15) 2

+100.

b) Quelle doit êtrela produtionpourobtenir unbénée maximum?

) Y a-t-il un lien entre leoûtunitaire etlebénée?

Bénéfice futur

1. L'entreprisearéaliséunbénéede10000eurosen2000.Àlandel'année,aprèsimpts,investissements

forésdans l'éonomie syldave, nanement du mariage seretdu Guide Suprême syldave, fonds versés

à la aisse noire du Parti du Rassemblement Syldave, paiement des vaanes de la famille Chaprot aux

Maldives, il reste à l'entreprise un bénée net représentant 8% du bénée brut initial. Calulez e

bénéenet.

2. Enpayantmoinslesouvriersetenfaisanthanterlesministrespourqu'ilsahètentplusherlesépilateurs,

M. Chaprotaugmente ses bénéesnets de 11%paran.Quel bénée peut-il envisager en 2010?

3. Àpartir de quelle annéepourra-t-il obtenir unbénée netsupérieurà 30000 euros?

Exercice 2 Nucléaire

En 1990, uneentrale atomique aétéréée. Lebut de etexerieest d'étudierl'évolution dupourentage

des salariés ayant quatreoreilles parrapport autotal des salariés de la entrale.

Le tableau suivant donne, pour les années indiquées, le nombre x d'années éoulées depuis 1990 et le

pourentagey de salariés à quatreoreilles orrespondant.

Année 1992 1994 1995 1998 1999 2001 2002 2003

x 2 4 5 8 9 11 12 13

y (en %) 8,9 10,2 10,5 12,2 12,3 13,2 13,8 14,9

1. Dans un repère orthogonal O;

!

{ ;

!

|

d'unité graphique 1 m, représenter le nuage des points M de

oordonnées (x; y).

2. a) Déterminer les oordonnées du point moyen G de e nuage, 'est à dire le point de oordonnées

(moyenne desabsisses,moyenne des ordonnées)

b) Plaer lepoint Gsur legraphique préédent.

3. SoitD la droite passant parle point Getde oeient direteur0,5.

a) Traer la droiteD surle graphique préédent.

b) Détermineruneéquation de la droite D.

dire qu'on suppose que l'évolution du pourentagede salarié à quatre oreilles peut être modélisé parla

fontionane orrespondantà la droite D.Àl'aide de etajustement, déterminergraphiquement :

a) le pourentage de salariés àquatre oreilles dansl'entreprise en 2000;

b) enquelle annéelepourentagedes salariés àquatre oreilles dansl'entreprise atteindra 16%.

Poures deux questions,les traits néessaires àla leture devront gurersur legraphique.

5. Retrouver par le alul les résultats de la question préédente à l'aide de l'équation de D obtenue à la

question3.b..

Exercice 3 Brochets

Données sientiques onernant lebrohet

La roissane observée en entimètres suivant l'âge est indiquéedans letableau i-dessous :

âge dubrohet en années 1 2 3 4 5

taille en entimètres 23 36 43 55 62

La longévité de l'espèe (âgemaximal)est évaluée àneufannées.

Trèsnombreuxàlanaissane,lesbrohetssefontplusraresàl'âge adulte,lesspéimenstrèsâgésdevenant

exeptionnels. Ainsi sur1000 brohets qui viennent de naître, seuls10 parviendront àl'âge de 8 ans.

Le graphique suivant représente le nuage depoints orrespondant auxdonnéesdu tableau.

1. Unajustement linéaire du nuage semble-t-il justié?

2. Ondésigne parG

1

le point moyen du troispremiers points du nuage et parG

2

eluides deuxderniers

a) Caluler les oordonnées de G

1

etde G

2

ettraer la droite(G

1 G

2

) sur legraphique.

b) Montrer que la droite(G

1 G

2

) admet pouréquation réduite :y=9;8x+14;4.

) Caluler les oordonnées du point moyen G du nuage et montrer qu'il appartient bien à la droite

(G

1 G

2 ).

Plaer lepoint Gsur legraphique.

3. On admet que ette droiteonstitue une bonnemodélisation de la taille du broheten fontion de son

âge.

a) Résoudre algébriquement l'inéquation 9;8x+14;4>200. Est-il vraisemblable qu'un brohetdont la

taille dépasse200 entimètres puisse êtreobservé?

b) Résoudregraphiquement l'équation 9;8x+14;4=100.

Endéduirel'âged'unbrohetmesurant 100entimètres.(Ondonneralavaleurentièrelaplusprohe

et onlaissera apparents les traitsde onstrution ).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

âge en années

Tailleenm

Exercice 4 Microbes

On met en ontat des batéries ave un agent antimirobien.

Dans letableau i-dessous,

t

i

désigne letemps (enminutes) d'exposition desbatéries à l'agent antimirobien,

y

i

désignele nombrede survivants sur10 6

batéries.

t

i

15 20 25 30 35 40 45 50

y

i

120 67 49 27 20 9 7 3

z

i

=lny

i

Voustrouverez unetouhe ln survotre alulatrie.

1. Reopier le tableau en omplétant la dernière ligne z = lny

i

, où ln désigne la fontion logarithme

népérien:vous vousontenterez d'utiliser la touhe ln^{de votre alulatrie.}

Donnerles résultatsarrondis à 10 1

près.

2. Représentergraphiquementlenuage depointsde oordonnées (t

i

;z

i

)dansun repèreorthogonal(unités

graphiques2 m pour10 minutes en absisse et2 mpouruneunité en ordonnée).

3. a) CalulerlesoordonnéesdupointmoyenG

1

assoiéauxquatrepremierspointsdutableau,puiselles

du point moyen G

2

assoiéaux quatrederniers pointsdu tableau.

b) Traer la droite(G

1 G

2 ).

) Une équationde la droite (G

1 G

2

) estde la formez=at+b.Caluler lesnombres réelsa etb.