Série n ° 2 exercices sur « Les suites numériques »

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Série n ° 2 exercices sur « Les suites numériques»

Exercice 1 :

On considère la suite

 

1

1

5 2 ( )

n n

U

U _ U n IN

 

    

 1/ Calculer U et ₁ U . ₂

2/ Montrer par récurrence que :

( ) 1

n 2

n IN U

   3/ Etudier la monotonie de

 

En déduire que : ( n IN) U_n 1 Exercice 2 :

Soit la suite

 

0

1

3

2 ( )

2

n 3

n

U

n IN

U ^ U

 

  

 

 

1/ Calculer U et ₁ U . ₂

2/ Montrer par récurrence que : ( n IN) 1U_n 2

3/ Vérifier que : ( ) ₁ ^{( 1)( 2)}

3

n n

n n

n

U U

n IN U U

 U

 

   



Puis déduire la monotonie de

 

Exercice 3 :

On considère la suite

 

n

n IN U U

   

Puis déduire la monotonie de

 

3/ On pose : ( ) V

1 n IN n Un

Un

  



a/ Montrer que

 

b/ Donner V puis _n U en fonction de n. _n

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Exercice 4 :

Soit la suite

 

0

1

3

3 9 ( )

n 4

n

U

U n IN

 U

 

    



1/ Montrer que : ( ) ³

n 2 n IN U

  

Puis étudier la monotonie de

 

2/ On pose : ²

2 3

n

n

V  U



a/ Montrer que

 

b/ Donner V puis _n U en fonction de n. _n Exercice 5 :

On considère la suite

 

 

0

2 1

1 2

2

2

n n

U

U _ U n IN

 



    



1/ Montrer par récurrence que : ( n IN) 0U_n1 2/ Comparer Un² et U_n²_1 et déduire la monotonie de

 

a/ Montrer que

 

b/ Donner V et _n U en fonction de n. _n

c/ Calculer la somme Sn en fonction de n tel que :S_n U₀²U₁²U₂²...U_n² Exercice 6 :

Soit la suite

 

1

1

2 1

( )

4 6

n n

n

U

U U n IN

 U

 

 

   

 



1/ Calculer U et ₁ U . ₂

2/ Montrer que :  n IN 0U_n1U_n 3/ On pose :  n IN V_n (2n1)U_n

a/ Montrer que

 

c/ Donner U _n en fonction de n ; puis calculer lim _n

n U



www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Exercice 7 :

On considère la suite

 

2

1 2

1 8

( )

1 2

n n

n

U

U U n IN

 U

 



   

 

 1/ Montrer que : _{( ) 0} ¹

n 4

n IN U

   

2/ Etudier la monotonie de

 

n 7 n IN U _

  

4/ Déduire que :_{( )} ² ₀ 7

n

n IN Un   U

      puis calculer lim _n

n U

 . Exercice 8 :

On considère la suite

 

0

1

1

3 4

( )

3

n n

n

U

U U n IN

 U

 

 

   

 

 1/ Montrer que : ( n IN) 2 U_n2.

2/ Etudier la monotonie de

 

 

3/ On pose : ( ) V ² 2

n n

n

n IN U

U

   



a/ Montrer que

 

b/ Donner l’expression de Vn et Un en fonction de n. Et calculer : lim _n

n U

 .

Exercice 9 :

On considère la fonction f définie sur ℝ⁺ par :

( ) ( 2)2

f x x x 1/ Résoudre dans ℝ⁺.

2/ a/ Montrer que :^{( x IR) ( )f x 2}







b/ Déduire la monotonie de f sur :

 

c/ Montrer que : ^f

  



^{ }

3/ On considère la suite

 

 

0

1

1 4

( )

n n

U

U _ f U n IN

 

   



a/ Montrer que : ⁽ n IN⁾ Un

 

b/ Etudier la monotonie de

 

c/ Déduire que

 

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Exercice 10 :

On considère la suite

 

 

2 1

1;0 ( )

n n n

U n IN

U _ U U

  

  

  



Et on pose la fonction : f x( ) x x². 1/ Montrer que : ^f

 

 

^

^

2/ a/ Montrer que :⁽ n IN⁾ Un 





 

3/ Montrer que

 

Exercice 11 :

Soit f la fonction définie par : ( ) 1

f x x x x

  

Et

 

1/ a/ Déterminer D_f puis calculer les limites de f aux bornes de Df. b/ Déterminer les 2 branches infinies à (Cf).

2/ a/ Montrer que :^{( x Df) ( )f x }_^2x₂^_{x x}^x1_





 

b/ Dresser le tableau de variation de f.

3/ Etudier la position relative de

 

 

2 4 4

f  et f   

5/ soit g la restriction de la fonction f sur l’intervalle ^{ }





a/ Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur une intervalle 𝒥 à déterminer.

b/ Construire

 

c/ Calculer ^{1 5} g^  2

  .

6/ On considère la suite (Un) définie par : ⁰

1

2 ( )

( )

n n

U n IN

U _ f U

 

   



a/ Montrer que :





b/ Montrer que la suite

 

c/ Déduire que

 