DEVOIRLIBRE4 MATHÉMATIQUES
Devoir Libre 4 – Mathématiques
Le corrigé sera disponible le Vendredi 15 Octobre 2021.
Exercice 1
1. Montrer que la fonction ch réalise une bijection de R
+sur un intervalle à préciser et déterminer sa bijection réciproque.
2. Montrer que la fonction ch réalise une bijection de R
−sur un intervalle à préciser et déterminer sa bijection réciproque.
Exercice 2
Déterminer la valeur maximale de
pnn, n
∈N
?. Indication : remarque que
pnn
=n
1n, puis étudier
ϕ: x
7→x
1x.
Exercice 3
Résoudre l’équation d’inconnue réelle x : Arccos(x)
=Arcsin(2 x).
Réponse
ÏLes fonctions Arccos et Arcsin sont définies sur....
Donc, l’équation à du sens si, et seulement si,x∈...et 2x∈.... Autrement dit,x∈.... ÏSoitx∈....
On raisonne par analyse-synthèse.
Analyse.Supposonsxsolution.
On a alors sin¡
Arccos(x)¢
=sin¡
Arcsin(2x)¢ . D’où,...=2x.
Donc, 1−x2=4x2. D’où,x2=.... On en déduit quex= 1
p5oux=.... Synthèse.
Vérifions six1= 1
p5est solution de l’équation. Comme p
5Ê2, on ax1∈
·
−1 2,1
2
¸ et
q 1−x21=
s 1−1
5= s
4 5=2 1
p5=2x1.
D’où, sin¡
...¢
=2x1. Donc,
Arcsin¡ sin¡
...¢¢
=Arcsin(2x1) Or,x1∈[0, 1], donc, Arccos(x1)∈.... D’où, Arcsin¡
sin¡
...¢¢
=Arccos(x1).
Donc, Arccos(x1)=Arcsin(2x1) etx1est solution de l’équation.
Vérifions six2=...est solution de l’équation. On ax2∈
·
−1 2,1
2
¸ et
q 1−x22=
s 1−1
5= s
4 5=2 1
p5,2x2.
Donc,x2n’est pas solution de l’équation.
Ainsi,
S= n
...
o .
G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC
