1. Montrer que la fonction ch réalise une bijection de R

DEVOIRLIBRE4 MATHÉMATIQUES

Devoir Libre 4 – Mathématiques

Le corrigé sera disponible le Vendredi 15 Octobre 2021.

Exercice 1

1. Montrer que la fonction ch réalise une bijection de R

sur un intervalle à préciser et déterminer sa bijection réciproque.

2. Montrer que la fonction ch réalise une bijection de R

sur un intervalle à préciser et déterminer sa bijection réciproque.

Réponse

1. La fonction ch est continue et strictement croissante sur l’intervalleR+. Par le théorème de la bijection,

ch réalise une bijection deR+surf(R+).

Or,

x

ch

0 +∞

1 1

+∞

+∞

Donc,

f(R+)=[1,+∞[.

Soit y∈[1,+∞[. On résout l’équationy=ch(x) d’inconnuex∈R+. On a :

ch(x)=y ⇐⇒ e^x+e^−x

2 =y

⇐⇒ e^x+e^−x=2y

⇐⇒ ¡ e^x¢2

−2y×e^x+1=0 (e^x,⁰⁾

On poseX=e^x. On résoutX²−2y×X+1=0. On a∆=4y²−4= µ

2 q

y²−1

¶2

Ê0.

D’où,

X²−2y×X+1=0 ⇐⇒ X=y− q

y²−1 ouX=y+ q

y²−1.

Or, y+ q

y²−1Êy− q

y²−1.

De plus, par stricte monotonie de p

·, on a : q

y²−1<

q

y². Comme yÊ0, on a q

y²= |y| =y, puis : y+

q

y²−1Êy− q

y²−1>0.

Donc,

ch(x)=y ⇐⇒ e^x=y+ q

y²−1 ou e^x=y− q

y²−1 ⇐⇒ x=ln µ

y+ q

y²−1

¶

ou x=ln µ

y− q

y²−1

¶ . Donc,

Or, yÊ1, donc,y+ q

y²−1Ê1.

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

MATHÉMATIQUES DEVOIRLIBRE4

D’autre part, µ

y+ q

y²−1

¶

× µ

y− q

y²−1

¶

=y²+y²−1=1. Donc, y− q

y²−1É1.

Donc,

ln µ

y+ q

y²−1

¶

Ê0 et ln µ

y− q

y²−1

¶ É0.

Donc,

ch(x)=y ⇐⇒ x=ln µ

y+ q

y²−1

¶ . Ainsi,

la bijection réciproque de ch surR+est R+ →R y 7→ ln³

y+p y²−1´

.

Remarque: cette fonction est notée Argch.

2. On raisonne comme dans la question 1.

La fonction ch est continue et strictementdécroissante sur l’intervalleR−. Par le théorème de la bijection,

ch réalise une bijection deR−surf(R−).

Or,

x

ch

−∞ 0

+∞

+∞

1 1 Donc,

f(R−)=[1,+∞[.

Soit y∈[1,+∞[. On résout l’équationy=ch(x) d’inconnuex∈R−. Comme dans la question 1,

ch(x)=y ⇐⇒ e^x=y+ q

y²−1 ou e^x=y− q

y²−1 ⇐⇒ x=ln µ

y+ q

y²−1

¶

ou x=ln µ

y− q

y²−1

¶ . Or,

ln µ

y+ q

y²−1

¶

Ê0 et ln µ

y− q

y²−1

¶ É0.

Donc,

ch(x)=y ⇐⇒ x=ln µ

y− q

y²−1

¶ . Ainsi,

la bijection réciproque de ch surR−est R− →R y 7→ ln³

y−p y²−1´

.

Exercice 2

Déterminer la valeur maximale de

n, n

N

^.

PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD

DEVOIRLIBRE4 MATHÉMATIQUES

Indication : remarque que

n

n

, puis étudier

: x

x

.

Pour toutn∈N^{?, on a : pn n}=n¹ⁿ.

On étudie la fonctionϕ:x7→x^1x=e^ln(x)x définie sur ]0,+∞[.

La fonctionϕest dérivable sur ]0,+∞[ et, pour toutx>0, ϕ⁰(x)=

1

x×x−ln(x)

x² ×e^ln(x)x =1−ln(x) x² ×e^ln(x)x . On en déduit queϕ⁰(x) est du signe de 1−ln(x).

Or,

1−ln(x)Ê0 ⇐⇒ ln(x)É1 ⇐⇒ xÉe.

D’où,

x ϕ⁰(x)

ϕ

0 e +∞

+ 0 −

ϕ(e) ϕ(e) 2

f(2)

3

f(3)

On en déduit que la valeur maximale de pⁿ

n, oùn∈N^{?, est p2 ou p33.}

Or, p

2≈1.414 et p³

3≈1.442. Donc,

la valeur maximale de pⁿ

n, oùn∈N^{?, est p33.}

Exercice 3

Résoudre l’équation d’inconnue réelle x : Arccos(x)

Arcsin(2 x).

Réponse

ÏLes fonctions Arccos et Arcsin sont définies sur[−1, 1].

Donc, l’équation à du sens si, et seulement si,x∈[−1, 1]et 2x∈[−1, 1]. Autrement dit,x∈

·

−1 2,1

2

¸ . ÏSoitx∈

·

−1 2,1

2

¸ .

On raisonne par analyse-synthèse.

Analyse.Supposonsxsolution.

On a alors sin¡

Arccos(x)¢

=sin¡

Arcsin(2x)¢ . D’où, p

1−x²=2x.

Donc, 1−x²=4x². D’où,x²=1

5.

On en déduit quex= 1

p5oux=− 1 p5. Synthèse.

Vérifions six₁= 1

p5est solution de l’équation. Comme p

5Ê2, on ax₁∈

·

−1 2,1

2

¸ et

q 1−x²₁=

s 1−1

5= s

4 5=2 1

p5=2x1. D’où, sin¡

Arccos(x₁)¢

=2x₁.

G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC

MATHÉMATIQUES DEVOIRLIBRE4

Donc,

Arcsin¡ sin¡

Arccos(x₁)¢¢

=Arcsin(2x₁) Or,x1∈[0, 1], donc, Arccos(x1)∈h

0,π 2 i

. D’où, Arcsin¡ sin¡

Arccos(x1)¢¢

=Arccos(x1).

Donc, Arccos(x₁)=Arcsin(2x₁) etx₁est solution de l’équation.

Vérifions six₂=− 1

p5est solution de l’équation. On ax₂∈

·

−1 2,1

2

¸ et

q 1−x²₂=

s 1−1

5= s

4 5=2 1

p5,^2x2. Donc,x₂n’est pas solution de l’équation.

Ainsi,

S= n 1

p5 o

.

PCSI 2021 – 2022 4 G. BOUTARD